8. 열과 에너지

8. 열과 에너지

내부에너지(internal energy)는 계의 질량중심에 대해 정지해 있는 기준계에서 보았을 때, 미시적 요소(원자, 분자)와 관련된 계의 모든 에너지를 의미하고(계의 공간적 운동에 의해 생기는 물체의 운동에너지를 포함하지 않음), 열(heat)은 계와 주위 환경의 사이의 온도차이 때문에 경계를 넘나드는 에너지의 전달이다.

열의 단위로 칼로리와 Btu가 있는데 칼로리는 1g의 물은 \(14.5^{\circ}\text{C}\)에서 \(15.5^{\circ}\text{C}\)로 올리는 데 필요한 열의 양으로 4,186J이고, Btu는 11b의 물을 \(63^{\circ}\text{F}\)에서 \(64^{\circ}\text{F}\)로 올리는데 필요한 열의 양이다. 

다음의 그림은 줄(Joule)의 실험장치이다.

추가 일정한 속력으로 낙하하면 날개가 회전하면서 물에 대해 일을 하고, 날개와 물 사이의 마찰로 인해 물의 온도가 상승한다. 베어링과 벽을 통한 에너지의 손실을 무시하면 추의 위치에너지 감소량과 회전날개가 물에 대해 한 일은 같고 따라서 역학적에너지의 감소는 온도상승\((\Delta T)\)에 비례한다.

열용량(heat capacity)은 그 물질의 온도를 \(1^{\circ}\text{C}\)올리는 데 필요한 열에너지의 양이고 \(Q\)를 열에너지, \(C\)를 열용량, \(\Delta T\)를 온도변화라고 하면, \(Q=C\Delta T\)이다. 비열(specific heat)은 단위질량당 열용량으로 질량을 \(m\), 비열을 \(c\)라고 하면 \(\displaystyle c=\frac{C}{m}=\frac{Q}{m\Delta T}\)이다. 다음은 몇 가지 물질들의 비열이다.

질량이 \(m\)인 물질과 주위와의 상호작용에 의해 \(\Delta T\)만큼 온도를 변화시키기 위해 전달된 열에너지 \(Q\)는 다음과 같고$$Q=cm\Delta T=m\int_{T_{i}}^{T_{f}}{cdT}$$\(\Delta T,\,Q>0\)이면 열에너지는 계로 들어오며, \(\Delta T,\,Q<0\)이면 열에너지는 계로부터 빠져나간다.

열량 측정법(calorimetry)

물체를 어떤 온도 \(T_{x}\)로 가열하여 질량과 온도(\(T_{w},\,T_{w}<T_{x}\))를 알고있는 물이 담긴 용기속에 넣어 열평형에 도달시킨 후 온도를 측정하는 기술을 열량측정법이라고 한다. 이러한 열에너지 전달이 일어나는 장치를 열량계(calorimeter)라고 한다. 

시료인 물질과 물로 이루어진 계는 단열되어 있으므로 물질(비열을 모르는)에서 나간 에너지는 물속으로 들어간 에너지와 같고, 에너지 보존법칙에 의해 \(Q_{\text{cold}}=-Q_{\text{hot}}\)이다.

비열을 모르는 물질의 질량을 \(m_{x}\), 비열을 \(c_{x}\), 처음 온도를 \(T_{x}\), 물의 질량을 \(m_{w}\), 비열을 \(c_{w}\), 처음 온도를 \(T_{w}\)라고 하고, \(T_{f}\)를 혼합된 후의 평형온도라고 하면 물이 얻은 열에너지는 \(m_{w}c_{w}(T_{f}-T_{w})=Q_{w}\,(T_{f}>T_{w})\)이고, 물질에 전달된 열에너지는 \(m_{x}c_{x}(T_{f}-T_{x})=Q_{x}\,(T_{f}<T_{x})\), \(Q_{w}=-Q_{x}\)이므로$$m_{w}c_{w}(T_{f}-T_{w})=-m_{x}c_{x}(T_{f}-T_{x})$$이고 \(\displaystyle c_{x}=\frac{m_{w}c_{w}(T_{f}-T_{w})}{m_{x}(T_{x}-T_{f})}\)이다. 

