[Stewart Calculus] 5~6

[Stewart Calculus] 5~6

5. Applications of Integration

Applied Project 

1. 어떤 물체의 운동량(momentum) \(p\)는 그 물체의 질량 \(m\)과 속도 \(v\)의 곱, 즉 \(p=mv\)이다. 한 물체가 힘 \(F\)에 의해 직선을 따라 운동한다고 하자. 이때 힘 \(F=F(t)\)는 시간 \(t\)에 대한 연속함수이다.   

시간구간 \([t_{0},\,t_{1}]\)에서 운동량의 변화는 힘 \(F\)를 \(t_{0}\)에서 \(t_{1}\)까지 적분한 것과 같음을 보여라. 즉, 다음이 성립함을 보여라.$$p(t_{1})-p(t_{0})=\int_{t_{0}}^{t_{1}}{F(t)dt}$$이 적분을 시간구간 위에서 힘의 충격량(impulse)이라고 한다. 

2. 질량이 \(m\)이고 속도가 \(v\)인 물체의 운동에너지 \(K\)는 \(\displaystyle K=\frac{1}{2}mv^{2}\)로 주어진다. 질량이 \(m\)인 물체가 힘 \(F\)에 의해 직선상에서 운동한다고 하자. 힘 \(F\)는 위치 \(s\)에 의존한다. 뉴턴의 제2법칙에 의하면 다음이 성립한다.$$F(s)=ma=m\frac{dv}{dt}$$여기서 \(a\)와 \(v\)는 각각 물체의 가속도와 속도이다. 

\(s_{0}\)위치에서 출발한 물체가 \(s_{1}\)위치로 이동하는 동안 물체가 한 일이 그 물체의 운동에너지의 변화와 같음을 보여라. 즉, 다음이 성립함을 보여라.$$W=\int_{s_{0}}^{s_{1}}{F(s)ds}=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$$여기서 \(v_{0}=v(s_{0})\), \(v_{1}=v(s_{1})\)는 각각 \(s_{0}\), \(s_{1}\)에서의 속도이다. 힌트: 다음의 연쇄법칙을 이용하여라.$$m\frac{dv}{dt}=m\frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt}=mv\frac{dv}{ds}$$풀이: 

1. \(\displaystyle F=ma=m\frac{dv}{dt}\)이고, \(p(t)=mv(t)\)이므로$$\begin{align*}\int_{t_{0}}^{t_{1}}{F(t)dt}&=\int_{t_{0}}^{t_{1}}{m\frac{dv}{dt}dt}\\&=m(v(t_{1})-v(t_{0}))\\&=p(t_{1})-p(t_{0})\end{align*}$$이고 따라서 \(\displaystyle p(t_{1})-p(t_{0})=\int_{t_{0}}^{t_{1}}{F(t)dt}\)이다.   

2. \(\displaystyle F=m\frac{dv}{dt}=m\frac{dv}{ds}\frac{ds}{dt}=mv\frac{dv}{ds}\)이므로$$\begin{align*}W&=\int_{s_{0}}^{s_{1}}{F(s)ds}\\&=\int_{v_{0}}^{v_{1}}{mvdv}\\&=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}\end{align*}$$이고 따라서 \(\displaystyle W=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}\)이다. 

Problem Plus

4. 반지름이 \(r\)이고 높이가 \(L\)인 원통에 물이 차있고, 물이 밑면을 다 채우기 직전까지 원통을 기울인다.

(a) 물을 평행한 직사각형으로 자르는 방법을 이용해 물의 부피를 정적분으로 나타내어라.

(b) 물을 평행한 사다리꼴로 자르는 방법을 이용해 물의 부피를 정적분으로 나타내어라.

(c) (a) 또는 (b)를 계산하여 무르이 부피를 계산하여라.

(d) 순수한 기하학적 방법으로 부피를 계산하여라.

(e) 원통을 기울여서 물이 밑면의 절반을 다 채우기 직전까지 원통을 기울인다.

물을 평행한 삼각형으로 자를 수 있는가? 직사각형으로 자를 수 있는가? 원의 조각으로 자를 수 있는가? 물의 부피를 계산하여라.

