2012학년도 서울대 정시 수리논술

2012학년도 서울대 정시 수리논술

[제시문] 

(가)  함수 \(\log_{2}\)를 정의하려면 우선 지수함수 \(h(t)=2^{t}\)과 그 성질을 알아야 ㅎ나다. 지수함수의 특성 중 하나는, 양수 \(a\)가 주어졌을 때, \(t\)에 관한 방정식 \(2^{t}=a\)의 근이 하나만 존재한다는 것이다. 만약 \(2^{b}=a\)이면, \(b=\log_{2}(a)\)로 표기하고 \(b\)를 \(2\)를 밑으로 하는 \(a\)의 로그라고 부른다. 그럼에도 불구하고 우리는 함수 \(\log_{2}\)의 성질을 지수함수 \(h\)의 성질로부터 이끌어낼 수 있다.  (나) 우리는 일상생활에서 '기하급수적으로 증가한다' 또는 '지수함수적으로 증가한다'라는 표현을 자주 사용한다. 이러한 표현은 지수함수가 다항함수보다 매우 빠르게 증가한다는 뜻을 내포하고 있다. 예를 들어, 짧은 기간에는 이자율이 높은 단리 예금이 더 유리할 수도 있겠지만, 많은 경우에는 단리예금보다 복리예금이 유리할 것으로 기대한다. 이러한 선택의 이면에 있는 수학적인 문제를 생각해 보자.  지수함수와 다항함수의 크기를 비교할 때, 우리는 다음 식$$\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{\frac{t^{a}}{e^{t}}}=0\,(단,\,a는\,양의\,실수)$$을 먼저 떠올리게 된다. 이 식의 의미는 주어진 \(a\)가 아무리 크더라도 큰 \(t\)에 대해서 \(e^{t}\)는 \(t^{a}\)에 비해 비교할 수 없을 정도로 크다는 것이다.    그렇지만 \(a>0\)가 주어졌을 때, \(e^{t}\)이 \(t^{a}\)보다 작은 경우도 있다는 점에 조심해야 한다(예: \(e^{2}<2^{5}\)). 따라서 자연스럽게 다음과 같은 미완성 명제를 생각해 볼 수 있다. 미완성 명제: \(a>0\)일 때, \(t>\)(      ) 이면, \(e^{t}>t^{a}\)이다.  위의 괄호 안에는 \(a\)에 관한 표현이 들어가야 할 것이다. (다) \(a>0\)가 주어졌을 때, \(t\)에 관한 방정식 \(e^{t}=t^{a}\)의 양의 근이 존재하면(논제 1 참조), 그 중 가장 큰 근을 \(f(a)\)라고 하자. 즉 \(b\)가 \(e^{b}=b^{a}\)를 만족시키는 가장 큰 양수이면 \(b=f(a)\)이다. 그러면 \(f\)를 적당한 실수의 구간을 정의역으로 갖는 함수로 인식할 수 있을 것이다(논제 2 참조). 함수 \(f\)를 생각하는 이유는 제시문 (나)의 미완성 명제의 괄호 안에 들어갈 최선의 답이 \(f(a)\)이기 때문이다. 그러나 \(f(a)\)를 \(a\)의 식으로 달리 표현하는 방법을 모를 뿐만 아니라, 계산기 없이는 \(f(5)\)의 근삿값을 구하는 것도 쉬운 일이 아니다.

논제 1. \(a>0\)일 때, \(t\)에 관한 방정식 \(e^{t}=t^{a}\)이 몇 개의 양의 근을 갖는지 설명하시오.

(도움말: 물론 양의 근의 수는 \(a\)에 따라 다를 것이다. \(\displaystyle\frac{\ln t}{t}\) 또는 \(\displaystyle\frac{t}{\ln t}\) 또는 \(\displaystyle\frac{t^{a}}{e^{t}}\)의 그래프를 생각하시오.)

논제 2. 제시문 (다)의 함수 \(f\)의 정의역 \(I\)를 찾고, 함수 \(y=f(x)\)의 그래프의 개형을 그리시오. 만약 변곡점이 존재한다면 변곡점의 좌표도 찾으시오.

논제 3. \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f(x)}{x\ln x}}=1\)임을 보이고, \(x\in I\)이면, \(\displaystyle1\leq\frac{f(x)}{x\ln x}\leq\frac{e}{e-1}\)임을 설명하시오.  

논제 4. \(\displaystyle\lim_{A\,\rightarrow\,\infty}{\int_{e}^{A}{\left(\frac{1}{x\ln x}-\frac{1}{f(x)}\right)dx}}\)를 찾으시오. 

논제 1. \(t\)에 대한 방정식 \(e^{t}=t^{a}\)의 양변에 자연로그를 취하면 \(t=a\ln t\)이고 \(\displaystyle\frac{t}{\ln t}=a\)로 나타낼 수 있다.

함수 \(\displaystyle g(t)=\frac{t}{\ln t}\)에 대해 \(\displaystyle g'(t)=\frac{\ln t-1}{(\ln t)^{2}}\)이므로 \(t=e\)일 때 \(g(t)\)는 최소이고, 최솟값 \(g(e)=e\)를 갖는다. 

따라서 방정식 \(e^{t}=t^{a}\)는 \(a>e\)일 때 2개의 근을, \(a=e\)일 때 1개의 근을 갖고, \(a<e\)일 때 근을 갖지 않는다.

*\(0<t<1\)일 때 \(g(t)<0\)이다.  

