2012학년도 연세대 수시 수리논술

2012학년도 연세대 수시 수리논술

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 아래 질문에 답하시오.

함수 $f(x)$는 실수의 집합 $R$을 정의역과 공역으로 갖는 연속 함수이다. 집합 $A$와 $B$는 주어진 함수 $f(x)$에 의하여 결정되며 다음과 같이 정의한다. $A$={$t\in(0,\,1)$ | 어떤 실수 $a$가 존재하여 부등식 $f(x)\leq f(t)+a(x-t)$가 모든 실수 $x\in[0,\,1]$에 대하여 성립한다.} $B$={$a\in R$ | 어떤 실수 $t\in(0,\,1)$에 대하여 모든 실수 $x\in[0,\,1]$가 부등식 $f(x)\leq f(t)+a(x-t)$을 만족한다.}

[1-1] 함수 $y=f(x)$의 그래프가 다음과 같을 때 집합 $A$와 $B$를 구하시오.

[1-2] 함수 $f(x)$가 $x\leq0$이거나 $x\leq1$일 때 $f(x)=0$이라고 하자. 또한 주어진 자연수 $k$에 대하여 $0=c_{0}<c_{1}<\cdots<c_{k+1}=1$을 만족하는 점 $c_{1},\,...,\,c_{k}$에서 얻어지는 닫힌 구간 $[c_{i},\,c_{i+1}]\,(i=0,\,...,\,k)$ 각각에서 $y=f(x)$의 그래프는 선분이라고 가정하자. 이러한 성질을 만족하고 집합 $B$의 길이가 $2\pi$이며, $k=2$인 경우의 모든 함수 $f(x)$에 대하여 이들 함수의 최댓값 중에서 가장 큰 값 $Q$를 구하시오. 그리고 그 최댓값 $Q$를 갖는 함수 $f(x)$에 의하여 결정되는 모든 집합 $A$를 구하시오.

[1-3] 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 모든 실수에서 존재하고 연속이라고 하자. 이 함수 $f(x)$에 의하여 결정되는 집합 $A$가 닫힌 구간 $\displaystyle\left[\frac{\pi}{6},\,\frac{\pi}{4}\right]$일 때, 집합 $B$를 구하시오. 

[1-4] 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$와 이계도함수 $f''(x)$가 모든 실수에서 존재하고 연속이라고 하자. 또한 함수 $f(x)$에 의하여 결정되는 집합 $A$가 열린 구간 $(0,\,1)$이고, $\displaystyle\int_{0}^{1}{|f''(x)|dx}=\frac{4\pi}{3}$이며, $f(0)=f(1)=0$이라고 하자. 이러한 성질을 만족하는 모든 함수 $f(x)$의 최댓값의 집합을 $C$라 할 때, 집합 $\{b\in R\,|\,모든\,m\in C\,에\,대하여\,m\leq b\}$의 최솟값 $S$를 구하시오. 

[1-1] 부등식 $f(x)\leq f(t)+a(x-t)$를 $\displaystyle\frac{f(x)-f(t)}{x-t}\leq a$로 나타낼 수 있고, 함수 $f(x)$는 직선으로 이루어져 있으며, 구간 $\displaystyle\left[0,\,\frac{1}{4}\right]$에서 $f(x)$의 기울기는 $\displaystyle\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=2$이고, 구간 $\displaystyle\left[\frac{1}{4},\,1\right]$에서 $f(x)$의 기울기는 $\displaystyle\frac{-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=-\frac{2}{3}$이다. 

그러면 적당한 $t\in(0,\,1)$와 모든 $x\in[0,\,1]$에 대해 $\displaystyle-\frac{2}{3}\leq\frac{f(x)-f(t)}{x-t}\leq2$이고, 이 부등식은 모든 $t\in(0,\,1)$에 대해서도 성립하므로 $A=(0,\,1)$이고, 또한 $\displaystyle B=\left[-\frac{2}{3},\,2\right]$이다(아래 그림 참고).

[1-2] $k=2$이므로 구간 $[0,\,1]$은 $0=c_{0}<c_{1}<c_{2}<c_{3}=1$로 분할된다. 이때 $f(x)\leq0$이면, $B=\{0\}$이므로, $f(x)\geq0$이어야 한다.  

$B=[m_{1},\,m_{2}]$라 하자. 집합 $B$의 길이가 $2\pi$이므로 $m_{2}-m_{1}=2\pi$이고 $m_{2}=m_{1}+2\pi$이다. $f(x)$는 선분이므로  $m_{1}$은 $f(x)$의 기울기 중 가장 작은 기울기이고, $m_{2}$는 $f(x)$의 기울기 중 가장 큰 기울기이다.  

원점을 지나고 기울기가 $m_{2}(=m_{1}+2\pi)$인 직선을 $y=(m_{1}+2\pi)x$, 점 $(1,\,0)$을 지나고 기울기가 $m_{1}$인 직선을 $y=m_{1}(x-1)$라고 하자. 이 두 직선들의 교점의 $x$좌표를 구하면 $(m_{1}+2\pi)x=m_{1}x-m_{1}$이므로 $\displaystyle x=-\frac{m_{1}}{2\pi}$이고 이 교점은 구간 $[0,\,1]$안에 있으므로 $m_{1}<0$이다. 이 교점의 $x$좌표는 $c_{1},\,c_{2}$ 중 하나가 되고, $f(x)$가 두 직선 $y=(m_{1}+2\pi)x$, $y=m_{1}(x-1)$로 구성되어 있을 때의 최댓값은 다른(이외의) 경우보다 큰 값이다(아래 그림 참고).

