2010학년도 아주대 모의 수리논술(문제일부)

2010학년도 아주대 모의 수리논술(문제일부)

 

 

문제 1 [60점]

(가) 적당한 도구를 사용하여 다양한 기하학적 도형을 그리는 것을 작도라 한다. 고대 그리스인들은 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 할 수 있는 작도에 대해 연구하여 여러 가지 도형들의 작도법을 발견하였다. 그 이후로 기하학적 작도는 그들의 전통을 따라 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 하는 작도를 일컫게 되었다.  기하학적 작도에서 컴퍼스는 주어진 점을 중심으로 주어진 길이를 반지름으로 하는 원을 그리는 도구이고, 눈금 없는 자는 주어진 두 점을 지나는 직선이나, 주어진 원에 원 바깥에 주어져 있는 점으로부터 접선을 긋는 도구이다. 예를 들면, 주어진 선분의 수직이등분선, 주어진 각의 이등분선, 주어진 길이를 한 변으로 하는 정삼각형, 정사각형 등은 기하학적으로 작도 가능한 도형이다.  임의의 각을 3등분하기, 주어진 정육면체의 두 배의 부피를 갖는 정육면체의 한 변을 작도하기, 주어진 원과 넓이가 같은 정사각형의 한 변을 작도하기 등을 3대 작도불능 문제라 한다. 오랫동안 미해결로 남아있던 이 작도문제들이 기하학적으로는 불가능하다는 것이 근세에 대수적으로 증명되었다.  다소 변칙적인 방법으로 임의의 각을 3등분하는 방법은 오래전부터 다양하게 알려져 있다. 기원전 사람인 아르키메데스(Archimedes)는 뉴시스 작도(neusis construction)라 하는 다음과 같은 방법으로 임의의 주어진 각을 3등분할 수 있다는 것을 보였다. [그림 1]에서 \(\angle AOB\)가 주어진 각이고, \(\angle ACB\)가 \(\angle AOB\)의 3등분각이다. \(\angle ACB\)를 작도하려면, 먼저 주어진 각의 꼭짓점인 \(O\)를 중심으로 하는 원을 그려서 주어진 각의 변과 만나는 점 \(A\)와 \(B\)를 구하고, 각의 변 \(OA\)를 점 \(O\)의 방향으로 연장한 직선을 긋는다. 다음으로 자를 직선 \(OA\)와 맞추어 점 \(O\)와 \(A\)에 대응되는 위치를 자 위에 표시한다. 전통적인 기하학적 작도에서는 이렇게 자 위에 표시를 할 수 없다. 마지막으로 자 위에 표시된 이 점들이 직선 \(OA\)위의 점 \(C\)와 원 \(O\)위의 점 \(D\)에 각각 위치하게 자를 움직여 점 \(B\)를 지나는 직선 \(BC\)를 긋는다. 즉, 선분 \(CD\)와 선분 \(OA\)의 길이가 같아지게 직선 \(BC\)를 긋는다. 이렇게 작도하면 \(\angle ACB\)가 \(\angle AOB\)의 3등분각이 되는 것은 다음과 같이 증명할 수 있다: \(CD=OA=OD\)이므로 \(\triangle OCD\)는 이등변삼각형이고$$\angle OCD=\angle COD$$따라서,$$\angle ODB=\angle OCD+\angle COD\\=2\angle OCD\\=2\angle ACB$$그리고 \(OB=OD\)이므로 \(\triangle OBD\)는 이등변삼각형이고$$\angle ODB=\angle OBD.