4. 도플러 효과

4. 도플러 효과

사람이 듣는 경적진동수는 자동차가 접근하면 높아지고, 멀어지면 낮아진다. 이 현상은 도플러 효과의 한 예이다.

다음은 파도의 주기가 \(T=3.0\text{s}\)인 고요한 바다에 정박해 있는 한 보트를 나타낸 것이다.

a는 정지상태의 보트(한 마루가 부딪칠 때 \(t=0\))이고 파도는 왼쪽을 향해 진행한다(파도를 만드는 파원은 보트보다 훨씬 오른쪽에 있다). 파도의 진동수는 \(\displaystyle f=\frac{1}{T}=0.33\text{Hz}\)

b는 파도의 진행방향과 반대방향을 향해 진행하는 보트(한 마루가 부딪칠 때 \(t=0\))이고 보트는 접근하는 다음 마루를 향해 진행하므로, 첫 번째 마루가 부딪친 후 \(3.0\text{s}\)이내에 다시 부딪칠 것이다.

*관측한 주기는 처음 주기인 3.0초 보다 짧아졌고, 정지했을 때의 진동수보다 더 높은 진동수\((f>0.33\text{Hz})\)를 갖는다.  

c는 파도의 진행방향과 동일한 방향으로 진행하는 보트(보트의 뒤가 마루를 부딪친 시간은 \(t=0\))이고 파도로부터 멀어지는 방향으로 움직이므로 다음 마루가 뒤쫒는 시간은 3.0초보다 더 많이 걸린다.

*보트의 진동수는 정지했을 때의 진동수\((f<0.33\text{Hz})\)보다 낮다.

이러한 효과는 보트와 파도 사이의 상대적인 송력이 보트의 속력과 진행방향에 의존하기 때문이다.  

다음은 음파에 관해 유사한 상황이다(음파가 파동이고 매질은 공기, 관측자 O는 운동하고 음원 S는 정지해있다).

공기는 정지해있고 관측자는 속력 \(v_{O}\)로 정지상태의 점 음원(\(v_{S}=0\))을 향해 움직인다. 점음원이 음파를 방출하고 매질이 균일하면 그 결과는 구면파이다. 

음원의 진동수를 \(f\), 파장을 \(\lambda\), 음속을 \(v\)라 하자. 관측자가 정지하고 있을 때 관측자는 매초당 \(f\)개의 파면을 관측하게 된다(\(v_{O}=0\), \(v_{S}=0\)일 때 관측되는 진동수는 파원의 진동수와 같다). 

관측자가 음원을 향해 움직일 때 관측자에 대한 상대적인 음속은 \(v'=v+v_{O}\)이지만 파장 \(\lambda\)는 변하지 않는다. 관측자가 듣는 진동수는 \(\displaystyle f'=\frac{v'}{\lambda}=\frac{v+v_{O}}{\lambda}\)이고, 관측자가 음원을 향해 움직일 때는 \(\displaystyle f'=\left(\frac{v+v_{O}}{v}\right)f\), 관측자가 음원에서 멀어질 때는 \(\displaystyle f'=\left(\frac{v-v_{O}}{v}\right)f\)이다.

일반적으로 관측자가 정지해 있는 음원에 대해 \(v_{O}\)의 속력으로 웁직일 때 관측자가 듣는 진동수는 \(\displaystyle f'=\left(\frac{v+v_{O}}{v}\right)f\)로 표현하며, 관측자의 속력 \(v_{O}\)가 양(+)의 부호를 가지면 관측자가 음원을 향해 움직이는 것을 나타내고, 음(-)의 부호를 가지면 관측자가 음원으로부터 멀어지는 것을 의미한다.

음원이 이동하고 관측자가 정지해 있는 경우

음원이 관측자 A를 향해 움직이면, 관측자가 듣는 파면들 사이의 거리는 음원이 움직이지 않는 경우의 거리보다 가깝게 관측된다. 결과적으로 관측자 A에서 측정되는 새로운 파장 \(\lambda'\)은 음원의 파장 \(\lambda\)보다 짧아진다. 

시간 \(T\)(주기)동안 일어나는 한 번의 진동마다 음원은 거리 \(\displaystyle v_{S}T=\frac{v_{S}}{f}\)만큼 진행하여 파장은 이 거리만큼 짧아진다. 

관측되는 파장은 \(\displaystyle\lambda'=\lambda-\Delta\lambda=\lambda-\frac{v_{S}}{f}\,\left(\Delta\lambda=\frac{v_{S}}{f}\right)\)이고, 관측자 A가 듣는 진동수는 \(\displaystyle f'=\frac{v}{\lambda'}=\frac{v}{\lambda-\Delta\lambda'}=\left(\frac{v}{v-v_{s}}\right)f\)(음원이 관측자를 향하여 움직일 때)이고, 음원이 관측자 B로부터 멀어질 때 관측자 A가 듣는 진동수는 \(\displaystyle f'=\left(\frac{v}{v+v_{S}}\right)f\)(음원이 관측자로부터 멀어질 때)이다. 

음원이 관측자를 향해 이동하는 경우 양(+)의 값을 \(v_{S}\)에 대입하고, 멀어지는 경우는 음(-)의 값을 대입한다.

관측된 진동수에 대한 일반적인 관계식은 \(\displaystyle f'=\left(\frac{v+v_{O}}{v-v_{S}}\right)f\)이고 \(v_{O}\)와 \(v_{S}\)에 대한 부호는 속도의 방향에 의존하고 양(+)의 값은 관측자나 음원이 서로 가까워지는 경우(관측된 진동수에서 증가와 관련)이고, 음(-)의 값은 서로 멀어지는 경우(관측된 진동수에서 감소와 관련)이다.

다음은 충격파(음원의 속력 \(v_{S}\)가 음속 \(v\)보다 클 때)이다.

\(t=0\)일 때 음원은 \(S_{0}\)에 있고, \(t\)초 후 음원은 \(v_{S}t\)만큼 이동한 위치에 있다. 시간 \(t\)에서 \(S_{0}\)를 중심으로 하는 파면은 \(vt\)에 도달하고 이 시간동안 음원도 \(S_{0}\)에서 \(v_{S}t\)만큼 이동한다. 이때 다음의 식이 성립하고$$\sin\theta=\frac{vt}{v_{S}t}=\frac{v}{v_{S}}$$꼭지반각 \(\theta\)를 마하각(Mach angle), \(\displaystyle\frac{v_{S}}{v}\)의 비를 마하수(Mach number)라고 한다. \(v_{S}>v\)일 때 형성되는 원뿔모양의 파면을 충격파(shock wave)라고 한다. 

참고자료:

Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics 9th edition, Serway, Jewett, Cengage Learning