풀이: 

(a) 먼저 원통을 옆에서 바라본 모습은 다음과 같다.

그러면 \(\displaystyle\tan\theta=\frac{L}{2r}\)이고,

원 \((x-r)^{2}+y^{2}=r^{2}\)내부에 밑변을 둔 한 사각형의 넓이는$$\left(\frac{L}{2r}x\right)2y=\frac{L}{r}x\sqrt{r^{2}-(r-x)^{2}}$$이므로 사각형을 단면으로 자른 물의 부피는 \(\displaystyle V=\frac{L}{r}\int_{0}^{2r}{x\sqrt{r^{2}-(r-x)^{2}}dx}\)이다.

(b) 다음 그림은 물을 사다리꼴로 자른 것을 나타낸 것이다.

원 \((x-r)^{2}+y^{2}=r^{2}\)내부에 밑변을 둔 한 사다리꼴의 넓이는$$\frac{1}{2}\cdot2y\left\{\left(-\frac{L}{2r}y+\frac{L}{2}\right)+\left(\frac{L}{2r}y+\frac{L}{2}\right)\right\}=L\sqrt{r^{2}-(r-x)^{2}}$$이므로 사다리꼴을 단면으로 자른 물의 부피는 \(\displaystyle\int_{0}^{2r}{L\sqrt{r^{2}-(r-x)^{2}}dx}\)이다.

(c) \(r-x=r\sin\theta\)라 하자. 그러면 \(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=-r\cos\theta\)이고 \(x=2r\)일 때 \(\displaystyle\theta=\frac{\pi}{2}\), \(x=0\)일 때 \(\displaystyle\theta=-\frac{\pi}{2}\)이다.

사각형을 단면으로 자른 물의 부피는$$\begin{align*}V&=\frac{L}{r}\int_{0}^{2L}{\sqrt{r^{2}-(r-x)^{2}}dx}\\&=L\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(1-\sin\theta)r\sqrt{1-\sin^{2\theta}}(-r\cos\theta)d\theta}\\&=Lr^{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(1-\sin\theta)\cos^{2}\theta d\theta}\\&=Lr^{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{2}\theta d\theta}=2Lr^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1+\cos2\theta}{2}d\theta}\\&=\frac{1}{2}\pi r^{2}L\end{align*}$$이고 사다리꼴을 단면으로 자른 물의 부피는$$\begin{align*}V&=\int_{0}^{2r}{L\sqrt{r^{2}-(r-x)^{2}}dx}\\&=Lr^{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{2}\theta d\theta}=2Lr^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{2}\theta d\theta}\\&=\frac{1}{2}\pi r^{2}L\end{align*}$$이다.

(d) 원통 전체의 부피는 \(\pi r^{2}L\)이고, 물은 원통 전체 부피의 절반이므로 따라서 물의 부피는 \(\displaystyle\frac{1}{2}\pi r^{2}L\)이다. 

(e) 물을 삼각형, 사각형으로 자를수는 있으나 원의 일부로 자를 수는 없다. 원통 옆부분을 바라본 모습은 다음과 같다.

다음 그림은 물을 삼각형으로 자른 것을 나타낸 것이다.

원 \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)내부에 밑변을 둔 한 삼각형의 넓이는$$\frac{1}{2}y\left(\frac{L}{r}y\right)=\frac{L}{2r}y^{2}=\frac{L}{2r}(r^{2}-x^{2})$$이므로 이 방법을 이용하여 구한 물의 부피는$$\begin{align*}V&=\int_{-r}^{r}{\frac{L}{2r}(r^{2}-x^{2})dx}\\&=\frac{L}{r}\int_{0}^{r}{(r^{2}-x^{2})dx}\\&=\frac{2}{3}r^{2}L\end{align*}$$이다.

다음 그림은 물을 사각형으로 자른 것을 나타낸 것이다.

