2. 파동의 운동(2)

2. 파동의 운동(2)

다음은 줄에서 일어나는 사인평 파동이다.

진동자가 단조화 진동하므로 점 \(P\)와 같이 줄에서의 각 요소는 \(y\)(수직)방향으로 단조화운동을 한다. 이러한 운동의 파동함수는 \(x\)좌표가 상수이기 때문에 \(y=A\sin(kx-\omega t)\)로 나타낼 수 있고, 횡속력(transverse speed)과 횡가속도(transverse acceleration)는 각각 다음과 같다.$$\begin{align*}v_{y}&=\left[\frac{dy}{dt}\right]_{x=\text{constant}}=\frac{\partial y}{\partial t}=-\omega A\cos(kx-\omega t),\,v_{y,\,\max}=\omega A\\a_{y}&=\left[\frac{dv_{y}}{dt}\right]_{x=\text{constant}}=\frac{\partial v_{y}}{\partial t}=-\omega^{2}A\sin(kx-\omega t),\,a_{y,\,\max}=\omega^{2}A\end{align*}$$

위의 그림은 줄에서의 파동을 구하기 위한 그림이고 줄의 장력은 \(T\), 단위길이당 질량은 \(\mu\), 고정된 기준틀에 대해 등속력 \(v\)로 오른쪽 줄을 따라 움직이고, 줄 부분은 속력 \(v\)로 왼쪽으로 움직인다.

지름 방향으로 작용하는 전체 힘은 \(F_{r}=2T\sin\theta\approx2T\theta\)이고 \(\theta\)가 작기 때문에 근사식 \(\sin\theta\approx\theta\)를 적용했다. 작은 부분의 질량은 \(m=\mu\Delta s\)이고 \(\Delta s=R(2\theta)\)이므로 \(m=2\mu R\theta\)이다. 뉴턴의 제2법칙을 적용하면 \(\displaystyle F_{r}=ma=m\frac{v^{2}}{R}\)이고 \(\displaystyle2T\theta=\frac{2\mu R\theta v^{2}}{R}\)이므로 \(\displaystyle v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\)이다. 

따라서 줄의 장력이 \(T\)이고 단위길이당 질량이 \(\mu\)인 줄에서의 파동의 속력은 \(\displaystyle v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\)이다. 

펄스가 벽에 접근하게 되면 뉴턴의 제3법칙에 의해 펄스는 반사(reflection)하고 형태는 변하지 않는다.

펄스가 반사되지만 뒤집어지지 않는다.

위의 그림은 가벼운 줄에서 발생한 파동이 무거운 줄로 향하는 그림이다. 입사된 파동의 일부는 투과(transmission)되고 일부는 반사된다. 반사펄스는 입사펄스보다 진폭이 작다(에너지 보존법칙).

위의 그림은 무거운 줄에서 발생한 파동이 가벼운 줄로 향하는 그림이다. 이 경우 반사펄스는 뒤집어지지 않는다.

반사파동인 경우 파동의 속력이 \(\displaystyle v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\)이므로 

-파동이 매질 A에서 매질 B로 진행하고 \(v_{A}>v_{B}\)인 경우(B가 A보다 밀한 경우로 \(\mu_{A}<\mu_{B}\)), 반사파동은 뒤집어진다. 

-파동이 매질 A에서 매질 B로 진행하고 \(v_{A}<v_{B}\)인 경우(A가 B보다 밀한 경우로 \(\mu_{A}>\mu_{B}\)), 반사파동은 뒤집어지지 않는다.