$$따라서,$$\begin{align*}\angle BOD&=180^{\circ}-(\angle ODBB+\angle OBD)\\&=180^{\circ}-2\angle ODB\\&=180^{\circ}-4\angle ACB.\end{align*}$$그러므로,$$\begin{align*}\angle AOB&=180^{\circ}-(\angle BOD+\angle COD)\\&=180^{\circ}-((180^{\circ}-4\angle ACB)+\angle ACB)\\&=3\angle ACB.\end{align*}$$(나) 다음 [그림2]와 같이, 각의 한 변 위에 한 점 \(A\)를 잡고 점 \(A\)를 중심으로 하고 각의 꼭지점 \(O\)를 지나는 원호 \(S\)를 그린다. 이 원호 \(S\)위에 점 \(D\)를 잘 잡아 직선 \(AD\)와 각의 다른 변 \(OB\)와의 교점 \(C\)에 대해 \(OD=CD\)가 되면, \(\angle COD\)가 주어진 각 \(\angle AOB\)의 3등분각이 된다. 전통적인 기하학적 작도법이나 뉴시스 작도법으로는 이와 같은 점 \(D\)를 작도할 수 없다. 그러나 다음과 같은 방법으로 \(D\)에 임의로 가까운 점들을 작도할 수 있다. 먼저 원호 \(S\)위에 한 점 \(D_{1}\)을 잡고, \(OD_{1}=C_{1}D_{1}\)인 점 \(C_{1}\)을 변 \(OB\)위에 잡는다. 다음으로 \(AC_{1}\)과 원호 \(S\)의 교점을 \(D_{2}\)라 하고 \(OD_{2}=C_{2}D_{2}\)인 점 \(C_{2}\)를 변 \(OB\)위에 잡는다. 이런 과정을 반복하여 원호 \(S\)위에 점 \(D_{1},\,D_{2},\,D_{3},\,\cdots\)를 잡으면 이 점들은 한 점으로 수렴하게 되는데, 이 극한점이 점 \(D\)가 된다.  (다) 각을 3등분하는 것은 각의 꼭짓점을 중심으로 하는 원이 각의 두 변에 의해서 잘려진 원호를 3등분하는 것과 같다. [그림 3]과 같이 현을 3등분하는 것으로는 3등분각을 작도할 수 없으나 주어진 각의 크기가 작을 때에는 3등분각에 가까운 각을 얻을 수 있다.   [그림 3]에서 \(OA=OB\)이고 점 \(C\)는 현 \(AB\)를 \(2:1\)로 내분하는 점이다. \(\angle AOB\)와 \(\angle BOC\)의 크기를 각각 \(\alpha\)와 \(\beta\)라 하면 다음 부등식이 성립한다:$$(1)\,\,\,\,\,\,\left|\beta-\frac{1}{3}\alpha\right|\leq\frac{3}{25}\alpha^{2}\,\,\,\,\,(단, 각의\,단위는\,라디안(\text{radian})이다)$$즉, \(\alpha\)가 작을 때 \(\beta\)는 \(\alpha/3\)의 근삿값이 된다. 실제로, \(\angle AOB\)가 \(30^{\circ}\)일 때 \(\angle BOC\)의 3배는 약 \(29.896^{\circ}\)가 된다.

[문제 1-1](12점) [그림 2]에서 \(AO=AD\)이고 \(OD=CD\)이면, \(\angle COD\)가 \(\angle AOB\)의 3등분각이 됨을 제시문 (가)를 참조하여 증명하라.

 

[문제 1-2](12점) 아래 그림에서 예각 \(\angle AOB\)와 점 \(A\)는 고정되어 있고, \(A\)를 중심으로 하고 \(AO\)를 반지름으로 하는 원 \(S\)와 변 \(OB\)의 교점은 \(M\)이다. 점 \(P\)는 원 \(S\)위를 움직이며, 점 \(Q\)는 직선 \(AP\)와 변 \(OB\)의 교점이다.

\(\angle AOB\)와 \(\angle MAP\)의 크기를 각각 \(\alpha\)와 \(\gamma\)라 할 때, \(\displaystyle\lim_{\gamma\,\rightarrow\,0}{\frac{PQ}{OP}}\)와 \(\displaystyle\lim_{\gamma\,\rightarrow\,\alpha}{\frac{PQ}{OP}}\)를 구하고, 이를 이용하여 원 \(S\)위에 \(OP=PQ\)인 점 \(P\)가 존재함을 설명하라. 

 

[문제 1-3](12점) 제시문 (나)에 나오는 점 \(D_{1},\,D_{2},\,D_{3},\,\cdots\)들이 점 \(D\)에 수렴함을 보일 때 다음 사실들을 이용할 수 있다.

 (a) \(OD_{n}<OD\)이면 \(OD_{n}<OD_{n+1}<OD\)이다.

 (b) \(OD_{n}>OD\)이면 \(OD_{n}>OD_{n+1}>OD\)이다. 

(a)를 증명하라. 

 

[문제 1-4](12점) [그림 3]에서 \(\angle AOB\)와 \(\angle BOC\)의 크기를 각각 \(\alpha\)와 \(\beta\)라 할 때, \(\cos(\beta)\)를 \(\alpha\)에 관한 식으로 나타내어라. 

 

[문제 1-5](12점) 다음 그림에서 \(OC\)는 \(\angle AOB\)의 이등분선이고, \(OD\)는 \(\angle BOC\)의 이등분선이며, 점 \(E\)는 현 \(CD\)를 \(2:1\)로 내분하는 점이다. \(\angle AOB\)와 \(\angle BOE\)의 크기를 각각 \(\alpha\)와 \(\delta\)라 할 때, \(\delta\)가 \(\alpha/3\)의 근삿값이 됨을 설명하고, 부등식$$\left|\delta-\frac{1}{3}\alpha\right|\leq\frac{3}{400}\alpha^{2}$$이 성립함을 증명하라.

풀이: 

[문제 1-1]

위의 그림에서 \(OD=CD\)이므로 \(\triangle OCD\)는 이등변삼각형이고 \(\angle OCD=\angle COD\)이다. 그러면$$\angle ADO=\angle OCD+\angle COD=2\angle COD$$이고 \(AO=AD\)이므로 \(\angle AOD\)는 이등변삼각형이고 \(\angle AOD=\angle ADO=2\angle COD\)이다.$$\angle AOB=\angle AOD+\angle COD=3\angle COD$$이므로 따라서 \(\angle COD\)는 \(\angle AOB\)의 3등분각이다. 

 

[문제 1-2]:

위 그림에서 \(OA=OP=a\)라 하자. 그러면$$OP=2a\sin\left(90^{\circ}-\alpha+\frac{\gamma}{2}\right)=2a\cos\left(\alpha-\frac{\gamma}{2}\right),\,PM=2a\sin\frac{\gamma}{2}$$이고$$PH=PQ\sin(\alpha-\gamma)=PM\cos\left(\alpha-\frac{\gamma}{2}\right)=2a\sin\frac{\gamma}{2}\cos\left(\alpha-\frac{\alpha}{2}\right)$$이므로$$PQ=\frac{\displaystyle2a\sin\frac{\gamma}{2}\cos\left(\alpha-\frac{\gamma}{2}\right)}{\sin(\alpha-\gamma)}$$이고$$OP=2a\sin\left(90^{\circ}-\alpha+\frac{\gamma}{2}\right)=2a\cos\left(\alpha-\frac{\gamma}{2}\right)$$이므로$$\frac{PQ}{OP}=\frac{\displaystyle\sin\frac{\gamma}{2}}{\sin(\alpha-\gamma)}$$이다. 그러면$$\lim_{\gamma\,\rightarrow\,0}{\frac{PQ}{OP}}=0,\,\lim_{\gamma\,\rightarrow\,\alpha}{\frac{PQ}{OP}}=\infty$$이므로 중간값(사잇값)정리에 의해 \(\displaystyle\frac{PQ}{OP}=1\)인 \(\gamma\)가 존재한다. 이때 \(\displaystyle\sin\frac{\gamma}{2}=\sin(\alpha-\gamma)\)이므로 \(\displaystyle\alpha=\frac{3}{2}\gamma\)이고 다음이 성립한다.$$OP=2a\cos\gamma,\,PQ=2a\frac{\displaystyle\sin\frac{\gamma}{2}\cos\gamma}{\displaystyle\sin\frac{\gamma}{2}}=2a\cos\gamma$$[문제 1-3]

