2011학년도 아주대 수시 수리논술(문제일부)

2011학년도 아주대 수시 수리논술(문제일부)

문제 1

삼각형은 여러 가지 재미있는 기하학적인 성질을 가지고 있다. 오심(내심, 외심, 중심, 수심, 방심)이 한 예이다. 오심 중 내심을 예로 들어 설명하면, 삼각형의 세 각의 이등분선의 교점이 내심인데, 세 이등분선이 모두 한 점에서 만난다는 것이 재미있다. 또 다른 예로, 직각삼각형의 세 변의 길이 사이에 성립하는 피타고라스(Pythagoras)의 정리를 들 수 있다. 갈릴레오(Galileo)의 제자였던 비비아니(Viviani, 1622-1703)는 다음과 같은 내용의 비비아니 정리를 발견했다: 비비아니 정리. 정삼각형 또는 그 내부에 있는 한 점에서 세 변에 이르는 거리의 합은 일정하다.  정삼각형이 아닌 경우에는 위 정리의 결과가 성립하지 않는다. 비비아니 정리는 넓이를 이용하면 간단히 증명된다. \(\triangle ABC\)를 한 변의 길이가 \(s\)인 정삼각형이라 하자. 점 \(X\)를 이 삼각형 또는 그 내부에 있는 한 점이라 하고, \(h_{1},\,h_{2},\,h_{3}\)을 각각 점 \(X\)로부터 변 \(AB,\,BC,\,CA\)까지의 거리라 하자. 그러면,$$\begin{align*}h_{1}+h_{2}+h_{3}&=\frac{2}{s}\left(\frac{1}{2}sh_{1}+\frac{1}{2}sh_{2}+\frac{1}{2}sh_{3}\right)\\&=\frac{2}{s}(\triangle ABX+\triangle BCX+\triangle CAX)=\frac{2}{s}\triangle ABC\end{align*}$$가 되어, 이 값은 점 \(X\)와 상관없이 일정한 값이 된다.

   

[문제 1-1] 두 직선 \(\ell,\,m\)과 직선 \(m\) 위에 세 점 \(P,\,Q,\,R\)이 있다. 세 점 \(P,\,Q,\,R\)로부터 직선 \(\ell\)까지의 거리를 각각 \(p,\,q,\,r\)이라 하고, \(\displaystyle t=\frac{PR}{PQ}\)이라 할 때, \(r\)을 \(p,\,q,\,t\)의 식으로 나타내어라. (단, \(R\)이 \(P\)와 \(Q\)의 사이에 있다고 가정하라. \(P\)가 \(R\)과 \(Q\) 사이에 올 때는 \(t\)를 \(\displaystyle t=-\frac{PR}{PQ}\)로 정의한다면, 이 문제에서 유도하는 식은 실제로 세 점 \(P,\,Q,\,R\)의 상대적 위치와 상관없이 성립한다.) 

※ 음이 아닌 세 실수 \(a,\,b,\,c\)와 \(\triangle ABC\)가 주어져 있다. 이 삼각형 또는 그 내부에 있는 임의의 점 \(X\)에 대한 함수 \(H(X)\)를 다음과 같이 정의한다.$$H(X)=a\cdot h_{1}(X)+b\cdot h_{2}(X)+c\cdot h_{3}(X)$$단, \(h_{1}(X),\,h_{2}(X),\,h_{3}(X)\)는 각각 점 \(X\)로부터 변 \(AB,\,BC,\,CA\)까지의 거리이다. 이 함수 \(H\)에 관해 다음 물음에 답하라.

[문제 1-2] [문제 1-1]의 결과를 이용하여, \(\triangle ABC\) 또는 그 내부에 있는 서로 다른 세 점 \(P,\,Q,\,R\)이 동일 직선 위에 있고, \(H(P)=H(Q)\)이면, \(H(R)=H(P)\)임을 보여라.

[문제 1-3] \(\triangle ABC\) 또는 그 내부에 있는 서로 다른 세 점 \(P,\,Q,\,R\)이 동일 직선 위에 있지 않고, \(H(P)=H(Q)=H(R)\)이면, 함수 \(H\)의 값은 \(\Delta ABC\) 또는 그 내부에 있는 모든 점 \(X\)에 대해 일정함을 보여라.

[문제 1-4] 함수 \(H\)의 값이 일정하고, 변 \(AB,\,BC,\,CA\)의 길이가 각각 \(4,\,8,\,10\)이고 \(a=2\)일 때, \(b\)와 \(c\)의 값을 구하라.