길이요소가 \(dx\)이고 질량요소가 \(dm\)인 요소의 운동에너지는 \(\displaystyle dK=\frac{1}{2}dm v_{y}^{2}\)이고 여기서 \(v_{y}\)는 요소의 횡방향 속력이다. \(\mu\)가 줄의 단위길이당 질량이면 \(\mu dx=dm\)이므로$$dK=\frac{1}{2}(\mu dx)v_{y}^{2},\,dU=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}(\mu\omega^{2}dx)x^{2}$$이고 \(v_{y}=-\omega A\cos(kx-\omega t)\)이므로 다음이 성립한다.$$dK=\frac{1}{2}\mu\omega^{2}A^{2}\cos^{2}(kx-\omega t)dx,\,dU=\frac{1}{2}\mu\omega^{2}A^{2}\sin^{2}(kx-\omega t)dx$$그러면 \(t=0\)일 때 한 파장 안의 전체 운동에너지는$$K_{\lambda}=\int{dK}=\int_{0}^{\lambda}{\frac{1}{2}\mu\omega^{2}A^{2}\cos^{2}(kx)dx}=\frac{1}{4}\mu\omega^{2}A^{2}\lambda$$\(t=0\)일 때 한 파장 안의 전체 위치에너지는$$U_{\lambda}=\int{dU}=\int_{0}^{\lambda}{\frac{1}{2}\mu\omega^{2}A^{2}\sin^{2}(kx)dx}=\frac{1}{4}\mu\omega^{2}A^{2}\lambda$$이므로 한 파장 안의 전체 에너지는 \(\displaystyle E_{\lambda}=K_{\lambda}+U_{\lambda}=\frac{1}{2}\mu\omega^{2}A^{2}\lambda\)이다.

파동이 줄을 따라서 진행할 때, 이 에너지가 한 주기동안 줄 위의 주어진 점을 지나간다. 

일률(에너지 전달률)은 \(\displaystyle P=\frac{\Delta E}{\Delta t}=\frac{E_{\lambda}}{T}=\frac{1}{2}\mu\omega^{2}A^{2}\left(\frac{\lambda}{T}\right)\)이므로 \(\displaystyle P=\frac{1}{2}\mu\omega^{2}A^{2}v\)이고 이 사실로부터 임의의 사인형 파동의 에너지 전달률은 각진동수의 제곱과 진폭의 제곱에 비례함을 알 수 있다.

위의 그림은 진행파가 장력 \(\vec{T}\)가 작용하는 줄을 따라 진행하는 것을 나타낸 것이다. 줄에 작용하는 연직요소에 작용하는 알짜힘은$$\sum{F_{y}}=T\sin\theta_{B}-T\sin\theta_{A}=T(\sin\theta_{B}-\sin\theta_{A})$$이고 각도가 작기 때문에 근사식 \(\sin\theta\approx\tan\theta\)로부터 \(\displaystyle\sum{F_{y}}=T(\tan\theta_{B}-\tan\theta_{A})\)이다. 이때 \(\displaystyle\tan\theta=\frac{dy}{dx}\)이므로 \(\displaystyle\sum{F_{y}}\approx T\left[\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{B}-\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{A}\right]\)이다. 뉴턴의 제2법칙을 적용하면 \(\displaystyle\sum{F_{y}}=ma_{y}=\mu\Delta x\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^{2}\,(m=\mu\Delta x)\)이므로$$\mu\Delta x\left(\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}\right)=T\left[\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{B}-\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{A}\right]\,\Rightarrow\,\frac{\mu}{T}\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=\frac{1}{\Delta x}\left[\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{B}-\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{A}\right]$$\(f(x+\Delta x)\)는 \(\displaystyle\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{B}\)와, \(f(x)\)는 \(\displaystyle\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{A}\)와 연관시키면$$\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}$$이므로 \(\Delta x\,\rightarrow\,0\)의 극한에서 \(\displaystyle\frac{\mu}{T}\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=\frac{1}{\Delta x}\left[\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{B}-\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{A}\right]\,\Rightarrow\,\frac{\mu}{T}\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}\)이고 이것은 줄에서의 선형파동방정식이다.

일반적인 선형파동방정식은 \(\displaystyle\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}\)이다.

모든 파동함수 \(y(x,\,t)\)는 선형파동방정식이라고 하는 방정식의 해를 나타낸다. 선형파동방정식은 \(y=f(x\pm vt)\)인 형태를 갖는 어떤 파동함수도 만족하고, 파동이 진행하는 줄의 요소에 뉴턴의 제2법칙을 적용한 결과이다.

참고자료:

Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics 9th edition, Serway, Jewett, Cengage Learning