위 그림에서$$\angle EOD_{n}<\angle COD=\angle OCD<\angle OED_{n}$$이므로 \(ED_{n}<OD_{n}=C_{n}D_{n}\)이고 따라서 \(OE<OC_{n}\)이다. 

\(AC<AD_{n}+CD_{n}\)이므로 \(AC=AD+CD=AD+OD>AD>OD_{n}\)이고 \(AD_{n}+CD_{n}=AD+CD_{n}\)이므로 \(CD_{n}>OD_{n}=C_{n}D_{n}\)이고 따라서 \(OC_{n}<OC\)이다.

그러면 \(OE<OC_{n}<OD\)이고 \(C_{n}\)은 \(E\)와 \(C\) 사이에 위치해 있고, \(D_{n+1}\)은 \(D_{n}\)과 \(D\) 사이에 있다. 그러므로 \(OD_{n}<OD_{n+1}<OD\)이다. 

 

[문제 1-4]

위 그림에서 \(O\)를 원점, 선분 \(OB\)를 \(x\)축, \(OA=OB=r\)이라 하자. 그러면 \(A(r\cos\alpha,\,r\sin\alpha)\), \(B(r,\,0)\)이고 점 \(C\)는 \(AB\)를 \(2:1\)로 내분하는 점이므로 \(\displaystyle C\left(\frac{2r+r\cos\alpha}{3},\,\frac{r\sin\alpha}{3}\right)\)이다.$$OC=r\sqrt{\left(\frac{2+\cos\alpha}{3}\right)^{2}+\left(\frac{\sin\alpha}{3}\right)^{2}}=\frac{r\sqrt{5+4\cos\alpha}}{3}$$이므로$$\cos\beta=\frac{\displaystyle\frac{r\sin\alpha}{3}}{OC}=\frac{2+\cos\alpha}{\sqrt{5+4\cos\alpha}}$$이고 따라서 \(\displaystyle\cos\beta=\frac{2+\cos\alpha}{\sqrt{5+4\cos\alpha}}\)이다. 

 

[문제 1-5]:

위 그림에서 \(\displaystyle\angle AOC=\frac{\alpha}{2}\), \(\displaystyle\angle DOB=\frac{\alpha}{4}\)이므로 \(\displaystyle\angle COD=\frac{\alpha}{4}\)이다. 

여기서 \(\displaystyle\alpha'=\frac{\alpha}{4},\,\beta'=\delta-\frac{\alpha}{4}\)라 하면, 제시문 (다)에 의해 \(\beta'\)은 \(\displaystyle\frac{1}{3}\alpha'\)의 근삿값이므로 다음의 부등식이 성립하고$$\left|\beta'-\frac{1}{3}\alpha'\right|\leq\frac{3}{25}(\alpha')^{2}$$이때$$\beta'-\frac{1}{3}\alpha'=\left(\delta-\frac{\alpha}{4}\right)-\frac{\alpha}{12}=\delta-\frac{1}{3}\alpha$$이므로 \(\delta\)는 \(\displaystyle\frac{\alpha}{3}\)의 근삿값이다. \(\displaystyle\alpha'=\frac{1}{4}\alpha\)이므로$$\left|\delta-\frac{1}{3}\alpha\right|=\left|\beta'-\frac{1}{3}\alpha'\right|\leq\frac{3}{25}(\alpha')^{2}=\frac{3}{400}\alpha^{2}$$이고 따라서 부등식 \(\displaystyle\left|\delta-\frac{1}{3}\alpha\right|\leq\frac{3}{400}\alpha^{2}\)를 얻는다.