2008학년도 연세대 모의 수리논술(문제일부)

2008학년도 연세대 모의 수리논술(문제일부)

 

 

[문제 1] 아래에서는 주어진 정보에 근거하여 단면의 길이와 체적을 구하는 과정 각각을 설명하고 있다. 공식을 유도하는 과정의 타당성에 관하여 논하시오. 

 

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(단면의 면적 $A(r)$을 이용, 단면의 길이 $L(r)$을 구하는 논리) 반경이 $r$인 원기둥을 $45^{\circ}$ 각도로 잘라서 생성되는 단면의 면적을 $A(r)$, 둘레 길이를 $L(r)$이라 하자. $r$의 함수로 단면의 면적 $A(r)$을 알고 있을 때, 이를 이용하여 단면의 둘레 길이 $L(r)$을 구하고자 한다. 

 

반경이 각각 $r,\,r+h\,(h>0)$인 원기둥을 $45^{\circ}$각도로 자른 단면의 면적은 $A(r)$, $A(r+h)$이다. 큰 단면에서 작은 단면을 제거하면 가느다란 띠가 생성되는데, 이 띠의 면적은 이 두 단면의 면적의 차이 $A(r+h)-A(r)$이다. 이 띠를 풀면 직사각형으로 근사할 수 있고, 이 직사각형은 밑변의 길이는 우리가 구하고자 하는 단면의 길이 $L(r)$이고 높이는 $h$이다. $$\begin{align*}&A(r+h)-A(r)\approx L(r)h\\&\frac{A(r+h)-A(r)}{h}\approx L(r)\end{align*}$$ 위의 근사는 $h$가 작아질수록 정교하여지므로, 위 식에서 $h$를 $0$으로 보내는 극한을 취하면 등식이 성립한다. 즉, $$L(r)=\frac{d}{dr}A(r)$$ (구의 표면적 $S(r)$을 이용, 구의 체적 $V(r)$을 구하는 논리) 반경이 $r$인 구의 표면적은 $S(r)$, 체적을 $V(r)$이라고 하자. $r$의 함수로 구의 표면적 $S(r)$을 알고 있을 때, 이를 이용하여 구의 체적 $V(r)$을 구하고자 한다. 

 

구의 반경 $r$을 $n$등분하여 구를 반경이 $\displaystyle\frac{k}{n}r$, $k=1,\,2,\,...,\,n$인 구의 표면을 이용하여 분할하면, 구는 $n$개의 얇은 "양파 껍질"이 모여서 이루어졌다고 생각할 수 있다. 각각의 양파 껍질은 표면의 넓이가 $\displaystyle S\left(\frac{k}{n}r\right)$이고 두께가 $\displaystyle\frac{r}{n}$이므로, 양파 껍질의 체적은 근사적으로 $\displaystyle S\left(\frac{k}{n}r\right)\frac{r}{n}$이다. 구의 체적은 이들 양파 껍질의 체적을 더하면 되므로 다음과 같이 주어진다. $$V(r)\approx\sum_{k=1}^{n}{S\left(\frac{k}{n}r\right)\frac{r}{n}}\approx\int_{0}^{r}{S(x)dx}$$ 위의 근사는 $n$이 커질수록 정교하여지므로, 위 식에서 $n$을 무한대로 보내는 극한을 취하면 등식이 성립한다. 즉, $$V(r)=\int_{0}^{r}{S(x)dx}$$

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풀이: 

(단면의 면적 $A(r)$을 이용, 단면의 길이 $L(r)$을 구하는 논리)