논제 2. 함수 \(f(x)\)는 방정식 \(e^{t}=t^{x}\)의 근인 \(t\) 중 가장 큰 양수이고 \(\displaystyle x=\frac{f(t)}{\ln f(t)}\)이므로 \(f(x)\)는 함수 \(\displaystyle y=\frac{x}{\ln x}\)의 역함수이다. 또한 \(\displaystyle y=\frac{x}{\ln x}\)는 \(x\geq e\)에서 일대일 대응이므로 여기서 역함수를 가지며 \(\displaystyle\frac{e}{\ln e}=e\)이므로 \(f(e)=e\)이고 따라서 \(I=\{x\,|\,x\geq e\}\)이다.$$y'=\frac{\ln x-1}{\ln x},\,y''=\frac{\frac{1}{x}(\ln x)^{2}-\frac{2\ln x}{x}(\ln x-1)}{(\ln x)^{4}}=\frac{\ln x-2(\ln x-1)}{x(\ln x)^{3}}=\frac{2-\ln x}{x(\ln x)^{3}}$$이므로 \(\displaystyle y=\frac{x}{\ln x}\)는 증가함수이고 \(\displaystyle e<x<e^{2}\)에서 아래로 볼록, 변곡점은 \(\displaystyle\left(e^{2},\,\frac{1}{2}e^{2}\right)\), \(x>e^{2}\)에서 위로 볼록이다. 

그러면 함수 \(f(x)\)도 \(x\geq e\)에서 증가함수이고, 변곡점은 \(\displaystyle\left(\frac{1}{2}e^{2},\,e^{2}\right)\)이며, 그 그래프는 다음과 같다.

 

논제 3. \(\displaystyle x=\frac{f(x)}{\ln f(x)}\)이므로 \(\displaystyle\frac{f(x)}{x\ln x}=\frac{\ln f(x)}{\ln x}\)이고, 또한 \(f(x)\geq x\)이므로 \(\ln f(x)\geq\ln x\)이고 \(\displaystyle1\leq\frac{\ln f(x)}{\ln x}=\frac{f(x)}{x\ln x}\)이다. 

또한 \(\displaystyle\frac{f(x)}{x\ln x}=\frac{\ln f(x)}{\ln x}=\frac{\ln f(x)}{\ln f(x)-\ln(\ln f(x))}\)이므로 \(y=\ln f(x)\)라 하자. 그러면 \(\displaystyle\frac{f(x)}{x\ln x}=\frac{y}{y-\ln y}\)이고$$\frac{d}{dy}\left(\frac{y}{y-\ln y}\right)=\frac{(y-\ln y)-y\left(1-\frac{1}{y}\right)}{(y-\ln y)^{2}}=\frac{1-\ln y}{(y-\ln y)^{2}}$$이므로 \(\ln y=1\)에서 최대, 즉 \(y=e\)에서 최대이므로 \(\displaystyle\frac{f(x)}{x\ln x}\leq\frac{e}{e-1}\)이고, 따라서 모든 \(x\in I\)에 대해 \(\displaystyle1\leq\frac{f(x)}{x\ln x}\leq\frac{e}{e-1}\)이다. 

극한값 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f(x)}{x\ln x}}\)를 구하자. \(\displaystyle\frac{f(x)}{x\ln x}=\frac{1}{1-\frac{\ln(\ln f(x))}{\ln f(x)}}\)이므로 \(e^{s}=\ln f(x)\)라 하자. \(x\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(f(x)\,\rightarrow\,\infty\)이므로 \(s\,\rightarrow\,\infty\)이고 제시문 (나)의 공식 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{\frac{t^{a}}{e^{t}}}=0\)에 의해 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}\frac{\ln(\ln f(x))}{\ln f(x)}=\lim_{s\,\rightarrow\,\infty}{\frac{s}{e^{s}}}=0\)이므로 따라서 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f(x)}{x\ln x}}=1\)이다. 

논제 4. \(\displaystyle\int_{e}^{A}{\frac{1}{x\ln x}dx}=\left[\ln(\ln x)\right]_{e}^{A}=\ln(\ln A)\)이므로 \(\displaystyle\int_{e}^{A}{\frac{1}{f(x)}dx}\)를 찾자. \(y=f(x)\)라고 하면 \(\displaystyle x=\frac{y}{\ln y}\)이므로 \(\displaystyle\frac{dx}{dy}=\frac{\ln y-1}{(\ln y)^{2}}\)이고$$\int_{e}^{A}{\frac{1}{f(x)}dx}=\int_{e}^{f(A)}{\left\{\frac{1}{y\ln y}-\frac{1}{y\{\ln y\}^{2}}\right\}dy}=\left[\ln(\ln y)+\frac{1}{\ln y}\right]_{e}^{f(A)}=\ln(\ln f(A))+\frac{1}{\ln f(A)}-1$$이므로$$\int_{e}^{A}{\left(\frac{1}{x\ln x}-\frac{1}{f(x)}\right)dx}=\ln(\ln A)-\left\{\ln(\ln f(A))+\frac{1}{\ln f(A)}-1\right\}=\ln\frac{\ln A}{\ln f(A)}-\frac{1}{\ln f(A)}+1$$이고 논제 3의 결과에 의해 \(\displaystyle\lim_{A\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\ln f(A)}{\ln A}}=\lim_{A\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f(A)}{A\ln A}}=1\)이므로 \(\displaystyle\lim_{A\,\rightarrow\,\infty}{\frac{\ln A}{\ln f(A)}}=1\)이고 \(\displaystyle\lim_{A\,\rightarrow\,\infty}{\ln f(A)}=\infty\)이므로 \(\displaystyle\lim_{A\,\rightarrow,\infty}{\frac{1}{\ln f(A)}}=0\)이다. 

따라서 \(\displaystyle\lim_{A\,\rightarrow\,\infty}{\int_{e}^{A}{\left(\frac{1}{x\ln x}-\frac{1}{f(x)}\right)dx}}=1\)이다.