[Stewart Calculus] 3. Applications of Differentiation-Problem Plus

[Stewart Calculus] 3. Applications of Differentiation-Problem Plus

1. 모든 \(x\)에 대하여 \(|\sin x-\cos x|\leq\sqrt{2}\)가 성립함을 보여라.

풀이: \(f(x)=\sin x-\cos x\)라 하자. \(f'(x)=\cos x+\sin x\)이므로 \(f'(x)=0\)인 \(x\)를 구하면$$f'(x)=\cos x+\sin x=0$$이므로 \(\sin x=-\cos x\)이고 \(\displaystyle\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-1\)이므로 \(\displaystyle x=-\frac{\pi}{4}+n\pi\)(\(n\)은 정수)에서 \(f'(x)=0\)이고, \(\displaystyle f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}\), \(\displaystyle f\left(\frac{5}{4}\pi\right)=\sqrt{2}\)이므로 \(|\sin x-\cos x|=|f(x)|\leq\sqrt{2}\)가 성립한다.

또는 삼각함수의 합성에 의해$$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$이므로$$|\sin x-\cos x|=\left|\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right|\leq\sqrt{2}$$이고 문제의 부등식이 성립한다. 

\(|x|\leq2\), \(|y|\leq2\)인 모든 \(x,\,y\)에 대해 \(x^{2}y^{2}(4-x^{2})(4-y^{2})\leq16\)이 성립함을 보여라.

풀이: \(|x|\leq2\)인 \(x\)에 대해 \(f(x)=x^{2}(4-x^{2})\)라 하자.$$f'(x)=8x-4x^{3}=4x(2-x^{2})$$이므로 \(f(x)\)는 \(x=\pm\sqrt{2}\)에서 극대이고 \(f(-\sqrt{2})=f(\sqrt{2})=2\cdot(4-2)=4\), \(x=0\)에서 극소이고 \(f(0)=0\)이다. 그러면 모든 \(|x|\leq2\)인 \(x\)에 대해 \(0\leq f(x)\leq4\)이고, 따라서 \(|x|\leq2\), \(|y|\leq2\)인 모든 \(x,\,y\)에 대해 다음이 성립한다.$$x^{2}y^{2}(4-x^{2})(4-y^{2})=f(x)f(y)\leq4\cdot4=16$$4. 1사분면 위의 포물선 \(y=1-x^{2}\)위의 한 점에서의 접선이 \(x\)축, \(y\)축과 이루는 삼각형의 넓이가 최소가 되는 점을 구하여라.

풀이: 1사분면 위에서 포물선 \(y=1-x^{2}\)위의 한 점을 \((t,\,1-t^{2})\)라 하자. 이 점에서 \(f'(t)=-2t\)이므로 이 점에서의 접선의 방정식은$$y=-2t(x-t)+(1-t^{2})=-2tx+1+t^{2}$$이고, 이 접선의 \(x\)절편은 \(\displaystyle\left(\frac{1+t^{2}}{2t},\,0\right)\), \(y\)절편은 \((0,\,1+t^{2})\)이다.

접선과 \(x\)축, \(y\)축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 \(f(t)\)라고 하면 다음과 같다.$$f(t)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1+t^{2}}{2}\cdot(1+t^{2})=\frac{t^{4}+2t^{2}+1}{4t}=\frac{1}{4}t^{3}+\frac{1}{2}t+\frac{1}{4t}$$이고$$\begin{align*}f'(t)&=\frac{3}{4}t^{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4t^{2}}=\frac{3t^{4}+2t^{2}-1}{4t^{2}}\\&=\frac{(3t^{2}-1)(t^{2}+1)}{4t^{2}}\end{align*}$$이므로 \(\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{3}}\)에서 \(f(t)\)는 최소이고 따라서 점 \(\displaystyle\left(\frac{\sqrt{3}}{3},\,\frac{2}{3}\right)\)에서 삼각형의 넓이가 최소이다.

5. 곡선 \(x^{2}+xy+y^{2}=12\)의 최고점과 최저점을 구하여라. 

풀이: 음함수 미분법을 이용해 곡선을 미분하면 $$2x+y+x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0$$이고 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}\)이다. \(y=-2x\)일 때 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=0\)이므로 \(y=-2x\)를 곡선의 방정식에 대입하면$$x^{2}+x(-2x)+(-2x)^{2}=3x^{2}=12$$이고 \(x=\pm2\)이다. \(x=2\)일 때 \(y=-4\)이고, \(x=-2\)일 때 \(y=4\)이므로 따라서 최저점은 \((2,\,-4)\), 최고점은 \((-2,\,4)\)이다. 

6. 물이 구형 탱크로 일정한 비율로 채워지고 있다. \(V(t)\)와 \(H(t)\)를 각각 시간 \(t\)에서 물의 부피와 높이라고 하자. 

(1) \(V'(t)\)와 \(H'(t)\)의 의미는 무엇인가? 이 도함수는 양수인가? 음수인가? 아니면 0인가?

(2) \(V''(t)\)는 양수인가? 음수인가? 아니면 0인가? 설명하여라.

(3) \(t_{1},\,t_{2},\,t_{3}\)을 각각 탱크의 1/4, 1/2, 3/4가 채워졌을 때의 시간이라고 하자. \(H''(t_{1}),\,H''(t_{2}),\,H''(t_{3})\)각각은 양수인가? 음수인가? 아니면 0인가? 

풀이: 구형 탱크가 다음과 같다고 하자.

그러면 \(\displaystyle V(t)=\pi\int_{0}^{H(t)}{(R^{2}-(R-y)^{2})dy}\)이다.

(1) \(V'(t)\)는 시간에 따른 부피의 변화량, \(H'(t)\)는 시간에 따른 높이의 변화량이다. 문제에서 물이 일정한 비율로 채워지므로 \(V'(t)\)는 양의 상수이다.$$V'(t)=\pi H'(t)(R^{2}-\{R-H(t)\}^{2})$$이므로 \(\displaystyle H'(t)=\frac{V'(t)}{\pi\{R^{2}-(R-H(t))^{2}\}}\)이고 따라서 \(H'(t)>0\)이다. 

(2) 문제 (1)에서 \(V'(t)\)는 상수이므로 \(V''(t)=0\)이다. 

(3) \(\displaystyle H'(t)=\frac{V'(t)}{\pi\{R^{2}-(R-H(t))^{2}\}}\)이고, \(0<H(t_{1})<R\), \(H(t_{2})=R\), \(R<H(t_{3})<2R\)이다. \(t=t_{1}\)일 때 \(H'(t)\)는 증가하고, \(t=t_{2}\)일 때 \(H'(t)\)는 극대, \(t=t_{3}\)일 때 \(H'(t)\)는 감소하므로 따라서 \(H''(t_{1})>0\), \(H''(t_{2})=0\), \(H''(t_{3})<0\)이다. 

7. 다음의 함수의 최댓값을 구하여라.$$f(x)=\frac{1}{1+|x|}+\frac{1}{1+|x-2|}$$풀이: 

\(x<0\)일 때 \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{3-x}\)이므로 \(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}+\frac{1}{(3-x)^{2}}=\frac{2x^{2}-8x+10}{(1-x)^{2}(3-x)^{2}}>0\) 

\(0<x<2\)일 때 \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{3-x}\)이므로 \(\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(3-x)^{2}}=\frac{8x-8}{(1+x)^{2}(3-x)^{2}}\) 

\(x>2\)일 때 \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{x-1}\)이므로 \(\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{(1+x)^{2}}-\frac{1}{(x-1)^{2}}=-\frac{2x^{2}+2}{(1+x)^{2}(x-1)^{2}}<0\) 

함수 \(f\)는 \(x=0\)과 \(x=2\)에서 미분가능하지 않고 \(x=1\)에서 극소이다.$$f(0)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3},\,f(1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1,\,f(2)=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$$이므로 따라서 \(f\)의 최댓값은 \(\displaystyle\frac{3}{4}\)이다. 

8. \(\displaystyle f'(-1)=\frac{1}{2}\), \(f'(0)=0\)이고 모든 \(x\)에 대해 \(f''(x)>0\)인 함수가 존재함을 보이거나, 존재하지 않음을 증명하여라.

풀이: 이러한 함수가 존재한다고 하자. 그러면 평균값 정리에 의해 \(c\,(-1<c<0)\)가 존재해서$$f''(c)=\frac{f(0)-f(-1)}{0-(-1)}=-\frac{1}{2}<0$$이고 이것은 모든 \(x\)에 대해 \(f''(x)>0\)이라는 사실에 모순이다. 그러므로 이러한 함수는 존재할 수 없다. 

9. 직선 \(y=mx+b\)와 포물선 \(y=x^{2}\)의 교점을 \(A,\,B\)라 하자.

삼각형 \(PAB\)의 넓이가 최대가 되게 하는 호 \(AOB\)상의 점 \(P\)를 구하여라.  

