5. 중첩, 간섭, 정상파

5. 중첩, 간섭, 정상파

중첩의 원리(superposition principle)는 두 개 이상의 진행 파동이 매질을 통해 움직일 때, 임의의 한 점에서 합성파동의 파동함수값은 각 파동의 파동함수값의 대수적인 합이다. 

중첩의 원리를 따르는 파동을 선형 파동이라고 하고, 중첩의 원리를 따르지 않는 파동을 비선형 파동이라고 한다. 

선형파동은 파장에 비해 파동이 훨씬 작고, 비선형파동은 진폭이 크다. 중첩의 원리로부터 두 개의 진행파동은 서로를 변화시키거나 파괴시키지 않고 서로를 통과해간다.    

간섭(interference)은 공간상의 같은 점에서 분리된 파동들이 결합해서 합성파동을 만드는 것이다.

위의 그림은 보강간섭(constructive interference)으로 같은 방향의 진폭을 가진 두 펄스의 중첩이다.

위의 그림은 소멸(상쇄)간섭(destructive interference)으로 다른 방향의 진폭을 가진 두 펄스의 중첩이다.

두 개의 사인형 파동이 오른쪽으로 진행하고 있으며, 진동수 및 파장과 진폭은 서로 같고 위상만 다르면, 즉 

\(y_{1}=A\sin(kx-\omega t)\), \(y_{2}=A\sin(kx-\omega t+\phi)\)(\(\displaystyle k=\frac{2\pi}{\lambda}\), \(\omega=2\pi f\), \(\phi\)는 위상상수)이면, 삼각함수의 덧셈공식 \(\displaystyle\sin a+\sin b=2\cos\frac{a-b}{2}\sin\frac{a+b}{2}\)로부터 합성함수의 파동함수는 다음과 같다.$$y=2A\cos\frac{\phi}{2}\sin\left(kx-\omega t+\frac{\phi}{2}\right)$$

보강간섭은 \(\displaystyle\cos\frac{\phi}{2}=\pm1\)일 때 발생하고(\(\phi=0,\,2\pi,\,4\pi,\,...\), \(\pi\)의 짝수배), \(\phi\)가 \(\pi\)의 홀수배(\(\phi=\pi,\,3\pi,\,5\pi,\,...\))이면, 합성파동의 진폭은 모든 곳에서 0이다. \(\phi\)가 0이나 \(\pi\)의 정수배가 아니면 합성파동의 진폭읜 0과 \(2A\)사이에 있다. 

위의 그림에서 음파의 반은 한 쪽으로, 음파의 나머지 반은 반대방향으로 진행한다. \(r_{1}\)은 고정되어 있으나 \(r_{2}\)는 U자관을 밀어서 변화시킬 수 있다. 

경로차 \(\Delta r=|r_{2}-r_{1}|\)이 0이거나 파장 \(\lambda\)의 정수배일 때, 수신기에 도달하는 두 음파는 항상 위상이 같고 보강간섭을 하며, 최대의 음파세기가 수신기에서 검출된다.

경로차 \(\Delta r\)가 반파장 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\)의 홀수배일 때, 두 음파의 위상차는 \(180^{\circ}\)가 되어 수신기에서 서로 소멸하고, 소멸간섭이 일어나며 수신기에는 아무런 음파도 검출되지 않는다.

따라서 같은 파원에서 발생된 두 파가 서로 다른 경로를 거치면 위상차가 발생할 수 있다.

위의 그림처럼 두 스피커를 마주보도록 돌려놓고 진폭과 진동수가 같은 음파를 방출하면 이 상황에서 두 동일한 파동은 그림과 같이 동일한 매질에서 반대방향으로 진행한다. 이들 파동은 간섭모형에 따라 결합된다.