원 \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)내부에 밑변을 둔 한 사각형의 넓이는$$2y\left(\frac{L}{r}x\right)=\frac{2L}{r}x\sqrt{r^{2}-x^{2}}$$이므로 이 방법을 이용하여 구한 물의 부피는$$\begin{align*}V&=\int_{0}^{r}{\frac{2L}{r}x\sqrt{r^{2}-x^{2}}dx}\end{align*}$$이고 \(x=r\sin\theta\)라 하면 \(\displaystyle\frac{dx}{d\theta}=r\cos\theta\)이므로$$\begin{align*}V&=\frac{2L}{r}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{r\sin\theta r^{2}\cos^{2}\theta d\theta}\\&=2Lr^{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin\theta\cos^{2}\theta d\theta}\\&=\frac{2}{3}r^{2}L\end{align*}$$이다.

6. Inverse Functions

6.8 Exercise

86. 질량이 \(m\)인 물체가 정지상태에서 떨어지면, 그 물체의 \(t\)초 후 속도를 \(v\)라 할 때, 공기저항을 고려하면 다음과 같다.$$v=\frac{mg}{c}(1-e^{-\frac{ct}{m}})$$여기서 \(g\)는 중력가속도이고, \(c\)는 양의 상수이다. 

(a) \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{v}\)를 계산하여라. 이 극한이 무엇을 의미하는가?

(b) 고정된 \(t\)에 대하여 로피탈의 법칙을 이용해 \(\displaystyle\lim_{c\,\rightarrow\,0+}{v}\)를 계산하여라. 진공에서 낙하하는 속력에 대해 어떤 결론을 내릴 수 있는가?

풀이:

(a) \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{e^{-\frac{ct}{m}}}=0\)이므로 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,\infty}{v}=\frac{mg}{c}\)이고, 무한한 시간이 지나면 물체는 \(\displaystyle v=\frac{mg}{c}\)의 속력으로 등속낙하한다. 

(b) \(\displaystyle\lim_{c\,\rightarrow\,0+}{\frac{mg}{c}(1-e^{-\frac{ct}{m}})}=\lim_{c\,\rightarrow\,0+}{ge^{-\frac{ct}{m}}}=gt\)이므로 진공에서는 중력가속도 \(g\)로 낙하한다. 

 

96. \(f\)를 양의 값을 갖는 함수라고 하자. \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{f(x)}=0\)이고 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{g(x)}=\infty\)이면, 다음이 성립함을 보여라.$$\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\{f(x)\}^{g(x)}}$$풀이: 함수 \(\{f(x)\}^{g(x)}\)에 자연로그를 취하면 로피탈의 정리에 의해$$\begin{align*}\lim_{x\,\rightarrow\,a}{g(x)\ln|f(x)|}&=\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{\ln|f(x)|}{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}}=\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}}{\displaystyle-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^{2}}}}\\&=-\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f'(x)\{g(x)\}^{2}}{f(x)g'(x)}}=-\infty\end{align*}$$이다. 이것은 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\ln\{f(x)\}^{g(x)}}=-\infty\)를 뜻하므로 따라서 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\{f(x)\}^{g(x)}}=0\)이다.

 

Review

 

118. 적분값 \(\displaystyle\int_{0}^{1}{e^{x}dx}\)를 미적분학의 기본정리를 이용하지 말고 구하여라. (힌트: 정적분의 정의를 이용하고, 기하급수로 나타낸 다음 로피탈의 법칙을 적용하여라.)

풀이: \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{e^{\frac{k}{n}}\frac{1}{n}}\)라 하자. 그러면$$S_{n}=e^{\frac{1}{n}}\frac{e-1}{e^{\frac{1}{n}}-1}\frac{1}{n}=(e-1)\frac{e^{\frac{1}{n}}}{n(e^{\frac{1}{n}}-1)}$$이고 정적분의 정의에 의해$$\begin{align*}\int_{0}^{1}{e^{x}dx}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}\\&=(e-1)\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{e^{\frac{1}{n}}}{n(e^{\frac{1}{n}}-1)}}\\&=e-1\,\left(\because\,\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{n(e^{\frac{1}{n}}-1)}=1\right)\end{align*}$$이다.

