31. 연산증폭기(3)

31. 연산증폭기(3)

위의 그림은 기본적인 연산증폭기의 기호로 +단자는 비반전입력, -단자는 반전입력, 출력의 경우 +입력과는 상이 같고, -입력과는 상이 다르다.

이득이 클수록, 입력저항(임피던스)이 클수록, 출력저항(임피던스)가 작을수록 좋은 연산증폭기이다. 

위의 회로는 연산증폭기의 교류 등가회로로 왼쪽은 실제 연산증폭기, 오른쪽은 이상적인 연산증폭기이고, 이상적인 연산증폭기에서 \(R_{i}=\infty\), \(R_{o}=0\), \(V_{o}=A_{d}V_{d}\)이다.

위의 왼쪽 회로는 반전증폭기 회로이고 오른쪽은 왼쪽 반전증폭기 회로의 실제 교류 등가회로이다.

왼쪽 회로는 이상적인 반전증폭기 회로이고 오른쪽 회로는 왼쪽 회로를 다시 그린 회로이다. 중첩의 원리를 이용하여 \(V_{i}\)를 구하자.

\(-A_{v}V_{i}=0\)이라 하고 \(V_{1}\)만 고려하면 \(\displaystyle V_{i_{1}}=\frac{R_{f}}{R_{1}+R_{f}}V_{1}\), \(V_{1}=0\)이라 하고 \(-A_{v}V_{i}\)만 고려하면 \(\displaystyle V_{i_{2}}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{f}}(-A_{v}V_{i})\)이므로$$V_{i}=V_{i_{1}}+V_{i_{2}}=\frac{R_{f}}{R_{1}+R_{f}}V_{1}+\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{f}}(-A_{v}V_{i})$$이고 \(\displaystyle V_{i}=\frac{R_{f}}{R_{f}+(1+A_{v})R_{1}}V_{1}\)이다. \(A_{v}\gg1\)이고 \(A_{v}R_{1}\gg R_{f}\)일 때 \(\displaystyle V_{i}=\frac{R_{f}}{A_{v}R_{1}}V_{1}\)이다. 이를 이용하여 전압이득을 구하면$$\frac{V_{o}}{V_{i}}=\frac{-A_{v}V_{i}}{V_{i}}=\frac{-A_{v}}{V_{i}}\frac{R_{f}V_{1}}{A_{v}R_{1}}=-\frac{R_{f}V_{1}}{R_{1}V_{i}}$$이므로 \(\displaystyle\frac{V_{o}}{V_{1}}=-\frac{R_{f}}{R_{1}}\)이고 이것은 회로이론에서 배운 연산증폭기의 이상적 성질을 이용해 구한 결과와 일치한다.

출력이 수십 \(\text{V}\)인 상태에서 \(A_{v}\)가 매우 커지게 되면, \(V_{i}\)는 거의 \(0\)에 가깝게 된다(\(V_{i}\simeq0\)).(\(A_{v}=20000\), \(V_{o}=10\text{V}\)이면, \(V_{i}=0.5\text{mV}\)).

\(V_{i}\simeq0\)이므로 연산증폭기의 입력이 가상단락(단락이므로 전류가 흘러야 하나 실제로는 전류의 흐름이 없다)이고 \(\displaystyle I=\frac{V_{1}}{R_{1}}=-\frac{V_{o}}{R_{f}}\), \(\displaystyle A_{v}=\frac{V_{o}}{V_{1}}=-\frac{R_{f}}{R_{1}}\)이다.

비반전 증폭기 회로:

오른쪽 회로는 왼쪽 회로에서 가상 단락의 개념을 적용한 등가회로이다. 오른쪽 회로에서 \(\displaystyle V_{1}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{f}}V_{o}\)이므로 \(\displaystyle\frac{V_{o}}{V_{1}}=\frac{R_{1}+R_{f}}{R_{1}}=1+\frac{R_{f}}{R_{1}}\)이다. 이것 또한 회로이론에서 배운 이상적인 연산증폭기의 성질로부터 얻어진 결과와 같다.

단위 폴로어 회로:

오른쪽 회로는 왼쪽 회로에서 가상 단락의 개념을 적용한 등가회로이다. 단위 폴로어 회로는 극성이 없거나 위상의 반전이 없고 이득이 \(1\)인 증폭기이고 \(V_{o}=V_{1}\)이다. 이 회로는 버퍼로도 사용된다.

가산 증폭기 회로:

\(V_{i}=0\)이므로 저항 \(R_{1}\), \(R_{2}\), \(R_{3}\)에 흐르는 전류는 각각 \(\displaystyle\frac{V_{1}}{R_{1}}\), \(\displaystyle\frac{V_{2}}{R_{2}}\), \(\displaystyle\frac{V_{3}}{R_{3}}\)이고 \(R_{f}\)에 흐르는 전류는 \(\displaystyle-\frac{V_{o}}{R_{f}}\)이다. 그러므로 \(\displaystyle V_{o}=-\left(\frac{R_{f}}{R_{1}}V_{1}+\frac{R_{f}}{R_{2}}V_{2}+\frac{R_{f}}{R_{3}}V_{3}\right)\)이다. 가산증폭기 회로는 아날로그 컴퓨터에 사용된다.

적분기:

s-영역에서 회로해석을 하면 \(\displaystyle I_{1}=\frac{V_{1}}{R}\), \(\displaystyle V_{o}=-Z_{C}I=-\frac{1}{sC}I=-\frac{1}{sC}\frac{V_{1}}{R}\)이므로 \(\displaystyle v_{o}(t)=-\frac{1}{RC}\int{v_{1}(t)dt}\)이다.

(또는 \(\displaystyle -i(t)=\frac{-v_{1}(t)}{R}=C\frac{dv_{o}(t)}{dt}\)이므로 \(\displaystyle v_{o}(t)=-\frac{1}{RC}\int{v_{1}(t)dt}\).)

적분기 회로는 저주파성분을 출력에 전달하고 \(RC\)는 눈금상수라고 한다.

하나 이상의 입력을 적분기에 인가할 수 있다. 위의 왼쪽 회로의 출력은$$v_{o}(t)=-\left\{\frac{1}{R_{1}C}\int{v_{1}(t)dt}+\frac{1}{R_{2}C}\int{v_{2}(t)dt}+\frac{1}{R_{3}C}\int{v_{3}(t)dt}\right\}$$이고 오른쪽 그림은 아날로그 컴퓨터에서의 적분기의 회로기호이다. 

미분기:

s-영역에서 회로해석을 하면 \(\displaystyle I=\frac{V_{1}}{Z_{C}}=-\frac{V_{o}}{R}\), \(\displaystyle V_{o}=-\frac{R}{Z_{C}}V_{1}=-sRCV_{1}\)이므로 \(\displaystyle v_{o}(t)=-RC\frac{dv_{1}(t)}{dt}\)이다.

(또는 \(\displaystyle i(t)=\frac{-v_{o}(t)}{R}=C\frac{dv_{1}(t)}{dt}\)이므로 \(\displaystyle v_{o}(t)=-RC\frac{dv_{1}(t)}{dt}\))

미분기는 아날로그 컴퓨터에 유용하지 못하다. 그 이유는 입력신호에 잡음이 첨가되었을 때, 그 첨가된 잡음을 미분하면 시스템을 불안정하게 만들기 때문이다(연속함수라고 해서 항상 미분가능하지 않다).

참고자료:

Electronic Devices and Circuit Theory 11th edition, Boylestad, Nashelsky, Pearson