[측도론] 9-5 위너과정
유체 안에서 입자간 충돌이 일어나 유체에 있는 작은 입자들은 브라운 운동(Brownian motion)이라고 알려진 불규칙한 운동을 하는 것을 관찰할 수 있다. 아인슈타인은 브라운 운동을 물리학적으로 해석하고 장 밥티스트 페렝은 이를 실험으로 입증했으며 노버트 위너가 이를 수학적 확률과정으로 만들었다.
시간 t(>0)에서 직선상에서 브라운 운동을 하는 입자의 위치를 확률변수 Xt로 간주한다. 이때 Xt는 다음의 두 가지 조건들을 만족한다.
(a) 초기 위치(t=0)는 원점이다. 즉 X0=0a.s.
(b) 충돌은 오직 극미한 양의 입자들에만 영향을 주고 그 효과는 단시간동안 지속되므로 시간 t 이후의 입자의 운동은 그 위치인 Xt의 영향을 받고 과거의 영향을 받지 않는다. 따라서 다음과 같이 가정할 수 있다.
0≤t0<t1<⋯<tn이면, 확률변수 Xti−Xti−1(1≤i≤n)들은 독립이다.
브라운 운동에서의 물리적 과정들은 시간과 동차이므로 Xs−Xt의 분포는 오직 t−s의 영향만을 받는다. 구간 [s,t]를 n개의 구간[t0,t1],...,[tn−1,tn](t0=s,tn=t)으로 분할하고 Xt−Xs=n∑i=1(Xti−Xti−1)로 나타내면 (b)로부터 Xt−Xs는 n개의 독립동일분포를 따르는 확률변수들의 합임을 알 수 있다. n을 임의로 크게 선택할 수 있기 때문에 Xt−Xs의 분포는 중심극한정리에 의해 정규분포를 따른다(실제 실험을 통해 성립함이 확인되었다) 게다가 9.5에 의해 σ2(Xt−Xs)=nσ2(Xt1−Xt0)이고 t−s=r(t′−s′)(r∈Q)일 때 σ2(Xt−Xs)=rσ2(Xt′−Xs′)이다. 이것은 σ2(Xt−Xs)가 t−s에 비례해야 함을 뜻한다. 마지막으로 입자는 위아래로 운동하기 때문에 Xt−Xs의 평균은 0이어야 한다. 이 결과들로부터 Xt가 다음의 조건을 만족함을 알 수 있다.
(c) 상수 C>0가 존재해서 0<s<t에 대해 Xt−Xs는 평균이 0이고 분산이 C(t−s)인 정규분포(nC(t−s)0)를 따른다. 여기서 상수 C는 확산계수로 이 물리적인 계에 대한 변수이고 여기서는 C=1이라고 하겠다.
(a), (b), (c)를 모두 만족하는 집합족 {Xt}t≥0(C=1)을 추상 위너과정(abstract Wiener process)이라고 하고 일반적으로 n차원인 경우는 Rn차원 확률변수들의 집합족 {Xt}t≥0(Xt=(X1t,...,Xnt))이고 이것은 n차원 추상 위너과정(n-dimensional abstract Wiener process)이라고 하며 다음의 두 조건들을 만족한다.
(i) {Xit}t≥0(1≤i≤n)는 1차원 추상 위너과정이다.
(ii) 임의의 Yi∈{Xit}t>0(1≤i≤n)에 대하여 Y1,...,Yn들은 독립이다.
이것은 n차원 추상 위너공간이 n개의 1차원 추상 위너공간들의 카테시안 곱 임을 뜻하고 특히 t>s에 대해 Xt−Xs는 n차원 정규분포 (nt−s0)n을 따르고d(nt−s0)n(x1,...,xn)=1(√2π(t−s))ne−12(t−s)∑ni=1x2idx1⋯dxn이다. 1차원 위너공간에서 조건 (a), (b), (c)를 이용해 Xt들의 결합분포를 결정할 수 있다. t1<⋯<tn이면,Xt1(=Xt1−Xt0,X0=0a.s.),Xt2−Xt1,...,Xtn−Xtn−1들은 독립이므로 이들의 결합분포는 곱측도 nt10×nt2−t10×⋯×ntn−tn−10이다.(Xt1,...,Xtn)=T(Xt1,Xt2−Xt1,...,Xtn−Xtn−1)이고(T(y1,...,yn)=(y1,y1+y2,...,y1+⋯+yn))이고 det이므로 2.44에 의해 X_{t_{1}},\,...,\,X_{t_{n}}의 결합분포 P_{(t_{1},\,...,\,t_{n})}은 다음과 같다.\begin{align*}dP_{(t_{1},\,...,\,t_{n})}(x_{1},\,...,\,x_{n})&=dn_{0}^{t_{n}-t_{n-1}}(x_{n}-x_{n-1})\cdots dn_{0}^{t_{2}-t_{1}}(x_{2}-x_{1})dn_{0}^{t_{1}}(x_{1})\\&=\left(\sqrt{\prod_{i=1}^{n}{2\pi(t_{i}-t_{i-1})}}\right)^{-1}e^{-\sum_{i=1}^{n}{\frac{(x_{i}-x_{i-1})^{2}}{2(t_{i}-t_{i-1})}}}dx_{1}\cdots dx_{n}\,(t_{0}=0,\,x_{0}=0)\end{align*}따라서 t_{1}<\cdots<t_{n}일 때 P_{(t_{1},\,...,\,t_{n})}을 알고 일반적인 경우는 9-4의 (1)을 이용하여 얻을 수 있다. 또한 위의 식으로부터 9-4의 (2)를 만족한다. 그러므로 9.14에 의해 추상 위너과정이 존재한다.
물리적으로 입자의 위치는 시간에 대한 연속함수이다. 그렇기에 C([0,\,\infty),\,\mathbb{R})의 원소가 되는 위너과정에 대한 표본공간(또는 부분집합)과 t를 계산하기 위해 X_{t}를 구하고 싶을 것이다. 사실상 정리 9.14에 의해 표본공간은 [0,\,\infty)에서 컴팩트 직선으로의 함수들의 공간 (\mathbb{R}^{*})^{[0,\,\infty)}를 제공하고 X_{t}(\omega)는 표본 \omega(t)와 관계된다. 이렇게 해서 정리 9.14의 측도 P가 (\mathbb{R}^{*})^{[0,\,\infty)}의 부분집합 C([0,\,\infty),\,\mathbb{R})에 집중되어 있음을 보이고 C([0,\,\infty),\,\mathbb{R})상의 추상 위너과정 중 실제로 일어나는 추상 위너과정을 위너과정(Wiener process)이라고 한다. 따라서 \Omega=(\mathbb{R}^{*})^{[0,\,\infty)}, \Omega_{c}=C([0,\,\infty),\,\mathbb{R}), P는 \Omega상의 라돈측도, 유한차원 사영함수는 dP_{(t_{1},\,...,\,t_{n})}(x_{1},\,...,\,x_{n})이다.
참고자료:
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley
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