[문제 1-1]:

\(\displaystyle t=\frac{PR}{PQ}\)이므로 \(PR=tPQ\)이고 \(PR:PQ=(p-r):(p-q)\)이므로 \((p-r)=t(p-q)\)이고 따라서 \(r=p-t(p-q)=(1-t)p+tq\)이다. 

[문제 1-2]$$\begin{align*}H(P)&=ah_{1}(P)+bh_{2}(P)+ch_{3}(P)\\H(Q)&=ah_{1}(Q)+bh_{2}(Q)+ch_{3}(Q)\\H(R)&=ah_{1}(R)+bh_{2}(R)+ch_{3}(R)\end{align*}$$이고 점 \(P,\,Q,\,R\)은 한 직선 위에 있으므로 [문제 1-1]의 결과에 의해 \(\displaystyle t=\frac{PR}{RQ}\)라 하면$$\begin{align*}h_{1}(R)&=(1-t)h_{1}(P)+th_{1}(Q)\\h_{2}(R)&=(1-t)h_{2}(P)+th_{2}(Q)\\h_{3}(R)&=(1-h)h_{3}(P)+th_{3}(Q)\end{align*}$$이고$$\begin{align*}H(R)&=ah_{1}(R)+bh_{2}(R)+ch_{3}(R)\\&=a\{(1-t)h_{1}(P)+th_{1}(Q)\}+b\{(1-t)h_{2}(P)+th_{2}(Q)\}+c\{(1-t)h_{3}(P)+th_{3}(Q)\}\\&=\{ah_{1}(P)+bh_{2}(P)+ch_{3}(P)\}-t\{ah_{1}(P)+bh_{2}(P)+ch_{3}(P)\}+t\{ah_{1}(Q)+bh_{2}(Q)+ch_{3}(Q)\}\\&=H(P)-tH(P)+tH(Q)\\&=H(P)\,(\because\,H(P)=H(Q))\end{align*}$$이므로 따라서 \(H(R)=H(P)\)이다.  

[문제 1-3] 점 \(P,\,Q,\,R\)과 다른 삼각형 \(ABC\) 또는 그 내부의 점 \(S,\,T,\,X\)에 대해  

(i) 점 \(P,\,Q,\,S\)가 한 직선 위에 있으면 \(H(P)=H(Q)\)이므로 [문제 1-2]의 결과에 의해 \(H(P)=H(S)\)이다. 

(ii) 점 \(Q,\,R,\,T\)가 한 직선 위에 있으면 \(H(Q)=H(R)\)이므로 [문제 1-2]의 결과에 의해 \(H(Q)=H(T)\)이다. 

(iii) 점 \(S,\,T,\,X\)가 한 직선 위에 있으면 \(H(S)=H(P)=H(Q)=H(T)\)이므로 [문제 1-2]의 결과에 의해 \(H(X)=H(S)\)이다. 

위 과정을 무한히 반복하면 함수 \(H\)의 값은 삼각형 \(ABC\) 또는 그 내부의 임의의 점 \(X\)에 대해 일정함을 알 수 있다. 

[문제 1-4]

함수 \(H\)는 삼각형 \(ABC\)와 그 내부의 점 \(X\)에 대해 일정하므로 \(H(A)=H(B)=H(C)\)이고,$$H(A)=bh_{2}(A)=H(B)=ch_{3}(B)=H(C)=ah_{1}(C)$$이다. 이때$$2h_{1}(C)=\frac{1}{2}\cdot4h_{1}(C)=\frac{1}{2}AB\cdot h_{3}(C)$$이므로 \(ah_{1}(C)\)의 값은 삼각형 \(ABC\)의 넓이를 뜻한다. 삼각형 \(ABC\)의 넓이를 \(S\)라 하면 \(ah_{1}(C)=bh_{2}(A)=ch_{3}(B)=S\)이고 \(BC=8\), \(CA=10\)이므로$$b=\frac{S}{h_{2}(A)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot h_{2}(A)\cdot BC}{h_{2}(A)}=\frac{1}{2}\cdot8=4,\,c=\frac{S}{h_{3}(B)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot h_{3}(B)\cdot CA}{h_{3}(B)}=\frac{1}{2}\cdot10=5$$이고 따라서 \(b=4\), \(c=5\)이다.