원기둥을 $45^{\circ}$ 각도로 자른 단면은 타원이다. 반지름이 $r$인 원기둥을 $45^{\circ}$ 각도로 자른 단면인 타원의 장축의 길이를 $l$이라고 하면, $l\cos45^{\circ}=2r$이므로 $l=2\sqrt{2}r$이고, 단축의 길이는 $2r$이다. 같은 방법으로 반지름이 $r+h$인 원기둥을 $45^{\circ}$ 각도로 자른 단면인 타원의 장축의 길이는 $2\sqrt{2}(r+h)$이고, 단축의 길이는 $2(r+h)$이다. 그러면 띠의 면적 $A(r+h)-A(r)$의 범위는 다음과 같다. $$L(r)h<A(r+h)-A(r)<L(r+h)\sqrt{2}h$$ $h>0$이므로 위 부등식의 양변을 $h$로 나누면 다음의 부등식을 얻는다. $$L(r)<\frac{A(r+h)-A(r)}{h}<\sqrt{2}L(r+h)$$ 앞서 반지름이 $r$인 원기둥을 자른 단면은 장축의 길이가 $2\sqrt{2}r$이고 단축의 길이가 $2r$인 타원이라고 했다. 이러한 타원의 방정식을 $\displaystyle\frac{x^{2}}{2r^{2}}+\frac{y^{2}}{r^{2}}=1$로 나타낼 수 있고, 이것을 다음과 같이 매개변수 방정식으로 나타낼 수 있다. $$x=\sqrt{2}r\cos t,\,y=r\sin t\,(0\leq t\leq 2\pi)$$ 그러면 둘레의 길이 $L(r)$은 다음과 같고, $$\begin{align*}L(r)&=\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt}\\&=\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{2r^{2}\sin^{2}t+r^{2}\cos^{2}t}dt}\\&=r\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{1+\sin^{2}t}dt}\end{align*}$$ 원기둥의 밑면은 단면의 정사영과 같으므로 $$A(r)\cos45^{\circ}=\pi r^{2}$$ 이고 $A(r)=\sqrt{2}\pi r^{2}$이다. 

식 $\displaystyle L(r)=\frac{d}{dr}A(r)$이 성립한다고 가정하자. 그러면 $L(r)=2\sqrt{2}\pi r$이고, 이 식이 성립하려면 다음의 등식이 성립해야 한다. $$\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{1+\sin^{2}t}dt}=2\sqrt{2}\pi$$ 그러나 $$\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{1+\sin^{2}t}dt}<\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{1+1^{2}}dt}=2\sqrt{2}\pi$$ 이므로 모순이다. 

따라서 식 $\displaystyle L(r)=\frac{d}{dr}A(r)$을 유도하는 과정은 타당하지 않다. 

 

(구의 표면적 $S(r)$을 이용, 구의 체적 $V(r)$을 구하는 논리)

$n$개의 양파껍질의 안쪽 표면을 밑면으로 하고, 높이가 $\displaystyle\frac{r}{n}$인 기둥을 만들자. 그러면 이 기둥들 중 $k$번째 기둥의 부피는 다음과 같다. $$S\left(\frac{k}{n}r\right)\frac{r}{n}$$ $n$개의 양파껍질의 바깥쪽 표면을 밑면으로 하고, 높이가 $\displaystyle\frac{r}{n}$인 기둥의 부피을 만들자. 그러면 이 기둥들 중 $k$번째 기둥의 부피는 다음과 같다. $$S\left(\frac{k+1}{n}r\right)\frac{r}{n}$$ 그러면 $k$번째 양파껍질의 부피는 $\displaystyle V\left(\frac{k+1}{n}r\right)-V\left(\frac{k}{n}r\right)$이고, 다음의 부등식을 만족한다. $$S\left(\frac{k}{n}r\right)\frac{r}{n}<V\left(\frac{k+1}{n}r\right)-V\left(\frac{k}{n}r\right)<S\left(\frac{k+1}{n}r\right)\frac{r}{n}$$ 위의 부등식에 $k=0,\,1,\,...,\,n-1$을 대입해 변끼리 각각 더하면 다음의 부등식을 얻는다. $$\sum_{k=0}^{n-1}{S\left(\frac{k}{n}r\right)\frac{r}{n}}<V(r)<\sum_{k=1}^{n}{S\left(\frac{k}{n}r\right)\frac{r}{n}}$$ 위의 부등식에 극한 $n\,\rightarrow\,\infty$을 취하면 정적분의 정의에 의해 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=0}^{n-1}{S\left(\frac{k}{n}r\right)\frac{r}{n}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{S\left(\frac{k}{n}r\right)}\frac{r}{n}}=\int_{0}^{r}{S(x)dx}$$ 이므로 $$V(r)=\int_{0}^{r}{S(x)dx}$$ 이다. 따라서 식 $\displaystyle V(r)=\int_{0}^{r}{S(x)dx}$를 유도하는 과정은 타당하다.