7. 온도, 고체와 액체의 열팽창, 이상기체의 거시적 기술

7. 온도, 고체와 액체의 열팽창, 이상기체의 거시적 기술

사람의 감각은 그릇된 정보를 제공하기도 한다. 그 예로 냉동실에서 금속쟁반과 종이상자를 동시에 꺼낼 때, 두 물체의 온도가 사실상 같은데도 금속쟁반이 종이상자보다 더 차다고 느낀다. 그 이유는 금속이 종이보다 에너지를 열의 형태로 더 빠르게 전달하기 때문이다.

서로 다른 온도를 갖는 두 물체를 붙여놓으면 두 물체의 온도는 두 물체의 온도의 중간온도에 도달한다. 이처럼 두 물체 사이의 에너지가 온도차이에 의해 교환될 수 있으면 두 물체는 열접촉(thermal contact)상태에 있다고 하고, 열접촉 상태의 두 물체 사이의 열이나 전자기복사에 의한 에너지교환이 없는 상태를 열평형(thermal equilibrium)이라고 한다.

열역학 제 0법칙(zeroth law of thermodynamics)은 두 물체 A와 B가 제 3의 물체 C와 각각 열평형 상태에 있으면 A와 B는 서로 열평형 상태에 있다는 것이다. 

온도는 두 물체 간의 열평형 상태여부를 결정하는 개념이고 두 물체가 서로 열평형 상태에 있으면 두 물체의 온도는 서로 같으며 반대로 두 물체의 온도가 서로 같으면 그 두 물체는 서로 열평형 상태에 있다. 

온도에 따라 변하는 물리적인 성질에는 1. 액체의 부피, 2. 고체의 길이, 3. 부피가 일정할 때 기체의 압력, 4. 물체의 색깔, 5. 압력이 일정할 때 기체의 부피, 6. 도체의 전기저항 이 있다.

(위 그림은 수은온도계로 온도에 따라 수은의 부피가 변화하는 원리를 이용해 만들어진 것이다)

섭씨온도(Celsius temperature)는 열평형 상태에 있는 물과 얼음의 혼합체의 온도를 \(0^{\circ}\text{C}\)로 정의하고 이 온도를 물의 어는점이라고 한다. 열평형상태에 있는 물과 수증기의 혼합체의 온도를 \(100^{\circ}\text{C}\)로 정의하고 이 온도를 물의 끓는점이라고 한다. 

다음은 등적기체 온도계(constant-volume gas thermometer)이다.

\(h\)는 수은기둥 B와 A의 높이차로 기체의 압력에 비례하고, 서로 다른 초기압력을 가진 서로 다른 온도를 기체 온도계를 사용해 측정한다.

모든 기체는 온도가 \(-273.15^{\circ}\text{C}\)일 때 압력이 0이 되고, 이것은 \(-273.15^{\circ}\text{C}\)를 영점으로 하는 절대온도눈금(absolute temperature scale)의 기초이며, 이 \(-273.15^{\circ}\text{C}\)를 절대영도(absolute zero)라고 한다. 

섭씨온도를 \(T_{C}\), 절대온도를 \(T\)라고 하면 \(T_{C}=T-273.15\)의 관계가 있다.

절대온도눈금(Kelvin scale)은 절대온도의 SI단위인 켈빈(Kelvin)을 사용하고 절대영도와 물의 삼중점(triple point of water: 물이 기체, 고체, 액체의 평형상태로 공존하는 온도와 압력의 조합)사이의 \(\displaystyle\frac{1}{273.16}\)로 정의한다. 

섭씨온도 \(T_{C}\)와 절대온도 \(T\)의 관계는 \(T_{C}=T-273.15\)(두 눈금의 0점이 다를 뿐이다)이고, 화씨온도(Fahrenheit scale) \(T_{F}\)와의 관계는 \(\displaystyle T_{F}=\left(\frac{9}{5}T_{C}+32^{\circ}\right)\text{F}\)이다(물의 어는점은 \(32^{\circ}\text{F}\), 물의 끓는점은 \(212^{\circ}\text{F}\)).  

온도를 높이면 부피가 증가하고, 이것을 열팽창(thermal expansion)이라고 한다. 열팽창을 사용하는 예로 이음매(고가도로, 벽돌, 건물 등)가 있다.

\(L_{i}\)를 처음 길이, \(\Delta L\)을 온도변화 \(\Delta T\)에 따른 길이변화라고 하면, 평균 선팽창계수(average coefficient of linear expansion) \(\alpha\)는 \(\displaystyle\alpha=\frac{\Delta L}{L_{i}\Delta T}\)이고, 단위는 \((^{\circ}\text{C})^{-1}\)이다. 그러면 \(\Delta L=\alpha L_{i}\Delta T\)이고, \(L_{f}-L_{i}=\alpha L_{i}(T_{f}-T_{i})\)이다. 

*열팽창하는 물질 속의 빈 공간도 물질이 차 있는 것과 다름없이 팽창한다.  

어떤 물체의 길이가 온도에 따라서 변하기 때문에 표면적과 부피도 온도에 따라 변한다.

일정한 압력 하에서 부피의 변화는 \(\Delta V=\beta V_{i}\Delta T\)이고 여기서 \(\beta\)는 평균 부피팽창계수(average coefficient of volume expansion)이다. 

다음은 부피팽창계수 \(\beta\)와 선팽창계수 \(\alpha\)의 관계이다.