(+)방향으로 진행하는 파동을 \(y_{1}=A\sin(kx-\omega t)\), (-)방향으로 진행하는 파동을 \(y_{2}=A\sin(kx+\omega t)\)라고 하면 이 두 파동의 합성파동의 파동함수는 \(y=(2A\sin kx)\cos\omega t\)이고, 이것이 정상파(standing waves)의 파동함수이다(특수한 종류의 단조화 진동운동).

한 요소의 단조화 운동의 진폭은 매질 안의 위치 \(x\)에 따라 달라진다.

위의 그림에서 줄의 각 요소들에 대한 평형점으로부터의 수직변위는 \(\cos\omega t\)이고, 각 요소는 둘러싸고 있는 함수 \(2A\sin kx\)의 한계 이내에서 진동한다.

매질 요소의 단조화 운동의 진폭은 \(\sin kx=0\)을 만족하는 \(x\)에서 최솟값을 갖는다. \(\displaystyle k=\frac{2\pi}{\lambda}\)이므로 \(x\)가 0이거나 반파장 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\)의 홀수배일 때 최솟값을 갖는다. 이들 진폭이 0인 점들을 마디(node)라고 한다.

정상파의 진폭은 \(2A\)(평형점으로부터 최대로 변위될 수 있는 매질요소)이고, 최대 변위가 발생하는 이러한 위치를 배(antinode)라고 한다. 배는 \(\sin kx=\pm1\)을 만족하는 위치 \(x\)에서 발생한다. \(\displaystyle k=\frac{2\pi}{\lambda}\)이므로 \(x\)가 \(\displaystyle\frac{\lambda}{4}\)의 홀수배일 때 이 \(x\)에서 배이다.  

따라서 이웃한 배들 사이의 간격은 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\), 이웃한 마디들 사이의 간격은 \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\), 한 마디와 이웃한 배와의 간격은 \(\displaystyle\frac{\lambda}{4}\)이다. 다음은 시간에 따른 정상파의 모양이다.

다음의 그림은 양쪽 끝에 고정된 줄이다.

양쪽 끝으로 입사하고 반사하는 파동들의 연속적인 중첩으로 인해 줄에 정상파가 발생한다. 양 끝이 마디인 경계조건을 고유모드(normal mode)라 하고, 많은 수의 고유 진동모양을 생기게 하고, 특성 진동수를 가진다. 특정한 진동수의 진동만이 허용되는 상황을 양자화(quantization)라고 하고 파동이 경계조건을 가질때 발생한다.

줄에 대한 진동의 고유모드는 양 끝이 마디가 되어야 하고 마디와 배는 \(\displaystyle\frac{1}{4}\)파장 떨어져 있다는 경계조건으로 설명이 가능하다.

위의 왼쪽 그림은 첫 번째 고유모드, 가운데 그림은 두 번째 고유모드, 오른쪽 그림은 세 번째 고유모드이다. 한 마디에서 다음 마디까지 정상파의 구간을 고리(loop)라고 하고, 양 끝이 고정된 길이 \(L\)의 줄에 대한 다양한 고유모드의 파장은 \(\displaystyle\lambda_{n}=\frac{2L}{n}\)(\(n\)은 진동의 \(n\)번째 고유모드를 나타낸다)이고, 고유모드의 고유진동수는 \(\displaystyle f_{n}=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}\)(\(T\)는 줄의 장력, \(\mu\)는 줄의 선밀도, \(v\)는 줄에서 파동의 속력)이다.

\(n=1\)에 해당하는 가장 낮은 진동수 \(\displaystyle f_{1}=\frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}\)를 기본 진동수(fundamental frequency)라고 한다. 

이와 같이 정수배 관계를 갖는 고유모드의 진동수는 조화열(harmony series)을 형성하며, 이 고유모드들을 조화(harmonics)모드라고 한다. 

*줄의 변형이 sine형이 아니면 경계조건을 만족하는 파동만이 줄에서 남는다(이들 파동이 조화모드).

참고자료:

Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics 9th edition, Serway, Jewett, Cengage Learning