물질의 물리적 상이 한 형태에서 다른 형태로 바뀌는 변화를 상변화(phase change)라 하고, 온도의 변화없이 내부에너지 변화가 수반된다(상변화가 일어나는동안 전달되는 에너지 양은 물질의 양에도 의존한다).

어떤 물질의 온도변화가 없이 상태가 변할 때 방출되거나 흡수되는 열을 잠열(latent heat)이라고 한다. 질량이 \(m\)인 물질의 상을 바꾸기 위해 필요한 에너지를 \(Q\)라고 하면 그 물질의 잠열은 \(\displaystyle L=\frac{Q}{m}\)이다. 질량이 \(m\)인 순수한 물질의 상태를 바꾸기 위해 드는 열에너지는 \(Q=\pm mL\)이고 (+)부호는 계가 에너지에서 흡수됨을, (-)부호는 계에서 에너지가 주위 환경으로 나감을 나타낸다. 

융해열(latent heat of fusion) \(L_{f}\)은 고체에서 액체로의 상변화를 일으키는데 필요한 잠열이고, 기화열(latent heat of vaporization) \(L_{v}\)은 액체에서 기체로의 상태변화를 일으키는데 필요한 잠열이다. 다음은 여러가지 물질들의 융해열과 기화열이다.

다음은 얼음에 공급하는 에너지에 따른 (섭씨)온도에 대한 그래프이고 이 물의 비열은 \(4.19\times10^{3}\text{J/Kg}\cdot^{\circ}\text{C}\), 얼음의 질량은 \(1\text{g}=10^{-3}\text{kg}\), 얼음의 비열은 \(2090\text{J/kg}\cdot^{\circ}\text{C}\), 물의 융해열은 \(3.33\times10^{5}\text{J/kg}\), 물의 기화열은 \(2.26\times10^{6}\text{J/kg}\)이다.

A구간(얼음)에서 흡수된 에너지의 양은 \(Q_{A}=m_{i}c_{i}\Delta T=(1.00\times10^{-3}\text{kg})(2090\text{J/kg}\cdot^{\circ}\text{C})(30.0^{\circ}\text{C})=62.7\text{J}\)

B구간(얼음+물) \(0.0^{\circ}\text{C}\)에서 얼음 \(1.00\text{g}\)을 녹이는 데 필요한 열에너지는 \(Q_{B}=m_{i}L_{f}=(1.00\times10^{-3}\text{kg})(3.33\times10^{5}\text{J/kg})=333\text{J}\)       

C구간(물) \(0.0^{\circ}\text{C}\)에서 \(100^{\circ}\text{C}\)까지 온도를 상승시키는데 필요한 에너지의 양은 \(Q_{C}=m_{w}c_{w}\Delta T=(1.00\times10^{-3}\text{kg})(4.19\times10^{3}\text{J/kg}\cdot^{\circ}\text{C})(100.0^{\circ}\text{C})=419\text{J}\) 

D구간(물+증기) \(100^{\circ}\text{C}\)에서 물 \(1.00\text{g}\)을 증기로 변화시키는데 필요한 에너지의 양은 \(Q_{D}=m_{w}L_{v}=(1.00\times10^{-3}\text{kg})(2.26\times10^{6}\text{J/kg})=2.26\times10^{3}\text{J}\) 

E구간(증기) 수증기의 온도를 \(100^{\circ}\text{C}\)에서 \(120^{\circ}\text{C}\)까지 올리는데 필요한 에너지의 양은 \(Q_{E}=m_{s}c_{s}\Delta T=(1.00\times10^{-3}\text{kg})(2.01\times10^{3}\text{J/kg}\cdot^{\circ}\text{C})(20.0^{\circ}\text{C})=40.2\text{J}\) 

따라서 \(1\text{g}\)의 얼음을 \(-30^{\circ}\text{C}\)에서 \(120^{\circ}\text{C}\)의 증기로 변화시킬 때, 더해주어야 하는 전체 에너지의 양은 약 \(3.11\times10^{3}\text{J}\)이고, \(120^{\circ}\text{C}\)에서 \(1\text{g}\)의 증기를 \(-30.0^{\circ}\text{C}\)의 얼음으로 냉각시키려면 \(3.11\times10^{3}\text{J}\)의 열에너지를 제거해야 한다.