\(\Delta V=\beta V_{i}\Delta T\)이므로 다음이 성립하고$$\begin{align*}V_{i}+\Delta V&=(l+\Delta l)(w+\Delta w)(h+\Delta h)\\&=lwh(1+\alpha\Delta t)^{3}\,(\Delta l=l\alpha\Delta t,\,\Delta w=w\alpha\Delta T,\,h=h\alpha\Delta T)\end{align*}$$이므로 \(\displaystyle\frac{\Delta V}{V_{i}}=3\alpha\Delta T+3(\alpha\Delta T)^{2}+(\alpha\Delta T)^{3}\)이고, \(\Delta T<\sim100^{\circ}\text{C}\)범위 안에서 \(\alpha\Delta\ll 1\)이므로 \((\alpha\Delta T)^{2}\approx0\), \((\alpha\Delta T)^{3}\approx0\)이고 따라서 \(\displaystyle\frac{\Delta V}{V_{i}}=3\alpha\Delta T\)이고 \(\Delta V=(3\alpha)V_{i}\Delta T\)이므로 \(\beta=3\alpha\)이다. 

비슷하게 직사각형판의 면적변화에서$$\begin{align*}\Delta A+A_{i}&=(l+\Delta l)(w+\Delta w)\\&=lw(1+\alpha\Delta t)^{2}\,(\Delta l=l\alpha\Delta T,\,\Delta w=w\alpha\Delta T)\end{align*}$$이므로 \(\displaystyle\frac{\Delta A}{A_{i}}=2\alpha\Delta T+(\alpha\Delta T)^{2}\)이고 \(\alpha\Delta T\ll1\)이므로 \((\alpha\Delta T)^{2}\approx0\)이다. 그러므로 \(\displaystyle\frac{\Delta A}{A_{i}}=2\alpha\Delta T\)이고 \(\Delta A=(2\alpha)A_{i}\Delta T\)이다. 

*각각의 물질들은 고유한 팽창계수를 갖고있고, 다음은 여러가지 물질들의 실온(room temperature)에서의 선팽창계수와 열팽창계수이다. 

다음은 물의 비정상적인 성질이다.

물은 표면부터 얼기 시작하는데 그 이유는 표면의 물의 온도가 내려가고 그 아래의 물은 온도가 내려가지 않기 때문이다. 따라서 밀도가 큰 표면의 물은 아래로 내려가고, 그 밑의 따뜻한 물은 위로 올라온다. 대기온도가 \(0\sim4^{\circ}\text{C}\)이면, 표면의 물은 밀도가 낮아진다(부피의 팽창). 따라서 대류현상이 멈추게 되고 표면의 물은 얼고, 표면 밑부분의 물은 \(4^{\circ}\text{C}\)에 머무른다.

이상기체의 거시적 기술(macroscopic description of an ideal gas)

기체 원자간의 힘은 매우 약해서 존재하지 않는다고 봐도 큰 무리가 없다. 대신 부피감이 없어서 \(V_{i}\), \(\Delta V\)로 표현할 수 없다.

다음은 이상기체(ideal gas)의 특징들이다. 

1. 기체분자들이 상호작용하지 않는다.

2. 분자 자체의 부피는 용기의 부피에 비해 무시할 수 있다.

3. 기체의 온도가 너무 낮거나 높으면 안되고, 압력이 낮아야만 한다.

1몰(mole)은 아보가드로수(Avogadro's number) \(N_{A}=6.022\times10^{23}\)만큼 구성물질(원자 또는 분자)을 갖고있다는 것을 의미하고, 어떤 물질의 몰수는 질량을 분자량으로 나눈 \(\displaystyle n=\frac{m}{M}\)(\(m\): 질량, \(M\): 분자량, 분자량은 원자단위이고 단위는 g/mol)이다.

보일의 법칙은 기체의 온도가 일정할 때 압력이 부피에 반비례한다는 것이고\((PV=k)\), 샤를의 법칙은 기체의 압력이 일정할 때, 부피가 온도에 비례한다는 것이고\((V=kT)\), 게이-뤼삭의 법칙은 기체의 부피가 일정할 때 압력이 온도에 비례한다는 것이다\((P=kT)\).

이 세 가지 법칙들을 종합해서 이상기체 상태방정식(equation of state for an ideal gas) \(PV=nRT\)를 얻고, 여기서 \(P\)는 압력, \(V\)는 부피, \(n\)은 몰수, \(R\)은 기체상수(universal gas constant), \(T\)는 절대온도이다.

SI단위로 압력은 \(\text{Pa}(=\text{N/m}^{2})\), 부피는 \(\text{m}^{3}\), 압력과 부피의 곱은 \(\text{N}\cdot\text{m}(=\text{J})\)이고, 기체상수의 값은 \(R=8.314\text{J/mol}\cdot\text{K}\)이다.

대기압 하에 있고, 온도가 \(0^{\circ}\text{C}(=273\text{K})\)인 1몰의 기체(종류와는 무관)의 부피는 22.4L이다. 

예: 샴페인을 흔들고 마개를 열었을 때 샴페인 액체가 튀어나온다. 그 이유는 샴페인을 흔들면 압력이 대기압으로 낮아지고 기체방울의 부피가 커지면서 액체를 병 밖으로 밀어내기 때문이다.

\(N\)을 기체분자의 전체 숫자라고 하면 \(\displaystyle PV=nRT=\frac{N}{N_{A}}RT=n\frac{R}{N_{A}}T=nK_{B}T\)로 나타낼 수 있고, 여기서 \(\displaystyle k_{B}=\frac{R}{N_{B}}\)를 볼츠만 상수(Boltzmann's constant)라 하고 그 값은 \(k_{B}=1.38\times10^{-23}\text{J/K}\)이다. 

\(P\)(압력), \(V\)(부피), \(T\)(절대온도)와 같은 양들을 이상기체의 열역학변수(thermody dynamic variables)라고 한다. 

 

참고자료:

Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics 9th edition, Serway, Jewett, Cengage Learning