앞에서 구한 두 직선의 교점의 $y$좌표는 $$=\frac{m_{1}^{2}}{2\pi}-m_{1}=-\frac{1}{2\pi}(m_{1}^{2}+2\pi m_{1}+\pi^{2}-\pi^{2})=-\frac{1}{2\pi}(m_{1}+\pi)^{2}+\frac{\pi}{2}$$ 이고 $m_{1}<0$이므로 이 $y$좌표의 최댓값은 $m_{1}=-\pi$일 때 $\displaystyle\frac{\pi}{2}$이고, 따라서 $\displaystyle Q=\frac{\pi}{2}$이다. 또한 문제 [1-1]의 경우와 같이 모든 $t\in(0,\,1)$에 대해 $\displaystyle m_{1}\leq\frac{f(x)-f(t)}{x-t}\leq m_{2}$이므로 $A=(0,\,1)$이다.

[1-3] 모든 $x\in[0,\,1]$와 $\displaystyle t\in\left[\frac{\pi}{6},\,\frac{\pi}{4}\right]$ 대해 $a$가 존재해서 $\displaystyle\frac{f(x)-f(t)}{x-t}\leq a$이므로 $0\leq x_{1}<t$에 대해 $\displaystyle\frac{f(x_{1})-f(t)}{x_{1}-t}\geq a$이어야 하고(그렇지 않다면 적당한 $\displaystyle\alpha<\frac{\pi}{6}$에 대해 $\displaystyle B=\left[\alpha,\,\frac{\pi}{4}\right]$가 된다), $t<x_{2}\leq1$에 대해 $\displaystyle\frac{f(x_{2})-f(t)}{x_{2}-t}\leq a$이어야 한다(그렇지 않다면 적당한 $\displaystyle\beta>\frac{\pi}{4}$에 대해 $\displaystyle B=\left[\frac{\pi}{6},\,\beta\right]$가 된다)(아래 그림 참고).

 

함수 $f(x)$는 실수 전체에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의해 $x_{1}<c_{1}<t<c_{2}<x_{2}$인 $c_{1},\,c_{2}$가 존재해서 $\displaystyle\frac{f(x_{1})-f(t)}{x_{t}-t}=f'(c_{1})$, $\displaystyle\frac{f(x_{2})-f(t)}{x_{2}-t}=f'(c_{2})$이다. $c_{1}<c_{2}$이고 $f'(c_{2})\leq a\leq f'(c_{1})$이며 $f'(x)$는 연속함수이므로 $f'(x)$는 감소함수이다. 또한 $$\lim_{x_{1}\,\rightarrow\,t-}{\frac{f(x_{1})-f(t)}{x_{1}-t}}=f'(t),\,\lim_{x_{2}\,\rightarrow\,t+}{\frac{f(x_{2})-f(t)}{x_{2}-t}}=f'(t)$$ 이므로 집합 $A$의 조건인 '어떤 실수 $a$'에 해당하는 $a$는 $f'(t)$이고, $t\in A$일 때 $f'(t)\in B$이어야 하며, $f'(t)$는 감소함수이므로 따라서 $\displaystyle B=\left[f'\left(\frac{\pi}{4}\right),\,f'\left(\frac{\pi}{6}\right)\right]$이다. 

[1-4] $A=(0,\,1)$이므로 문제 [1-3]의 풀이과정과 $f(x)$의 이계도함수 $f''(x)$가 연속이라는 사실에 의해 $x\in(0,\,1)$에 대해 $f''(x)<0$이고 $$\int_{0}^{1}{|f''(x)|dx}=-\int_{0}^{1}{f''(x)dx}=f'(0)-f'(1)=\frac{4}{3}\pi$$ 이며, $\displaystyle f'(0)=f'(1)+\frac{4}{3}\pi$, $f(1)=f(0)=0$이므로 $x=0$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\left\{f'(1)+\frac{4}{3}\pi\right\}x$이고, $x=1$에서의 접선의 방정식은 $y=f'(1)(x-1)$이다. 이 두 직선의 교점의 $x$좌표는 $\displaystyle x=-\frac{3f'(1)}{4\pi}$이고, 이 교점은 구간 $[0,\,1]$안에 있으므로 $f'(1)<0$이어야 하고, 또한 $\displaystyle f'(0)=f'(1)+\frac{4}{3}\pi>0$이어야 하므로 $\displaystyle-\frac{4}{3}\pi<f'(1)<0$ 이다. 교점의 $y$좌표는 $$-\frac{3}{4\pi}\{f'(1)\}^{2}-f'(1)=-\frac{3}{4\pi}\left(\{f'(1)\}^{2}+\frac{4}{3}\pi f'(1)+\frac{4}{9}\pi^{2}\right)+\frac{\pi}{3}=-\frac{3}{4\pi}\left(f'(1)+\frac{2}{3}\pi\right)^{2}+\frac{\pi}{3}$$ 이므로, $y$좌표의 최댓값은 $\displaystyle f'(1)=-\frac{2}{3}\pi$일 때 $\displaystyle\frac{\pi}{3}$이고, 함수 $f(x)$는 실수 전체에서 미분가능하므로 $[0,\,1]$에서 최댓값을 $\displaystyle\frac{\pi}{3}$로 가져서는 안된다(최댓값이 $\displaystyle\frac{\pi}{3}$이면, 그 점에서 미분가능하지 않게 된다). 그러면 $\displaystyle C=\left\{y|\,y<\frac{\pi}{3}\right\}$이고, $\displaystyle S=\frac{\pi}{3}$이다.