2008학년도 연세대 모의 수리논술(문제일부)

2008학년도 연세대 모의 수리논술(문제일부)

 

 

[문제 1] 아래에서는 주어진 정보에 근거하여 단면의 길이와 체적을 구하는 과정 각각을 설명하고 있다. 공식을 유도하는 과정의 타당성에 관하여 논하시오. 

 

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(단면의 면적 \(A(r)\)을 이용, 단면의 길이 \(L(r)\)을 구하는 논리) 반경이 \(r\)인 원기둥을 \(45^{\circ}\) 각도로 잘라서 생성되는 단면의 면적을 \(A(r)\), 둘레 길이를 \(L(r)\)이라 하자. \(r\)의 함수로 단면의 면적 \(A(r)\)을 알고 있을 때, 이를 이용하여 단면의 둘레 길이 \(L(r)\)을 구하고자 한다. 

 

반경이 각각 \(r,\,r+h\,(h>0)\)인 원기둥을 \(45^{\circ}\)각도로 자른 단면의 면적은 \(A(r)\), \(A(r+h)\)이다. 큰 단면에서 작은 단면을 제거하면 가느다란 띠가 생성되는데, 이 띠의 면적은 이 두 단면의 면적의 차이 \(A(r+h)-A(r)\)이다. 이 띠를 풀면 직사각형으로 근사할 수 있고, 이 직사각형은 밑변의 길이는 우리가 구하고자 하는 단면의 길이 \(L(r)\)이고 높이는 \(h\)이다.$$\begin{align*}&A(r+h)-A(r)\approx L(r)h\\&\frac{A(r+h)-A(r)}{h}\approx L(r)\end{align*}$$위의 근사는 \(h\)가 작아질수록 정교하여지므로, 위 식에서 \(h\)를 \(0\)으로 보내는 극한을 취하면 등식이 성립한다. 즉,$$L(r)=\frac{d}{dr}A(r)$$(구의 표면적 \(S(r)\)을 이용, 구의 체적 \(V(r)\)을 구하는 논리) 반경이 \(r\)인 구의 표면적은 \(S(r)\), 체적을 \(V(r)\)이라고 하자. \(r\)의 함수로 구의 표면적 \(S(r)\)을 알고 있을 때, 이를 이용하여 구의 체적 \(V(r)\)을 구하고자 한다. 

 

구의 반경 \(r\)을 \(n\)등분하여 구를 반경이 \(\displaystyle\frac{k}{n}r\), \(k=1,\,2,\,...,\,n\)인 구의 표면을 이용하여 분할하면, 구는 \(n\)개의 얇은 "양파 껍질"이 모여서 이루어졌다고 생각할 수 있다. 각각의 양파 껍질은 표면의 넓이가 \(\displaystyle S\left(\frac{k}{n}r\right)\)이고 두께가 \(\displaystyle\frac{r}{n}\)이므로, 양파 껍질의 체적은 근사적으로 \(\displaystyle S\left(\frac{k}{n}r\right)\frac{r}{n}\)이다. 구의 체적은 이들 양파 껍질의 체적을 더하면 되므로 다음과 같이 주어진다.$$V(r)\approx\sum_{k=1}^{n}{S\left(\frac{k}{n}r\right)\frac{r}{n}}\approx\int_{0}^{r}{S(x)dx}$$위의 근사는 \(n\)이 커질수록 정교하여지므로, 위 식에서 \(n\)을 무한대로 보내는 극한을 취하면 등식이 성립한다. 즉,$$V(r)=\int_{0}^{r}{S(x)dx}$$

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풀이: 

(단면의 면적 \(A(r)\)을 이용, 단면의 길이 \(L(r)\)을 구하는 논리)

