[측도론] 9-3 중심극한정리

[측도론] 9-3 중심극한정리

\(\mu\in\mathbb{R}\), \(\sigma>0\)이라 하자. 2.50과 미적분학으로부터 다음과 같이 정의되는 측도 \(n_{\mu}^{\sigma^{2}}\)는 확률측도이고$$dn_{\mu}^{\sigma^{2}}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(t-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$$다음이 성립한다.$$\int_{\mathbb{R}}{tdn_{\mu}^{\sigma^{2}}}=\mu,\,\int_{\mathbb{R}}{(t-\mu)^{2}dn_{\mu}^{\sigma^{2}}}=\sigma^{2}$$이 측도를 평균이 \(\mu\)이고 분산이 \(\sigma^{2}\)인 정규분포(normal distribution) 또는 가우시안 분포(Gaussian distribution)라 하고 \(n_{0}^{1}\,(\mu=0,\,\sigma^{2}=1)\)일 때 표준정규분포(standard normal distribution)라고 한다.  

\(\{X_{i}\}\)를 평균이 0이고 분산이 \(\sigma^{2}\)인 독립동일분포 확률변수들의 열이라고 하자. 그러면 표본평균 \(\displaystyle M_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{X_{i}}\)의 평균은 0이고 분산은 \(\displaystyle\frac{\sigma^{2}}{n}\)이다. 반면 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}{X_{i}}\)의 평균은 0이고 분산은 \(\sigma^{2}\)이다. 이때 \(X_{i}\)들의 분포가 어떠하든지 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때의 극한이 존재하고 그 극한은 평균이 0이고 분산이 \(\sigma^{2}\)인 정규분포와 일치한다. 

9.12 \(\lambda\)를 \(\mathbb{R}\)상의 보렐 확률측도라 하고 다음이 성립한다고 하자.$$\int_{\mathbb{R}}{t^{2}d\lambda(t)}=1,\,\int_{\mathbb{R}}{td\lambda(t)}=0$$\(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\lambda^{*n}=\lambda*\cdots*\lambda\)(\(n\)번), \(\lambda_{n}(\sqrt{n}E)=\lambda^{*n}(\sqrt{n}E)\,(\sqrt{n}E=\{\sqrt{n}t\,|\,t\in E\})\)라고 하면 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\lambda_{n}\)은 \(n_{0}^{1}\)로 모호하게 수렴한다.  

증명: 측도 \(\lambda\)에 대한 가정으로부터 푸리에 변환 \(\displaystyle\hat{\lambda}(\xi)=\int_{\mathbb{R}}{e^{-2\pi i\xi\cdot x}d\lambda(x)}\)는 \(C^{(2)}\)함수이고 \(\hat{\lambda}(0)=1\), \(\hat{\lambda}'(0)=0\), \(\hat{\lambda}''(0)=-4\pi^{2}\)(\(\because\) 8.14d)이므로 테일러 정리에 의해$$\hat{\lambda}(\xi)=1-2\pi^{2}\xi^{2}+o(\xi^{2})$$이고 여기서 \(o(\alpha)\)는 \(\displaystyle\lim_{\alpha\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{\alpha}o(\alpha)}=0\)을 만족한다. 또한 \(\hat{(\lambda^{*n})}=(\hat{\lambda})^{n}\)이므로 변수변환으로부터 다음이 성립한다.$$\hat{\lambda}_{n}(\xi)=\left\{\hat{\lambda}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\xi\right)\right\}^{n}=\left\{1-\frac{2\pi^{2}\xi^{2}}{n}+o\left(\frac{\xi^{2}}{n}\right)\right\}^{n}$$따라서 \(\log(1+z)=z+o(z)\)이므로$$\log\hat{\lambda}_{n}(\xi)=n\log\left\{1-\frac{2\pi^{2}\xi^{2}}{n}+o\left(\frac{\xi^{2}}{n}\right)\right\}=-2\pi^{2}\xi^{2}+no\left(\frac{\xi^{2}}{n}\right)$$이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\log\hat{\lambda}_{n}(\xi)}=-2\pi^{2}\xi^{2}\)이다. 이것은 모든 \(\xi\)에 대해 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\hat{\lambda}_{n}(\xi)}=e^{-2\pi^{2}\xi^{2}}\)를 뜻하고 8.16과 8.21로부터 \(\lambda_{n}\)은 \(n_{0}^{1}\)로 모호하게 수렴한다.   

 

9.13 중심극한정리(Central Limit Theorem) 

\(\{X_{i}\}\)를 평균이 \(\mu\)이고 분산이 \(\sigma^{2}\)인 독립동일분포 \(L^{2}\)확률변수라 하자. \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\displaystyle\frac{1}{\sigma\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\mu)}\)의 분포는 표준정규분포 \(n_{0}^{1}\)로 모호하게 수렴하고 모든 \(a\in\mathbb{R}\)에 대해 다음 식이 성립한다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{P\left(\frac{1}{\sigma\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\mu)}\leq a\right)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{a}{e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt}$$ 

증명: \(X_{i}\)를 \(\displaystyle\frac{X_{i}-\mu}{\sigma}\)로 대체하여 \(\mu=0\), \(\sigma=1\)이라고 할 수 있다. \(\lambda\)가 \(X_{i}\)들의 공통분포이면, \(\lambda\)는 9.12의 가정을 만족하고 \(\lambda_{n}\)(9.12)은 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}{X_{i}}\)의 분포이다. 따라서 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}{X_{i}}\)의 분포는 \(n_{0}^{1}\)로 모호하게 수렴하고 7.17에 의해 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{P\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}{X_{i}}\leq a\right)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{a}{e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt}$$ 

\(\{K_{n}\}\)이 \(\mathbb{N}\)의 유한부분집합들의 열로 \(n\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(k_{n}=\text{card}(K_{n})\,\rightarrow\,\infty\)이면, \(\displaystyle\frac{1}{\sigma\sqrt{k_{n}}}\sum_{i\in K_{n}}{(X_{i}-\mu_{i})}\)는 \(n_{0}^{1}\)로 모호하게 수렴한다. 

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley