[측도론] 9-4 표본공간의 건설

[측도론] 9-4 표본공간의 건설

이전의 두 단원(9-2, 9-3)에서 결합분포가 특정한 성질을 만족하는 확률변수의 열에 대해 다뤘다. 여기서는 이러한 성질을 갖는 확률변수 족 \(\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)를 건설할 것이다.  

\(A\)가 유한집합이면, \(\mathbb{R}^{n}\)상의 임의의 보렐 확률측도 \(P\)는 공간 \((\mathbb{R}^{n},\,\mathcal{B}_{\mathbb{R}^{n}},\,P)\)에서 좌표사상 \(X_{1},\,...,\,X_{n}\)들의 결합분포로 정의하면 되지만, \(A\)가 무한집합이면, 복잡해진다. 

\(\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)를 어떤 표본공간 \((\Omega,\,\mathcal{B},\,P)\)상의 확률변수족, \(A\)의 서로 다른 원소들이 \(n(n\in\mathbb{N})\)자리 순서쌍 \((\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})\)에 대해 \(P_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)을 \(X_{\alpha_{1}},\,...,\,X_{\alpha_{n}}\)들의 결합분포라 하자. 그러면 \(P_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)은 다음 성질들을 만족한다. 

(1) \(\sigma\)를 \(\{1,\,...,\,n\}\)의 치환이라고 하면 다음이 성립한다.$$dP_{(\alpha_{\sigma(1)},\,...,\,\alpha_{\sigma(n)})}(x_{\sigma(1)},\,...,\,x_{\sigma(n)})=dP_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}(x_{1},\,...,\,x_{n})$$ 

(2) \(k<n\)이고 \(E\in\mathcal{B}_{\mathbb{R}^{k}}\)이면, 다음이 성립한다.$$P_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{k})}(E)=P_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}(E\times\mathbb{R}^{n-k})$$ 

역으로 (1), (2)를 만족하는 측도 \(P_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)들의 임의의 집합족에 대해 표본공간 \((\Omega,\,\mathcal{B},\,P)\)와 \(P_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)을 \(X_{\alpha_{1}},\,...,\,X_{\alpha_{n}}\)들의 결합분포로 갖는 \(\Omega\)상의 확률변수족 \(\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)가 존재함을 보일 것이다. 

이를 보이기 위해 \(\mathbb{R}\)을 \(\mathbb{R}^{*}=\mathbb{R}\cup\{\infty\}\)로 대치한다. \(\mathbb{R}^{n}\)상의 임의의 보렐측도는 \((\mathbb{R}^{*})^{n}-\mathbb{R}^{n}\)에서 0인 \((\mathbb{R}^{*})^{n}\)상의 보렐측도라 할 수 있고, 그 반대로도 주장할 수 있다. 즉, 확률변수가 무한대 값을 가질 확률을 0이라고 할 수 있다. 티코노프 정리에 의해 \((\mathbb{R}^{*})^{A}\)는 컴팩트집합이다. 

이러한 과정을 통해 확률변수 \(\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)들이 독립이고 따라서 \(P\)가 \(P_{\alpha}\)들의 곱으로 나타나는 표본공간 \((\Omega,\,\mathcal{B},\,P)\)의 건설은 7.26에 포함되어 있다. 

9.14 \(A(\neq\phi)\)를 임의의 집합, \(A\)의 서로 다른 원소들의 \(n\in\mathbb{N}\)자리 순서쌍들에 대해 위의 (1), (2)를 만족하는 \(\mathbb{R}^{n}\)(또는 \((\mathbb{R}^{*})^{n}\))상의 보렐측도 \(P_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)이 있다고 하자. 그러면 컴팩트 하우스도르프공간 \(\Omega=(\mathbb{R}^{*})^{A}\)에서 \(P_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)가 \(X_{\alpha_{1}},\,...,\,X_{\alpha_{n}}\)들의 결합분포가 되는 유일한 라돈측도 \(P\)가 존재한다. 여기서 \(X_{\alpha}:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{*}\)는 \(\alpha\)번째 좌표사상이다.  