원기둥을 \(45^{\circ}\) 각도로 자른 단면은 타원이다. 반지름이 \(r\)인 원기둥을 \(45^{\circ}\) 각도로 자른 단면인 타원의 장축의 길이를 \(l\)이라고 하면, \(l\cos45^{\circ}=2r\)이므로 \(l=2\sqrt{2}r\)이고, 단축의 길이는 \(2r\)이다. 같은 방법으로 반지름이 \(r+h\)인 원기둥을 \(45^{\circ}\) 각도로 자른 단면인 타원의 장축의 길이는 \(2\sqrt{2}(r+h)\)이고, 단축의 길이는 \(2(r+h)\)이다. 그러면 띠의 면적 \(A(r+h)-A(r)\)의 범위는 다음과 같다.$$L(r)h<A(r+h)-A(r)<L(r+h)\sqrt{2}h$$\(h>0\)이므로 위 부등식의 양변을 \(h\)로 나누면 다음의 부등식을 얻는다.$$L(r)<\frac{A(r+h)-A(r)}{h}<\sqrt{2}L(r+h)$$앞서 반지름이 \(r\)인 원기둥을 자른 단면은 장축의 길이가 \(2\sqrt{2}r\)이고 단축의 길이가 \(2r\)인 타원이라고 했다. 이러한 타원의 방정식을 \(\displaystyle\frac{x^{2}}{2r^{2}}+\frac{y^{2}}{r^{2}}=1\)로 나타낼 수 있고, 이것을 다음과 같이 매개변수 방정식으로 나타낼 수 있다.$$x=\sqrt{2}r\cos t,\,y=r\sin t\,(0\leq t\leq 2\pi)$$그러면 둘레의 길이 \(L(r)\)은 다음과 같고,$$\begin{align*}L(r)&=\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt}\\&=\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{2r^{2}\sin^{2}t+r^{2}\cos^{2}t}dt}\\&=r\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{1+\sin^{2}t}dt}\end{align*}$$원기둥의 밑면은 단면의 정사영과 같으므로$$A(r)\cos45^{\circ}=\pi r^{2}$$이고 \(A(r)=\sqrt{2}\pi r^{2}\)이다. 

식 \(\displaystyle L(r)=\frac{d}{dr}A(r)\)이 성립한다고 가정하자. 그러면 \(L(r)=2\sqrt{2}\pi r\)이고, 이 식이 성립하려면 다음의 등식이 성립해야 한다.$$\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{1+\sin^{2}t}dt}=2\sqrt{2}\pi$$그러나$$\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{1+\sin^{2}t}dt}<\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{1+1^{2}}dt}=2\sqrt{2}\pi$$이므로 모순이다. 

따라서 식 \(\displaystyle L(r)=\frac{d}{dr}A(r)\)을 유도하는 과정은 타당하지 않다. 

 

(구의 표면적 \(S(r)\)을 이용, 구의 체적 \(V(r)\)을 구하는 논리)

\(n\)개의 양파껍질의 안쪽 표면을 밑면으로 하고, 높이가 \(\displaystyle\frac{r}{n}\)인 기둥을 만들자. 그러면 이 기둥들 중 \(k\)번째 기둥의 부피는 다음과 같다.$$S\left(\frac{k}{n}r\right)\frac{r}{n}$$\(n\)개의 양파껍질의 바깥쪽 표면을 밑면으로 하고, 높이가 \(\displaystyle\frac{r}{n}\)인 기둥의 부피을 만들자. 그러면 이 기둥들 중 \(k\)번째 기둥의 부피는 다음과 같다.$$S\left(\frac{k+1}{n}r\right)\frac{r}{n}$$그러면 \(k\)번째 양파껍질의 부피는 \(\displaystyle V\left(\frac{k+1}{n}r\right)-V\left(\frac{k}{n}r\right)\)이고, 다음의 부등식을 만족한다.$$S\left(\frac{k}{n}r\right)\frac{r}{n}<V\left(\frac{k+1}{n}r\right)-V\left(\frac{k}{n}r\right)<S\left(\frac{k+1}{n}r\right)\frac{r}{n}$$위의 부등식에 \(k=0,\,1,\,...,\,n-1\)을 대입해 변끼리 각각 더하면 다음의 부등식을 얻는다.$$\sum_{k=0}^{n-1}{S\left(\frac{k}{n}r\right)\frac{r}{n}}<V(r)<\sum_{k=1}^{n}{S\left(\frac{k}{n}r\right)\frac{r}{n}}$$위의 부등식에 극한 \(n\,\rightarrow\,\infty\)을 취하면 정적분의 정의에 의해$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=0}^{n-1}{S\left(\frac{k}{n}r\right)\frac{r}{n}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{S\left(\frac{k}{n}r\right)}\frac{r}{n}}=\int_{0}^{r}{S(x)dx}$$이므로$$V(r)=\int_{0}^{r}{S(x)dx}$$이다. 따라서 식 \(\displaystyle V(r)=\int_{0}^{r}{S(x)dx}\)를 유도하는 과정은 타당하다.