[측도론] 9-5 위너과정

[측도론] 9-5 위너과정

유체 안에서 입자간 충돌이 일어나 유체에 있는 작은 입자들은 브라운 운동(Brownian motion)이라고 알려진 불규칙한 운동을 하는 것을 관찰할 수 있다. 아인슈타인은 브라운 운동을 물리학적으로 해석하고 장 밥티스트 페렝은 이를 실험으로 입증했으며 노버트 위너가 이를 수학적 확률과정으로 만들었다. 

시간 \(t(>0)\)에서 직선상에서 브라운 운동을 하는 입자의 위치를 확률변수 \(X_{t}\)로 간주한다. 이때 \(X_{t}\)는 다음의 두 가지 조건들을 만족한다. 

(a) 초기 위치(\(t=0\))는 원점이다. 즉 \(X_{0}=0\,a.s.\) 

(b) 충돌은 오직 극미한 양의 입자들에만 영향을 주고 그 효과는 단시간동안 지속되므로 시간 \(t\) 이후의 입자의 운동은 그 위치인 \(X_{t}\)의 영향을 받고 과거의 영향을 받지 않는다. 따라서 다음과 같이 가정할 수 있다. 

\(0\leq t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}\)이면, 확률변수 \(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}\,(1\leq i\leq n)\)들은 독립이다. 

브라운 운동에서의 물리적 과정들은 시간과 동차이므로 \(X_{s}-X_{t}\)의 분포는 오직 \(t-s\)의 영향만을 받는다. 구간 \([s,\,t]\)를 \(n\)개의 구간$$[t_{0},\,t_{1}],\,...,\,[t_{n-1},\,t_{n}]\,(t_{0}=s,\,t_{n}=t)$$으로 분할하고 \(\displaystyle X_{t}-X_{s}=\sum_{i=1}^{n}{(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}})}\)로 나타내면 (b)로부터 \(X_{t}-X_{s}\)는 \(n\)개의 독립동일분포를 따르는 확률변수들의 합임을 알 수 있다. \(n\)을 임의로 크게 선택할 수 있기 때문에 \(X_{t}-X_{s}\)의 분포는 중심극한정리에 의해 정규분포를 따른다(실제 실험을 통해 성립함이 확인되었다) 게다가 9.5에 의해 \(\sigma^{2}(X_{t}-X_{s})=n\sigma^{2}(X_{t_{1}}-X_{t_{0}})\)이고 \(t-s=r(t'-s')\,(r\in\mathbb{Q})\)일 때 \(\sigma^{2}(X_{t}-X_{s})=r\sigma^{2}(X_{t'}-X_{s'})\)이다. 이것은 \(\sigma^{2}(X_{t}-X_{s})\)가 \(t-s\)에 비례해야 함을 뜻한다. 마지막으로 입자는 위아래로 운동하기 때문에 \(X_{t}-X_{s}\)의 평균은 0이어야 한다. 이 결과들로부터 \(X_{t}\)가 다음의 조건을 만족함을 알 수 있다.

(c) 상수 \(C>0\)가 존재해서 \(0<s<t\)에 대해 \(X_{t}-X_{s}\)는 평균이 0이고 분산이 \(C(t-s)\)인 정규분포(\(n_{0}^{C(t-s)}\))를 따른다. 여기서 상수 \(C\)는 확산계수로 이 물리적인 계에 대한 변수이고 여기서는 \(C=1\)이라고 하겠다. 

(a), (b), (c)를 모두 만족하는 집합족 \(\{X_{t}\}_{t\geq0}\,(C=1)\)을 추상 위너과정(abstract Wiener process)이라고 하고 일반적으로 \(n\)차원인 경우는 \(\mathbb{R}^{n}\)차원 확률변수들의 집합족 \(\{\mathbf{X}_{t}\}_{t\geq0}\,(\mathbf{X}_{t}=(X_{t}^{1},\,...,\,X_{t}^{n}))\)이고 이것은 \(n\)차원 추상 위너과정(\(n\)-dimensional abstract Wiener process)이라고 하며 다음의 두 조건들을 만족한다. 

(i) \(\{X_{t}^{i}\}_{t\geq0}\,(1\leq i\leq n)\)는 1차원 추상 위너과정이다.  

(ii) 임의의 \(Y_{i}\in\{X_{t}^{i}\}_{t>0}\,(1\leq i\leq n)\)에 대하여 \(Y_{1},\,...,\,Y_{n}\)들은 독립이다.  