증명: \(C_{F}(\Omega)\)를 유한개 좌표의 영향만을 받는 \(f\in C(\Omega)\)들의 집합이라 하자. \(f\in C_{F}(\Omega)\)이면 \(f(x)=F(x_{\alpha_{1}},\,...,\,x_{\alpha_{n}})\)이라 하고$$I(f)=\int_{\Omega}{FdP_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}}$$이라고 하자. (1)과 (2)에 의해 \(I(f)\)는 잘 정의된다. 명백히 \(f\geq0\)이면 \(I(f)\geq0\)이고 \(|I(f)|\leq\|f\|_{u}\)이며 등호는 \(f\)가 상수함수일 때 성립한다. \(C_{F}(\Omega)\)는 상수함수를 포함하고 점을 분리하는 대수이며 복소공액에 대해 닫혀있으므로 스톤-바이어슈트라스 정리에 의해 \(C(\Omega)\)에서 조밀하다. 따라서 범함수 \(I\)는 노름이 1인 \(C(\Omega)\)상의 양 선형범함수로 유일하게 확장하고 리즈 표현정리에 의해 \(\Omega\)상의 유일한 라돈측도 \(P\)가 존재해서 \(\displaystyle I(f)=\int_{\Omega}{fdP}\)이다.  

\(X_{\alpha}\)를 \(\Omega\)에서 \(\alpha\)번째 좌표, \(P'_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)을 \((\mathbb{R}^{*})^{n}\)상의 확률변수 \(X_{\alpha_{1}},\,...,\,X_{\alpha_{n}}\)들의 결합분포라 하자. 앞에서처럼 \(F\in C((\mathbb{R}^{*})^{n})\), \(f=F\circ(X_{\alpha_{1}},\,...,\,X_{\alpha_{n}})\)라고 하면$$\int_{(\mathbb{R}^{*})^{n}}{FdP'_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}}=\int_{(\mathbb{R}^{*})^{n}}{fdP}=I(f)=\int_{(\mathbb{R}^{*})^{n}}{FdP_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}}$$이다. 7.6에 의해 \(P'_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)과 \(P_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)은 라돈측도이므로 리즈 표현정리의 유일성에 의해 이 두 측도는 같다.    

이 증명에서 사용된 \(\mathbb{R}^{*}\)의 성질은 열린집합이 \(\sigma-\)컴팩트인 컴팩트 하우스도르프 공간에서 사용되어서 이 정리를 일반화할 수 있다. 특히 각 \(\alpha\)에 대하여 컴팩트집합 \(K_{\alpha}\subset\mathbb{R}\)가 존재해서 모든 \(\alpha_{1},\,...,\alpha_{n}\)에 대해 \(P_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}\)의 받침은 \(K_{\alpha_{1}}\times\cdots\times K_{\alpha_{n}}\)이고 따라서 \(\displaystyle\Omega=\prod_{\alpha\in A}{K_{\alpha}}\)라 하여 무한대에서의 점을 고려할 필요가 없다. 상호독립인 경우 \(P_{(\alpha_{1},\,...,\,\alpha_{n})}=P_{\alpha_{1}}\times\cdots\times P_{\alpha_{n}}\)이다. 

위의 결과를 다음과 같이(9.15) 나타낼 수 있다. 

9.15 \(\{P_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)를 \(\mathbb{R}\)상의 확률측도들의 족이라고 하자. 그러면 표본공간 \((\Omega,\,\mathcal{B},\,P)\)와 독립확률변수족 \(\{X_{\alpha}\}_{\alpha\in A}\)가 존재해서 모든 \(\alpha\in A\)에 대해 \(X_{\alpha}\)의 분포가 \(P_{\alpha}\)이고 특히 각 \(\alpha\)에 대하여 \(P_{\alpha}\)의 받침이 컴팩트집합 \(K_{\alpha}\subset\mathbb{R}\) 이면, \(\Omega\)를 \(\displaystyle\prod_{\alpha\in A}{K_{\alpha}}\)라고 할 수 있다. 

참고자료: 

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley