[측도론] 9-3 중심극한정리

[측도론] 9-3 중심극한정리

$\mu\in\mathbb{R}$, $\sigma>0$이라 하자. 2.50과 미적분학으로부터 다음과 같이 정의되는 측도 $n_{\mu}^{\sigma^{2}}$는 확률측도이고 $$dn_{\mu}^{\sigma^{2}}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(t-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$$ 다음이 성립한다. $$\int_{\mathbb{R}}{tdn_{\mu}^{\sigma^{2}}}=\mu,\,\int_{\mathbb{R}}{(t-\mu)^{2}dn_{\mu}^{\sigma^{2}}}=\sigma^{2}$$ 이 측도를 평균이 $\mu$이고 분산이 $\sigma^{2}$인 정규분포(normal distribution) 또는 가우시안 분포(Gaussian distribution)라 하고 $n_{0}^{1}\,(\mu=0,\,\sigma^{2}=1)$일 때 표준정규분포(standard normal distribution)라고 한다.  

$\{X_{i}\}$를 평균이 0이고 분산이 $\sigma^{2}$인 독립동일분포 확률변수들의 열이라고 하자. 그러면 표본평균 $\displaystyle M_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{X_{i}}$의 평균은 0이고 분산은 $\displaystyle\frac{\sigma^{2}}{n}$이다. 반면 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}{X_{i}}$의 평균은 0이고 분산은 $\sigma^{2}$이다. 이때 $X_{i}$들의 분포가 어떠하든지 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때의 극한이 존재하고 그 극한은 평균이 0이고 분산이 $\sigma^{2}$인 정규분포와 일치한다. 

9.12 $\lambda$를 $\mathbb{R}$상의 보렐 확률측도라 하고 다음이 성립한다고 하자. $$\int_{\mathbb{R}}{t^{2}d\lambda(t)}=1,\,\int_{\mathbb{R}}{td\lambda(t)}=0$$ $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\lambda^{*n}=\lambda*\cdots*\lambda$($n$번), $\lambda_{n}(\sqrt{n}E)=\lambda^{*n}(\sqrt{n}E)\,(\sqrt{n}E=\{\sqrt{n}t\,|\,t\in E\})$라고 하면 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\lambda_{n}$은 $n_{0}^{1}$로 모호하게 수렴한다.  

증명: 측도 $\lambda$에 대한 가정으로부터 푸리에 변환 $\displaystyle\hat{\lambda}(\xi)=\int_{\mathbb{R}}{e^{-2\pi i\xi\cdot x}d\lambda(x)}$는 $C^{(2)}$함수이고 $\hat{\lambda}(0)=1$, $\hat{\lambda}'(0)=0$, $\hat{\lambda}''(0)=-4\pi^{2}$($\because$ 8.14d)이므로 테일러 정리에 의해 $$\hat{\lambda}(\xi)=1-2\pi^{2}\xi^{2}+o(\xi^{2})$$ 이고 여기서 $o(\alpha)$는 $\displaystyle\lim_{\alpha\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{\alpha}o(\alpha)}=0$을 만족한다. 또한 $\hat{(\lambda^{*n})}=(\hat{\lambda})^{n}$이므로 변수변환으로부터 다음이 성립한다. $$\hat{\lambda}_{n}(\xi)=\left\{\hat{\lambda}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\xi\right)\right\}^{n}=\left\{1-\frac{2\pi^{2}\xi^{2}}{n}+o\left(\frac{\xi^{2}}{n}\right)\right\}^{n}$$ 따라서 $\log(1+z)=z+o(z)$이므로 $$\log\hat{\lambda}_{n}(\xi)=n\log\left\{1-\frac{2\pi^{2}\xi^{2}}{n}+o\left(\frac{\xi^{2}}{n}\right)\right\}=-2\pi^{2}\xi^{2}+no\left(\frac{\xi^{2}}{n}\right)$$ 이고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\log\hat{\lambda}_{n}(\xi)}=-2\pi^{2}\xi^{2}$이다. 이것은 모든 $\xi$에 대해 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\hat{\lambda}_{n}(\xi)}=e^{-2\pi^{2}\xi^{2}}$를 뜻하고 8.16과 8.21로부터 $\lambda_{n}$은 $n_{0}^{1}$로 모호하게 수렴한다.   

 

9.13 중심극한정리(Central Limit Theorem) 

$\{X_{i}\}$를 평균이 $\mu$이고 분산이 $\sigma^{2}$인 독립동일분포 $L^{2}$확률변수라 하자. $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\displaystyle\frac{1}{\sigma\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\mu)}$의 분포는 표준정규분포 $n_{0}^{1}$로 모호하게 수렴하고 모든 $a\in\mathbb{R}$에 대해 다음 식이 성립한다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{P\left(\frac{1}{\sigma\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}{(X_{i}-\mu)}\leq a\right)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{a}{e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt}$$  

증명: $X_{i}$를 $\displaystyle\frac{X_{i}-\mu}{\sigma}$로 대체하여 $\mu=0$, $\sigma=1$이라고 할 수 있다. $\lambda$가 $X_{i}$들의 공통분포이면, $\lambda$는 9.12의 가정을 만족하고 $\lambda_{n}$(9.12)은 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}{X_{i}}$의 분포이다. 따라서 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}{X_{i}}$의 분포는 $n_{0}^{1}$로 모호하게 수렴하고 7.17에 의해 다음과 같이 원하는 결과를 얻는다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{P\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}{X_{i}}\leq a\right)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{a}{e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt}$$  

$\{K_{n}\}$이 $\mathbb{N}$의 유한부분집합들의 열로 $n\,\rightarrow\,\infty$일 때 $k_{n}=\text{card}(K_{n})\,\rightarrow\,\infty$이면, $\displaystyle\frac{1}{\sigma\sqrt{k_{n}}}\sum_{i\in K_{n}}{(X_{i}-\mu_{i})}$는 $n_{0}^{1}$로 모호하게 수렴한다. 

참고자료:

Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications Second edition, Folland, Wiley