119. \(\displaystyle F(x)=\int_{a}^{b}{t^{x}dt}\,(a,\,b>0)\)이면, 미적분학의 기본정리에 의해$$\begin{align*}F(x)&=\frac{b^{x+1}-a^{x+1}}{x+1}\,x\neq-1\\F(-1)&=\ln b-\ln a\end{align*}$$이다. 로피탈의 법칙을 이용하여 \(F\)가 \(-1\)에서 연속임을 보여라.

풀이: \(x=-1\)일 때 \(b^{x+1}-a^{x+1}=1-1=0\), \(x+1=0\)이므로 로피탈의 법칙에 의해$$\lim_{x\,\rightarrow\,-1}{F(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,-1}{\frac{b^{x+1}-a^{x+1}}{x+1}}=\lim_{x\,\rightarrow\,-1}{(b^{x+1}\ln b-a^{x}\ln a)}=\ln b-\ln a=F(-1)$$이므로 따라서 \(F\)는 \(-1\)에서 연속이다. 

120. 다음의 등식이 성립함을 보여라.$$\cos(\tan^{-1}(\sin(\cot^{-1}x)))=\sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}+2}}$$풀이: \(\cot^{-1}x=y\)라 하자. 그러면 \(x=\cot y\)이고 \(\cot^{2}y+1=\csc^{2}y\)이므로 다음이 성립한다.$$\csc y=\sqrt{x^{2}+1},\,\sin y=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}},\,\cos y=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$$그러면 \(\displaystyle\sin y=\sin(\cot^{-1}x)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\)이고 \(\displaystyle\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\right)=z\)라 하면 \(\displaystyle\tan z=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\)이고 \(1+\tan^{2}z=\sec^{2}z\)이므로 \(\displaystyle\sec^{2}z=1+\frac{1}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}+2}{x^{2}+1}\)이고 따라서 \(\displaystyle\cos z=\sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}+2}}\)이다. 

Problem Plus

2. \(\log_{2}5\)는 무리수임을 보여라.

풀이: \(\log_{2}5\)를 유리수라고 하자. 그러면 서로소인 정수 \(p,\,q\)에 대하여 \(\displaystyle\log_{2}5=\frac{q}{p}\)이고 \(5=2^{\frac{q}{p}}\)이므로 \(5^{p}=2^{q}\)가 되는데 \(5^{p}\)는 홀수이고 \(2^{q}\)는 짝수이므로 모순이다. 그러므로 \(\log_{2}5\)는 무리수이다. 

4. \(\displaystyle\int_{0}^{4}{e^{(x-2)^{4}}dx}=k\)일 때, \(\displaystyle\int_{0}^{4}{xe^{(x-2)^{4}}dx}\)의 값을 구하여라.

풀이: \(e^{(x-2)^{4}}\)는 \(x=2\)에 대해 대칭이고, \(xe^{(x-2)^{4}}=(x-2)e^{(x-2)^{4}}+2e^{(x-2)^{4}}\)이므로$$\int_{0}^{4}{xe^{(x-2)^{4}}dx}=\int_{0}^{4}{(x-2)e^{(x-2)^{4}}dx}+2\int_{0}^{4}{e^{(x-2)^{4}}dx}=2k$$이다.

7. \(x>0\)에 대하여 다음이 성립함을 보여라.$$\frac{x}{1+x}<\tan^{-1}x<x$$풀이: \(f(x)=\tan^{-1}x\)라 하자. 평균값 정리에 의해 \(0<c<x\)인 \(c\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$\frac{1}{1+c^{2}}=f'(c)=\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{\tan^{-1}}{x}$$\(c<x\)이므로 \(1+c^{2}<1+x^{2}\)이고 \(\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}<\frac{1}{1+c^{2}}\)이며, \(\displaystyle\frac{1}{1+c^{2}}<1\)이므로$$\frac{1}{1+x^{2}}<\frac{1}{1+c^{2}}=\tan^{-1}x<1$$이고 이 부등식의 양변에 \(x\)를 곱하면$$\frac{x}{1+x^{2}}<\tan^{-1}x<x$$이다.