과냉각(supercooling)은 물의 온도가 \(0^{\circ}\text{C}\)보다 낮아져도 물로 유지되는 현상이고, 과가열(superheating)은 물이 (전자레인지로 끓였을 때) 끓지 않고 \(100^{\circ}\text{C}\)보다 높은 온도까지 상승하는 현상이다. 

계의 상태를 기술하는데 필요한 거시적인 변수는 그 계의 성질에 따라 다르다. 열역학에서 계의 상태는 압력, 부피, 온도, 내부에너지와 같은 변수들로 기술되고, 이러한 양들은 상태변수(state variable)라는 범주에 속한다(역학적인 계의 경우, 상태변수는 운동에너지 \(K\)와 위치에너지 \(U\)를 포함한다). 에너지 관련 변수들 중 두 번째 범주는 전달변수(transfer variable)이다. 다음의 등식$$\Delta K+\Delta U+\Delta E_{\text{int}}=W+Q+T_{MW}+T_{MT}+T_{ET}+T_{ER}$$에서 좌변의 \(\Delta K+\Delta U+\Delta E_{\text{int}}\)는 상태변수, 우변의 \(W+Q+T_{MW}+T_{MT}+T_{ET}+T_{ER}\)은 전달변수이다.

위의 그림은 움직일 수 있는 피스톤이 있는 실린더 속에 있는 기체로 기체가 피스톤을 미는 힘은 \(F=PA\)이다. 피스톤을 안으로 천천히 밀어 이 기체가 준정적(quasi statically)으로 압축된다(아주 천천히 압축해서 모든 순간에 열역학적인 평형상태를 유지한 채로 변한다).

피스톤 아래에 외력 \(\vec{F}=-F\vec{j}\)로 가할 때 변위가 \(d\vec{r}=dy\vec{j}\)이면 기체가 한 일은$$dW=\vec{F}\cdot d\vec{r}=-F\vec{j}\cdot dy\vec{j}=-Fdy=-PAdy\,(F=PA)$$이고 이때 피스톤의 질량은 무시한다. \(Ady=dV\)(기체의 부피증가)이므로 기체에 한 일은 \(dW=-PdV\)이다. 

기체가 압축되면 \(dV<0,\,dW>0\), 팽창하면 \(dV>0,\,dW<0\), 일정(부피의 변화가 없음)하면 \(dV=0,\,dW=0\)이다.

기체의 부피가 \(V_{i}\)에서 \(V_{f}\)로 변할 때 기체가 한 전체 일은 \(\displaystyle W=-\int_{V_{i}}^{V_{f}}{PdV}\)이고 이것은 기체의 처음상태로부터 나중상태까지 일어나는 준정적 과정에서 기체가 한 일은 PV도표에서 처음상태와 나중상태 사이의 곡선 아래의 면적과 크기는 같고 부피는 반대이다.

실린더 안의 기체를 처음상태 \(i\)에서 나중상태 \(f\)로 압축할 때 기체가 한 일은 두 상태 사이의 경로에 따라 다르다. 또한 계에 출입하는 열량 \(Q\)도 경로에 따라 달라진다.

피스톤이 처음 위치에 위치하도록 손으로 누르고 있다가 천천히 놓으면 피스톤이 나중 위치로 올라온다(기체는 피스톤에 일을 했다). 나중 부피로 팽창하는 동안 온도 \(T_{i}\)를 유지하기 위해 열에너지가 기체로 전달된다.

분리막이 터지면 기체는 팽창해서 나중 부피, 나중 압력이 될 때까지 진공속에서 팽창한다. 피스톤이 고정되어 있기 때문에 기체는 일을 하지 않고 단열된 벽을 통해 열이 전달되지 않는다.

열에너지의 전달은 계의 처음과 나중 그리고 중간 상태에 따라 달라진다. 또한 열에너지와 일은 경로에 따라 다르므로 열역학적 과정에서의 처음상태와 나중 상태로만 결정되지 않는다.      

 

참고자료:

Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics 9th edition, Cengage Learning