1. 파동의 운동(1)

1. 파동의 운동(1) 

에너지는 다른 곳까지 전달되지만 물질은 전달되지 않는다. 에너지전달은 공간에서 물질이 이동함으로써 이루어진다.

모든 역학적인 파동은 1. 파원(source of disturbance), 2. 매질, 3. 매질 안의 한 점과 서로 이웃한 점 사이의 물리적인 관계에 의해 결정된다.

위의 왼쪽 그림에서 파동은 줄을 따라 진행한다(파동의 모양은 진행 중 변하지 않는다). 줄은 펄스가 이동하는 매질이고, 펄스가 매질(줄)을 따라 이동할 때 일정한 높이와 일정한 속력을 갖는다. 파동의 모양은 거의 일정하고 이렇게 모양이 이동하는 파동을 진행파(traveling wave)라고 한다. 

파동이 줄을 따라 진행할 때, 운동하는 줄의 각 부분은 파동의 운동방향에 수직으로 움직이고, 파동의 진행방향으로는 운동하지 않는다. 이와같이 매질이 파동의 진행방향과 수직인 방향으로 움직이는 파동을 횡파(transerve wave)라고 한다.

위의 그림처럼 매질의 파동이 운동방향과 같은 방향으로 움직이는 파동을 종파(longitudinal wave)라고 한다.

위의 그림은 수면파로 연속된 골과 마루를 형성하고, 파동은 횡적(가로)성분과 종적(세로)성분을 모두 갖는다. 참고로 P파(속력은 \(7\sim8\text{km/s}\), 종파), S파(속력은 \(4\sim5\text{km/s}\), 횡파)로 종파가 횡파보다 빠르다.

위의 왼쪽 그림은 시간 \(t=0\)에서의 펄스, 오른쪽 그림은 시간 \(t\)에서의 펄스이다. 파동의 모양이 시간에 따라 변하지 않는다면, 임의의 시간 \(t\)에서 횡변위 \(y\)는 \(y(x,\,t)=f(x-vt)\)이고, 펄스가 왼쪽으로 진행하면 횡변위는 \(y(x,\,t)=f(x+vt)\)이다.    

\(y\)는 \(x\)와 \(t\)의 함수로서 파동함수(wave function)라 하고 \(y(x,\,t)\)로 나타낸다. 파동함수 \(y(x,\,t)\)는 임의의 시간 \(t\)에서 파동요소의 위치가 \(x\)일 때 점 \(P\)의 \(y\)좌표를 나타낸다. 

다음은 파동함수 \(\displaystyle y=\frac{2}{(x-3.0t)^{2}+1}\)(\(x,\,y\)의 단위는 cm, \(t\)는 초(s))의 시간 \(t=0,\,1,\,2\)에 따른 그래프이다.

파동은 보통 다음의 그림과 같은 사인형 파동(sunusoidal wave)이다.

위 그림의 완전한 파형이 오른쪽으로 이동해서 빨간색 선이 오른쪽으로 이동하게 되고 결국 파란색 선의 위치에 도달하게 된다. 이러한 이동이 파동의 운동이다. 

\(x=0\)에 있는 매질의 한 요소에 초점을 맞추면, 각 요소는 \(y\)축을 따라 단조화 운동을 하며 위, 아래로 움직인다. 이러한 이동이 매질요소의 운동이다. 

다음의 진행 사인파에서

정상 위치에서 요소의 변위가 최고인 점을 마루(crest), 정상 위치에서 요소의 변위가 최저인 점을 골(trough)이라고 하고, 한 마루(골)에서 다음 마루(골)까지의 거리를 파장(wavelength, 어떤 파동의 한 점과 같은 변위를 가지는 가장 인접한 점 사이의 거리)이라고 하고 보통 \(\lambda\)로 나타낸다.

한 파장을 이동하는데 걸리는 시간을 주기(period)라 하고 단위는 초(s), 보통 \(T\)로 나타낸다. 단위시간당 주어진 점을 지나가는 마루(골)의 수를 진동수(frequency, 주기의 역수)라 하고 단위는 헤르츠(Hz), 보통 \(f\)로 나타내며 \(\displaystyle f=\frac{1}{T}\)의 관계가 있다. 매질 요소의 평형으로부터 최대변위를 진폭(amplitude)이라고 한다.      

사인형 파동이 오른쪽으로 \(v\)의 속력으로 움직일 때 시간 \(t\)후의 파동함수는 \(\displaystyle y(x,\,t)=A\sin\left\{\frac{2\pi}{\lambda}(x-vt)\right\}\)이고, 왼쪽으로 \(v\)의 속력으로 움직일 때 시간 \(t\)후의 파동함수는 \(\displaystyle y(x,\,t)=A\sin\left\{\frac{2\pi}{\lambda}(x+vt)\right\}\)이다. 

파동의 속력, 파장, 주기 사이의 관계식은 \(\displaystyle v=\frac{dx}{dt}=\frac{\lambda}{T}\)이므로 파동함수를 \(\displaystyle y=A\sin\left\{2\pi\left(\frac{x}{\lambda}-\frac{t}{T}\right)\right\}\)로 나타낼 수 있고, \(\displaystyle k=\frac{2\pi}{\lambda}\)를 파수(wave number), \(\displaystyle\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\)를 각진동수(angular frequency)라 하고, 이 두 식들을 이용해 파동함수를 \(y=A\sin(kx-\omega t)\), 파동의 속력을 \(\displaystyle v=\frac{\omega}{k}=\lambda f\)로 나타낼 수 있다. 

참고자료:

Physics For Scientists and Engineers with Modern Physics 9th edition, Serway, Jewett, Cengage Learning