3. 음파

3. 음파

음파가 매질을 통과할 때, 그 속력은 매질의 특성에 의존하여 달라진다.  

가청음파는 사람의 귀로 감지할 수 있는 범위 안의 파동이고, 초저주파는 가청음파 이하의 진동수를 갖고, 초음파는 가청음파 이상의 진동수를 갖는다.

다음은 압축할 수 있는 기체를 포함하고 있는 긴 관을 통해 이동하는 일차원 종파 펄스의 운동이다.

매질 안에서 음파의 속력은 매질의 압축률과 밀도에 의존한다. 다음은 부피탄성률이 $B$이고 밀도가 $\rho$인 매질(액체 또는 고체)이다.

충격량-운동량 정리로부터 $\vec{I}=\Delta\vec{p}$이고 충격량은 $$\vec{I}=\sum{\vec{\mathbf{F}}\Delta t}=(A\Delta P\Delta t)\hat{\mathbf{i}}$$ 이고 부피탄성률이 $B$일 때 $\displaystyle\Delta P=-B\frac{\Delta V}{V_{i}}$의 관계가 성립한다. 그러면 $$\Delta P=-B\frac{\Delta V}{V_{i}}=-B\frac{(-v_{x}A\Delta t)}{vA\Delta t}=B\frac{v_{x}}{v}$$ 이고 따라서 충격량은 $\displaystyle\vec{I}=\left(AB\frac{v_{x}}{v}\Delta t\right)\vec{\mathbf{i}}$이다.

운동량은 $\Delta\vec{p}=m\Delta\vec{v}=(\rho V_{i})(v_{x}\vec{\mathbf{i}}-0)=(\rho vv_{x}A\Delta t)\vec{\mathbf{i}}$이고 $\vec{I}=\Delta\vec{p}$이므로 $\displaystyle\rho vv_{x}A\Delta t=AB\frac{v_{x}}{v}\Delta t$이고 따라서 이 매질 안에서의 음파의 속력은 $\displaystyle v=\sqrt{\frac{B}{\rho}}$이다.

매질이 영률 $Y$와 밀도 $\rho$를 갖는 고체일 때 매질안에서 음파의 속력은 $\displaystyle v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}}$이고, 모든 역학적 파동의 속력의 일반적인 형태는 $\displaystyle v=\sqrt{\frac{\text{탄성적인 특성}}{\text{관성적인 특성}}}$이다.

음속은 매질의 온도에 의존하고 $v_{0}$가 $0^{\circ}\text{C}$에서의 매질의 음속(매질에 따라 달라진다), $T_{c}$를 공기의 섭씨온도라고 하면 음속은 $\displaystyle v=v_{0}\sqrt{1+\frac{T_{c}}{273^{\circ}\text{C}}}$이고, 다음은 다양한 매질에서의 음속이다.

일차원의 주기적인 음파는 기체가 들어있는 길고 가는 관의 한쪽 끝에서 진동하는 피스톤에 의해 만들어진다.

평형위치에 대한 작은 요소의 변위는 $S(x,\,t)=S_{\max}\cos(kx-\omega t)$($k$는 파수, $\omega$는 각진동수)이고, $S_{\max}$는 변위진폭(displacement amplitude)으로 평형에 대한 요소의 최대변위이다. 요소의 변위는 음파의 진행방향인 $x$방향이며, 이 파동은 종파이다. 평형값으로부터 기체압력의 변화량 $\Delta P$도 주기적이다.

*기체요소는 수평방향으로의 두께가 $\Delta x$이고 단면적이 $A$이므로 부피는 $\Delta xA=V_{i}$이고 음파가 요소를 변위시킬 때 요소의 부피 $\Delta V$의 변화는 $A\Delta s$($\Delta s$는 원반(피스톤의 단면)의 두 평평한 면들 사이 $s$값의 차이이다.) 

부피탄성률이 $B$일 때 $\displaystyle\Delta P=-B\frac{\Delta V}{V_{i}}=-B\frac{A\Delta s}{A\Delta x}=-B\frac{\Delta s}{\Delta x}$의 관계가 성립한다. $\Delta x\,\rightarrow\,0$일 때 $\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta x}\,\rightarrow\,\frac{\partial s}{\partial x}$가 성립하므로 $\displaystyle\Delta P=-B\frac{\partial s}{\partial x}=BkS_{\max}\sin(kx-\omega t)$이고 $B=\rho v^{2}$, $\displaystyle k=\frac{\omega}{v}$, $\Delta P_{\max}=\rho v\omega S_{\max}$(압력진폭(pressure amplitude))이므로  $\Delta P=\Delta P_{\max}\sin(kx-\omega t)$이고, 압력파는 변위파와 $90^{\circ}$위상차가 있다.

파동의 세기(intensity, 단위면적당 일률)는 파동이 진행하는 방향에 수직인 단위면적 $A$를 통해 진행하는 파동에 의해 전달되는 에너지 비율로 다음과 같다. $$I=\frac{P}{A}=\frac{1}{2}\rho v(\omega S_{\max})^{2}=\frac{(\Delta P_{\max})^{2}}{2\rho v}\,(\Delta P_{\max}=\rho v\omega S_{\max})$$ 다음의 그림은 모든 방향으로 균일하게 퍼져나가는 파원이다.

소리가 파원에서 모든 방향으로 균일하게 퍼져나가면 그 결과는 위의 그림과 같은 구면파(spherical wave)이고, 위상이 일정한 표면을 파면(wave front), 파원으로부터 바깥으로 향하는 지름방향의 선을 파선(ray)이라고 한다. 

파원으로부터 거리 $r$에서의 파의 세기는 $\displaystyle I=\frac{P_{\text{avg}}}{A}=\frac{P_{\text{avg}}}{4\pi r^{2}}$이고 이것은 파원에 의해 방출된 평균일률 $P_{\text{avg}}$가 표면적이 $4\pi r^{2}$인 구형파동에 균등하게 분배되어야 함을 뜻한다.

데시벨 단위의 소리준위(sound level in decibel)는 $\displaystyle\beta=10\log\frac{I}{I_{0}}$이고 단위는 dB(데시벨), 여기서의 로그는 상용로그(밑이 10인 로그), $I_{0}$는 가청문턱값(또는 기준세기)이다. 

다음은 여러가지 교통수단과 도구 등의 소리준위의 크기이고,

다음은 소리의 크기와 진동수와의 관계이다.

참고자료:

Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics 9th edition, Serway, Jewett, Cengage Learning