2012학년도 경희대 수시 수리논술(토요일)

2012학년도 경희대 수시 수리논술(토요일)

I. 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오.

[가]

구분구적법이란, 어떤 도형의 넓이 또는 부피를 구할 때 주어진 도형을 세분하여 그 도형의 넓이나 부피의 합으로 근삿값을 구한 뒤에 이 근삿값의 극한값으로 도형의 넓이 또는 부피를 구하는 방법을 말한다. 예컨데 곡선 \(y=x^{2}\), \(x\)축 그리고 직선 \(x=1\)로 둘러싸인 영역을 \(\text{A}\)라 할 때, \(\text{A}\)의 넓이를 구하는 방법에 대해 생각해 보자. 먼저 구간 \([0,\,1]\)을 \(n\)등분하면, 양 끝점과 각 소구간의 \(x\)좌표는 차례로 \(\displaystyle0,\,\frac{1}{n},\,\frac{2}{n},\,...,\,\frac{n}{n}\)이 되고, 구간 \([0,\,1]\)을 분할한 각 소구간의 길이는 \(\displaystyle\frac{1}{n}\)이 된다. 각 소구간에서의 왼쪽 끝점에 대응하는 함숫값을 직사각형의 높이로 잡아 그 넓이들의 합을 구해보면$$L_{n}=\frac{1}{n}\left(\frac{0}{n}\right)^{2}+\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)^{2}+\cdots+\frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{2}$$임을 알 수 있다. 여기에서 \(L_{n}\)을 영역 \(\text{A}\)의 넓이에 대한 "좌종점 근삿값"이라고 부른다. 같은 방법으로 오른쪽 끝점에 대응하는 함숫값을 이용하여 각 소구간에서의 직사각형의 넓이의 합을 구해보면$$R_{n}=\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n}\right)^{2}+\frac{1}{n}\left(\frac{2}{n}\right)^{2}+\cdots+\frac{1}{n}\left(\frac{n}{n}\right)^{2}$$이 됨을 알 수 있고, 이를 영역 \(\text{A}\)의 넓이에 대한 "우종점 근삿값"이라 부른다. 이때 주어진 영역 \(\text{A}\)의 넓이는 \(L_{n}\)과 \(R_{n}\)사이의 값임을 알고 각각의 수열이 같은 실수로 수렴함을 통해 영역 \(\text{A}\)의 넓이를 구할 수 있다. 

[나] 

미적분학의 기본 정리는 다음과 같다: 구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)의 부정적분 중의 하나를 \(F(x)\)라 하면,$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)$$미적분학의 기본 정리는 미적분학의 두 분야인 미분학과 적분학 사이의 연관성을 설명하는 중요한 정리이다. 접선의 기울기에 관한 미분학과 영역의 넓이에 관한 적분학이 서로 연관되어 있다는 사실은 배로우(Barrow)에 의해서 증명되었고, 뉴턴(Newton)과 라이프니츠(Leibniz)가 더욱 발전시켰다. 구분구적법 형태로 접근하던 넓이, 부피, 곡선의 길이를 구하는 문제들이 어떤 함수들의 정적분을 구하는 문제로 표현되었고, 이러한 정적분들은 미적분학의 기본 정리에 의해 간단히 해결될 수 있다.

<논제 I-1> 제시문 [가]를 참조하여 다음 질문에 답하시오. 

함수 \(y=e^{x^{2}}\), \(x\)축 그리고 직선 \(x=0,\,x=1\)로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하려고 한다. 하지만 주어진 함수 \(y=e^{x^{2}}\)의 부정적분은 기본적인 함수들로 표현이 불가능하다고 알려져 있다. 이때 좌종점 근삿값 또는 우종점 근삿값을 통해 주어진 영역의 넓이를 예측해 볼 수 있다. 영역의 넓이와 근삿값의 차이를 오차(오차=근삿값-영역의 넓이)라 정의하였을 때, 제시문 [가]에서 주어진 두 가지의 근삿값 계산법을 이용해 얻어진 오차를 다음의 표 A와 B에 정리하였다. 여기에서 정확한 영역의 넓이는 정밀한 계산법에 의해 얻어졌다고 가정하고, 오차는 소수점 6번째 자리까지 표시하였다.

(1) 각각의 표는 두 가지 방법 중 어느 방법을 사용하여 얻어진 값인지에 대해서 논술하시오.   

(2) 위 표를 근거로 오차를 줄일 수 있는 근사 방법이 있는가? 있다면 그 방법을 함수의 그래프와 관련하여 서술하시오.

<논제 I-2> 제시문 [가]와 [나]를 참조하여 다음 질문에 답하시오. 

주어진 함수의 정적분 영역을 균등하게 \(n\)개의 소구간으로 분할하고 각 소구간에서 그 함수의 그래프와 소구간 사이의 영역(아래 그림의 빗금 친 영역)의 넓이에 근사하는 직사각형의 높이를 구하려고 할 때, 왼쪽 끝점을 이용하거나 오른쪽 끝점을 이용할 수 있다. 또한 아래 그림과 같이 각 소구간의 중점에 대응하는 함숫값을 이용하는 것도 정적분의 근삿값을 구하는 좋은 방법이 될 수 있다. 각 소구간의 중점을 이용하는 방법을 적분 영역 \([0,\,1]\)에서 함수 \(f(x)=\sqrt{x^{2}+3x+1}\)에 적용하였을 때, 얻어진 근삿값과 정적분에 대한 대소 관계를 논술하시오(아래 그림에서 \(k=1,\,2,\,...,\,n\)이고 주어진 그래프와 함수 \(f(x)\)와의 직접적인 관련은 없다).

<논제 I-3> 제시문 [나]를 참조하여 다음 질문에 답하시오.  

다음의 부등식$$(n-1)!\leq n^{n}e^{-n}e\leq n!$$이 임의의 양의 정수 \(n\)에 대하여 성립함을 보이시오.

<논제 I-1>

(1) \(y=e^{x^{2}}\), \(y'=2xe^{x^{2}}\), \(y''=(2+4x^{2})e^{x^{2}}\) 이므로 \(y=e^{x^{2}}\)는 \([0,\,1]\)에서 증가하고 아래로 볼록이다. 그러면 그 그래프는 다음과 같고

좌종점 근삿값은 영역의 넓이보다 작고, 우종점 근삿값은 영역의 넓이보다 크므로 좌종점 근삿값<영역의 넓이<우종점 근삿값 이다. 

오차는 근삿값에서 영역의 넓이를 뺀 값이므로 오차가 음의 값을 갖는 표 A는 좌종점 근삿값, 양의 값을 갖는 표 B는 우종점 근삿값을 사용한 것이다. 

(2) [표 A]와 [표 B]의 오차들의 평균을 구하면 오차가 줄어들고, 줄어든 오차는 좌종점 근삿값 \(L_{n}\)과 우종점 근삿값 \(R_{n}\)의 평균 즉, \(\displaystyle\frac{L_{n}+R_{n}}{2}\)의 오차이다.$$\begin{align*}L_{n}&=\frac{1}{n}e^{\left(\frac{0}{n}\right)^{2}}+\frac{1}{n}e^{\left(\frac{1}{n}\right)^{2}}+\cdots+\frac{1}{n}e^{\left(\frac{n-1}{n}\right)^{2}}\\R_{n}&=\frac{1}{n}e^{\left(\frac{1}{n}\right)^{2}}+\frac{1}{n}e^{\left(\frac{2}{n}\right)^{2}}+\cdots+\frac{1}{n}e^{\left(\frac{n}{n}\right)^{2}}\end{align*}$$이므로$$\frac{L_{n}+R_{n}}{2}=\frac{1}{2}\left\{e^{\left(\frac{0}{n}\right)^{2}}+e^{\left(\frac{1}{n}\right)^{2}}\right\}\frac{1}{n}+\frac{1}{2}\left\{e^{\left(\frac{1}{n}\right)^{2}}+e^{\left(\frac{2}{n}\right)^{2}}\right\}\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{2}\left\{e^{\left(\frac{n-1}{n}\right)^{2}}+e^{\left(\frac{n}{n}\right)^{2}}\right\}\frac{1}{n}$$이고, 이것은 다음과 같이 분할된 영역을 사다리꼴의 넓이로 하여 합한 근삿값이다.