이것은 \(n\)차원 추상 위너공간이 \(n\)개의 1차원 추상 위너공간들의 카테시안 곱 임을 뜻하고 특히 \(t>s\)에 대해 \(\mathbf{X}_{t}-\mathbf{X}_{s}\)는 \(n\)차원 정규분포 \((n_{0}^{t-s})^{n}\)을 따르고$$d(n_{0}^{t-s})^{n}(x_{1},\,...,\,x_{n})=\frac{1}{(\sqrt{2\pi(t-s)})^{n}}e^{-\frac{1}{2(t-s)}\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}dx_{1}\cdots dx_{n}$$이다. 1차원 위너공간에서 조건 (a), (b), (c)를 이용해 \(X_{t}\)들의 결합분포를 결정할 수 있다. \(t_{1}<\cdots<t_{n}\)이면,$$X_{t_{1}}(=X_{t_{1}}-X_{t_{0}},\,X_{0}=0\,a.s.),\,X_{t_{2}}-X_{t_{1}},\,...,\,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$$들은 독립이므로 이들의 결합분포는 곱측도 \(n_{0}^{t_{1}}\times n_{0}^{t_{2}-t_{1}}\times\cdots\times n_{0}^{t_{n}-t_{n-1}}\)이다.$$(X_{t_{1}},\,...,\,X_{t_{n}})=T(X_{t_{1}},\,X_{t_{2}}-X_{t_{1}},\,...,\,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}})$$이고(\(T(y_{1},\,...,\,y_{n})=(y_{1},\,y_{1}+y_{2},\,...,\,y_{1}+\cdots+y_{n})\))이고 \(\det T=1\)이므로 2.44에 의해 \(X_{t_{1}},\,...,\,X_{t_{n}}\)의 결합분포 \(P_{(t_{1},\,...,\,t_{n})}\)은 다음과 같다.$$\begin{align*}dP_{(t_{1},\,...,\,t_{n})}(x_{1},\,...,\,x_{n})&=dn_{0}^{t_{n}-t_{n-1}}(x_{n}-x_{n-1})\cdots dn_{0}^{t_{2}-t_{1}}(x_{2}-x_{1})dn_{0}^{t_{1}}(x_{1})\\&=\left(\sqrt{\prod_{i=1}^{n}{2\pi(t_{i}-t_{i-1})}}\right)^{-1}e^{-\sum_{i=1}^{n}{\frac{(x_{i}-x_{i-1})^{2}}{2(t_{i}-t_{i-1})}}}dx_{1}\cdots dx_{n}\,(t_{0}=0,\,x_{0}=0)\end{align*}$$따라서 \(t_{1}<\cdots<t_{n}\)일 때 \(P_{(t_{1},\,...,\,t_{n})}\)을 알고 일반적인 경우는 9-4의 (1)을 이용하여 얻을 수 있다. 또한 위의 식으로부터 9-4의 (2)를 만족한다. 그러므로 9.14에 의해 추상 위너과정이 존재한다.       

물리적으로 입자의 위치는 시간에 대한 연속함수이다. 그렇기에 \(C([0,\,\infty),\,\mathbb{R})\)의 원소가 되는 위너과정에 대한 표본공간(또는 부분집합)과 \(t\)를 계산하기 위해 \(X_{t}\)를 구하고 싶을 것이다. 사실상 정리 9.14에 의해 표본공간은 \([0,\,\infty)\)에서 컴팩트 직선으로의 함수들의 공간 \((\mathbb{R}^{*})^{[0,\,\infty)}\)를 제공하고 \(X_{t}(\omega)\)는 표본 \(\omega(t)\)와 관계된다. 이렇게 해서 정리 9.14의 측도 \(P\)가 \((\mathbb{R}^{*})^{[0,\,\infty)}\)의 부분집합 \(C([0,\,\infty),\,\mathbb{R})\)에 집중되어 있음을 보이고 \(C([0,\,\infty),\,\mathbb{R})\)상의 추상 위너과정 중 실제로 일어나는 추상 위너과정을 위너과정(Wiener process)이라고 한다. 따라서 \(\Omega=(\mathbb{R}^{*})^{[0,\,\infty)}\), \(\Omega_{c}=C([0,\,\infty),\,\mathbb{R})\), \(P\)는 \(\Omega\)상의 라돈측도, 유한차원 사영함수는 \(dP_{(t_{1},\,...,\,t_{n})}(x_{1},\,...,\,x_{n})\)이다. 

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley