2012학년도 연세대 수시 수리논술

2012학년도 연세대 수시 수리논술

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

함수 \(f(x)\)는 실수의 집합 \(R\)을 정의역과 공역으로 갖는 연속 함수이다. 집합 \(A\)와 \(B\)는 주어진 함수 \(f(x)\)에 의하여 결정되며 다음과 같이 정의한다. \(A\)={\(t\in(0,\,1)\) | 어떤 실수 \(a\)가 존재하여 부등식 \(f(x)\leq f(t)+a(x-t)\)가 모든 실수 \(x\in[0,\,1]\)에 대하여 성립한다.} \(B\)={\(a\in R\) | 어떤 실수 \(t\in(0,\,1)\)에 대하여 모든 실수 \(x\in[0,\,1]\)가 부등식 \(f(x)\leq f(t)+a(x-t)\)을 만족한다.}

[1-1] 함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 다음과 같을 때 집합 \(A\)와 \(B\)를 구하시오.

[1-2] 함수 \(f(x)\)가 \(x\leq0\)이거나 \(x\leq1\)일 때 \(f(x)=0\)이라고 하자. 또한 주어진 자연수 \(k\)에 대하여 \(0=c_{0}<c_{1}<\cdots<c_{k+1}=1\)을 만족하는 점 \(c_{1},\,...,\,c_{k}\)에서 얻어지는 닫힌 구간 \([c_{i},\,c_{i+1}]\,(i=0,\,...,\,k)\) 각각에서 \(y=f(x)\)의 그래프는 선분이라고 가정하자. 이러한 성질을 만족하고 집합 \(B\)의 길이가 \(2\pi\)이며, \(k=2\)인 경우의 모든 함수 \(f(x)\)에 대하여 이들 함수의 최댓값 중에서 가장 큰 값 \(Q\)를 구하시오. 그리고 그 최댓값 \(Q\)를 갖는 함수 \(f(x)\)에 의하여 결정되는 모든 집합 \(A\)를 구하시오.

[1-3] 함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)가 모든 실수에서 존재하고 연속이라고 하자. 이 함수 \(f(x)\)에 의하여 결정되는 집합 \(A\)가 닫힌 구간 \(\displaystyle\left[\frac{\pi}{6},\,\frac{\pi}{4}\right]\)일 때, 집합 \(B\)를 구하시오. 

[1-4] 함수 \(f(x)\)의 도함수 \(f'(x)\)와 이계도함수 \(f''(x)\)가 모든 실수에서 존재하고 연속이라고 하자. 또한 함수 \(f(x)\)에 의하여 결정되는 집합 \(A\)가 열린 구간 \((0,\,1)\)이고, \(\displaystyle\int_{0}^{1}{|f''(x)|dx}=\frac{4\pi}{3}\)이며, \(f(0)=f(1)=0\)이라고 하자. 이러한 성질을 만족하는 모든 함수 \(f(x)\)의 최댓값의 집합을 \(C\)라 할 때, 집합 \(\{b\in R\,|\,모든\,m\in C\,에\,대하여\,m\leq b\}\)의 최솟값 \(S\)를 구하시오. 

[1-1] 부등식 \(f(x)\leq f(t)+a(x-t)\)를 \(\displaystyle\frac{f(x)-f(t)}{x-t}\leq a\)로 나타낼 수 있고, 함수 \(f(x)\)는 직선으로 이루어져 있으며, 구간 \(\displaystyle\left[0,\,\frac{1}{4}\right]\)에서 \(f(x)\)의 기울기는 \(\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=2\)이고, 구간 \(\displaystyle\left[\frac{1}{4},\,1\right]\)에서 \(f(x)\)의 기울기는 \(\displaystyle\frac{-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=-\frac{2}{3}\)이다. 

그러면 적당한 \(t\in(0,\,1)\)와 모든 \(x\in[0,\,1]\)에 대해 \(\displaystyle-\frac{2}{3}\leq\frac{f(x)-f(t)}{x-t}\leq2\)이고, 이 부등식은 모든 \(t\in(0,\,1)\)에 대해서도 성립하므로 \(A=(0,\,1)\)이고, 또한 \(\displaystyle B=\left[-\frac{2}{3},\,2\right]\)이다(아래 그림 참고).

[1-2] \(k=2\)이므로 구간 \([0,\,1]\)은 \(0=c_{0}<c_{1}<c_{2}<c_{3}=1\)로 분할된다. 이때 \(f(x)\leq0\)이면, \(B=\{0\}\)이므로, \(f(x)\geq0\)이어야 한다.  

\(B=[m_{1},\,m_{2}]\)라 하자. 집합 \(B\)의 길이가 \(2\pi\)이므로 \(m_{2}-m_{1}=2\pi\)이고 \(m_{2}=m_{1}+2\pi\)이다. \(f(x)\)는 선분이므로  \(m_{1}\)은 \(f(x)\)의 기울기 중 가장 작은 기울기이고, \(m_{2}\)는 \(f(x)\)의 기울기 중 가장 큰 기울기이다.  

원점을 지나고 기울기가 \(m_{2}(=m_{1}+2\pi)\)인 직선을 \(y=(m_{1}+2\pi)x\), 점 \((1,\,0)\)을 지나고 기울기가 \(m_{1}\)인 직선을 \(y=m_{1}(x-1)\)라고 하자. 이 두 직선들의 교점의 \(x\)좌표를 구하면 \((m_{1}+2\pi)x=m_{1}x-m_{1}\)이므로 \(\displaystyle x=-\frac{m_{1}}{2\pi}\)이고 이 교점은 구간 \([0,\,1]\)안에 있으므로 \(m_{1}<0\)이다. 이 교점의 \(x\)좌표는 \(c_{1},\,c_{2}\) 중 하나가 되고, \(f(x)\)가 두 직선 \(y=(m_{1}+2\pi)x\), \(y=m_{1}(x-1)\)로 구성되어 있을 때의 최댓값은 다른(이외의) 경우보다 큰 값이다(아래 그림 참고).

앞에서 구한 두 직선의 교점의 \(y\)좌표는$$=\frac{m_{1}^{2}}{2\pi}-m_{1}=-\frac{1}{2\pi}(m_{1}^{2}+2\pi m_{1}+\pi^{2}-\pi^{2})=-\frac{1}{2\pi}(m_{1}+\pi)^{2}+\frac{\pi}{2}$$이고 \(m_{1}<0\)이므로 이 \(y\)좌표의 최댓값은 \(m_{1}=-\pi\)일 때 \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)이고, 따라서 \(\displaystyle Q=\frac{\pi}{2}\)이다. 또한 문제 [1-1]의 경우와 같이 모든 \(t\in(0,\,1)\)에 대해 \(\displaystyle m_{1}\leq\frac{f(x)-f(t)}{x-t}\leq m_{2}\)이므로 \(A=(0,\,1)\)이다.

[1-3] 모든 \(x\in[0,\,1]\)와 \(\displaystyle t\in\left[\frac{\pi}{6},\,\frac{\pi}{4}\right]\) 대해 \(a\)가 존재해서 \(\displaystyle\frac{f(x)-f(t)}{x-t}\leq a\)이므로 \(0\leq x_{1}<t\)에 대해 \(\displaystyle\frac{f(x_{1})-f(t)}{x_{1}-t}\geq a\)이어야 하고(그렇지 않다면 적당한 \(\displaystyle\alpha<\frac{\pi}{6}\)에 대해 \(\displaystyle B=\left[\alpha,\,\frac{\pi}{4}\right]\)가 된다), \(t<x_{2}\leq1\)에 대해 \(\displaystyle\frac{f(x_{2})-f(t)}{x_{2}-t}\leq a\)이어야 한다(그렇지 않다면 적당한 \(\displaystyle\beta>\frac{\pi}{4}\)에 대해 \(\displaystyle B=\left[\frac{\pi}{6},\,\beta\right]\)가 된다)(아래 그림 참고).

 

함수 \(f(x)\)는 실수 전체에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의해 \(x_{1}<c_{1}<t<c_{2}<x_{2}\)인 \(c_{1},\,c_{2}\)가 존재해서 \(\displaystyle\frac{f(x_{1})-f(t)}{x_{t}-t}=f'(c_{1})\), \(\displaystyle\frac{f(x_{2})-f(t)}{x_{2}-t}=f'(c_{2})\)이다. \(c_{1}<c_{2}\)이고 \(f'(c_{2})\leq a\leq f'(c_{1})\)이며 \(f'(x)\)는 연속함수이므로 \(f'(x)\)는 감소함수이다. 또한$$\lim_{x_{1}\,\rightarrow\,t-}{\frac{f(x_{1})-f(t)}{x_{1}-t}}=f'(t),\,\lim_{x_{2}\,\rightarrow\,t+}{\frac{f(x_{2})-f(t)}{x_{2}-t}}=f'(t)$$이므로 집합 \(A\)의 조건인 '어떤 실수 \(a\)'에 해당하는 \(a\)는 \(f'(t)\)이고, \(t\in A\)일 때 \(f'(t)\in B\)이어야 하며, \(f'(t)\)는 감소함수이므로 따라서 \(\displaystyle B=\left[f'\left(\frac{\pi}{4}\right),\,f'\left(\frac{\pi}{6}\right)\right]\)이다. 

[1-4] \(A=(0,\,1)\)이므로 문제 [1-3]의 풀이과정과 \(f(x)\)의 이계도함수 \(f''(x)\)가 연속이라는 사실에 의해 \(x\in(0,\,1)\)에 대해 \(f''(x)<0\)이고$$\int_{0}^{1}{|f''(x)|dx}=-\int_{0}^{1}{f''(x)dx}=f'(0)-f'(1)=\frac{4}{3}\pi$$이며, \(\displaystyle f'(0)=f'(1)+\frac{4}{3}\pi\), \(f(1)=f(0)=0\)이므로 \(x=0\)에서의 접선의 방정식은 \(\displaystyle y=\left\{f'(1)+\frac{4}{3}\pi\right\}x\)이고, \(x=1\)에서의 접선의 방정식은 \(y=f'(1)(x-1)\)이다. 이 두 직선의 교점의 \(x\)좌표는 \(\displaystyle x=-\frac{3f'(1)}{4\pi}\)이고, 이 교점은 구간 \([0,\,1]\)안에 있으므로 \(f'(1)<0\)이어야 하고, 또한 \(\displaystyle f'(0)=f'(1)+\frac{4}{3}\pi>0\)이어야 하므로 \(\displaystyle-\frac{4}{3}\pi<f'(1)<0\) 이다. 교점의 \(y\)좌표는$$-\frac{3}{4\pi}\{f'(1)\}^{2}-f'(1)=-\frac{3}{4\pi}\left(\{f'(1)\}^{2}+\frac{4}{3}\pi f'(1)+\frac{4}{9}\pi^{2}\right)+\frac{\pi}{3}=-\frac{3}{4\pi}\left(f'(1)+\frac{2}{3}\pi\right)^{2}+\frac{\pi}{3}$$이므로, \(y\)좌표의 최댓값은 \(\displaystyle f'(1)=-\frac{2}{3}\pi\)일 때 \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\)이고, 함수 \(f(x)\)는 실수 전체에서 미분가능하므로 \([0,\,1]\)에서 최댓값을 \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\)로 가져서는 안된다(최댓값이 \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\)이면, 그 점에서 미분가능하지 않게 된다). 그러면 \(\displaystyle C=\left\{y|\,y<\frac{\pi}{3}\right\}\)이고, \(\displaystyle S=\frac{\pi}{3}\)이다.