<논제 I-2> \(f(x)=\sqrt{x^{2}+3x+1}\), \(\displaystyle f'(x)=\frac{2x+3}{2\sqrt{x^{2}+3x+1}}\),$$\begin{align*}f''(x)&=\frac{\displaystyle2\cdot2(x^{2}+3x+1)-\frac{(2x+3)^{2}}{\sqrt{x^{2}+3x+1}}}{(2\sqrt{x^{2}+3x+1})^{2}}=\frac{4(x^{2}+3x+1)-(4x^{2}+12x+9)}{4(x^{2}+3x+1)\sqrt{x^{2}+3x+1}}\\&=\frac{-5}{4(x^{2}+3x+1)\sqrt{x^{2}+3x+1}}\end{align*}$$이므로 \(f(x)\)는 \([0,\,1]\)에서 증가함수이고 위로 볼록이다.

그러면 구간 \([0,\,1]\)에서 \(f(x)\)의 접선은 모두 \(y=f(x)\)위에 있고, 위의 그림과 같이 중점 \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\left(\frac{k-1}{n}+\frac{k}{n}\right)\)에서의 접선과 직선 \(\displaystyle x=\frac{k-1}{n}\), \(\displaystyle x=\frac{k}{n}\), \(\displaystyle y=f\left(\frac{1}{2}\left(\frac{k}{n}+\frac{k-1}{n}\right)\right)\)에 의해 만들어지는 두 삼각형(위 그림에서의 회색영역)의 넓이는 같다. 또한 중점 \(\displaystyle\frac{1}{2}\left(\frac{k}{n}+\frac{k-1}{n}\right)\)에서의 접선과 직선 \(\displaystyle x=\frac{k-1}{n}\), \(\displaystyle x=\frac{k}{n}\), 구간 \(\displaystyle\left[\frac{k-1}{n},\,\frac{k}{n}\right]\)으로 둘러싸인 사다리꼴의 넓이는 이 구간에서의 함수 \(f(x)\)의 적분값보다 크고 따라서 중점을 이용한 근삿값은 적분값보다 크다. 

<논제 I-3> \(n\)을 임의의 양의 정수라고 하자. \(\displaystyle(n-1)!\), \(n^{n}e^{-n}e\), \(n!\)각각에 자연로그를 취하면$$\sum_{k=1}^{n-1}{\ln k},\,n\ln n-n+1,\,\sum_{k=1}^{n}{\ln k}$$이고, 함수 \(y=\ln x\)는 \(\displaystyle y'=\frac{1}{x}\), \(\displaystyle y''=-\frac{1}{x^{2}}\)이므로 구간 \([1,\,n]\)에서 증가하고 위로 볼록이다. 이때$$\int_{1}^{n}{\ln xdx}=\left[x\ln x\right]_{1}^{n}-\int_{1}^{n}{x\cdot\frac{1}{x}dx}=n\ln n-n+1$$이고, \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{\ln k}\), \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\ln k}\)는 각각 구간 \([1,\,n]\)을 \(n\)등분한 \(y=\ln x\)의 좌종점 근삿값, 우종점 근삿값이다. 

증가함수에 대해 좌종점 근삿값<영역의 넓이<우종점 근삿값이므로 다음의 부등식을 얻고$$\sum_{k=1}^{n-1}{\ln k}\leq\int_{1}^{n}{\ln xdx}=n\ln n-n+1\leq\sum_{k=1}^{n}{\ln k}$$따라서 임의의 양의 정수 \(n\)에 대해 부등식 \((n-1)!\leq n^{n}e^{-n}e\leq n!\)이 성립한다.