풀이: \(A(x_{1},\,x_{1}^{2})\), \(B(x_{2},\,x_{2}^{2})\,(x_{1}<x_{2})\), \(P(t,\,t^{2})\)이라 하자. \(x_{1},\,x_{2}\)는 2차방정식 \(x^{2}-mx-b=0\)의 해이므로 근과 계수의 관계에 의해$$x_{1}+x_{2}=m,\,x_{1}x_{2}=-b,\,x_{2}-x_{1}=\sqrt{m^{2}+4b}$$이다.$$\begin{align*}|AB|&=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(x_{2}^{2}-x_{1}^{2})^{2}}\\&=(x_{2}-x_{1})\sqrt{1+(x_{1}+x_{2})^{2}}\\&=\sqrt{(m^{2}+4b)(m^{2}+1)}\end{align*}$$이고, 점 \(P\)에서 직선 \(AB\)까지의 거리를 \(h\)라고 하면$$h=\frac{|mt-t^{2}+b|}{\sqrt{m^{2}+1}}=\frac{mt+b-t^{2}}{\sqrt{m^{2}+1}}\,(\because mt+b>t^{2})$$이므로 삼각형 \(PAB\)의 넓이를 \(S(t)\)라고 하면$$S(t)=\frac{1}{2}\sqrt{m^{2}+4b}(b+mt-t^{2})$$이고 \(\displaystyle S'(t)=\frac{1}{2}\sqrt{m^{2}+4b}(m-2t)\)이므로 \(\displaystyle t=\frac{m}{2}\)일 때 \(S(t)\)는 최대이고 따라서 \(\displaystyle P\left(\frac{m}{2},\,\frac{m^{2}}{4}\right)\)이다. 

13. \(ABC\)를 \(\angle BAC=120^{\circ}\)이고 \(|AB|\cdot|AC|=1\)인 삼각형이라고 하자.

(1) 각의 이등분선 \(AD\)를 \(x=|AB|\)를 이용하여 나타내어라.

(2) \(|AD|\)의 최댓값을 구하여라.

풀이:

(1) 삼각형 \(ABC\)의 넓이는 \(\displaystyle\frac{1}{2}|AB|\cdot|AC|\sin(\angle BAC)=\frac{\sqrt{3}}{4}\)이고, \(|AD|=y\)라고 하면 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\frac{\sqrt{3}}{4}&=\frac{1}{2}|AB|\cdot|AD|\sin60^{\circ}+\frac{1}{2}|AC|\cdot|AD|\sin60^{\circ}\\&=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(x+\frac{1}{x}\right)y\end{align*}$$이고 \(\displaystyle1=\left(x+\frac{1}{x}\right)y\)이므로 \(\displaystyle y=\frac{x}{x^{2}+1}\)이다.

(2) (1)에서 구한 \(y\)를 \(x\)에 대해 미분하면$$y'=\frac{(x^{2}+1)-x\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}$$이고 \(x=1\)일 때 최대이며 \(\displaystyle y=\frac{1}{2}\)이다. 

16. \(ABCD\)는 변의 길이가 1m인 정사각형이고, 중심이 \(A\)이고, \(B\)에서 \(D\)로 잇는 사분원이 있다. \(AB\)위의 점 \(E\)와 \(AD\)위의 점 \(F\)에 대해 정사각형을 \(EF\)를 따라 접어서 점 \(A\)가 사분원 위에 있게 하자. 삼각형 \(AEF\)의 최댓값과 최솟값을 구하여라. 

풀이: \(|AE|=a\), \(|AF|=b\)라고 하면, 이 문제의 상황을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

피타고라스 정리에 의해 다음의 방정식을 얻고$$\begin{align*}(a-x)^{2}+y^{2}&=a^{2}\\x^{2}+(y-b)^{2}=b^{2}\end{align*}$$\(x^{2}+y^{2}=1\)이므로 \(-2ax+1=0\), \(-2by+1=0\)이고$$a=\frac{1}{2x},\,b=\frac{1}{2y}=\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}$$이다. \(a=1\)일 때 \(\displaystyle b=\frac{1}{2}\)이고, \(b=1\)일 때 \(\displaystyle a=\frac{1}{2\sqrt{1-x^{2}}}\)이므로 \(\displaystyle\sqrt{1-x^{2}}=\frac{1}{2}\)이고 \(\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)이다. 그러면 \(x\)의 범위는 \(\displaystyle\frac{1}{2}\leq x\leq\frac{\sqrt{3}}{2}\)이고, 삼각형 \(AEF\)의 넓이를 \(S(x)\)라고 하면$$S(x)=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{8x\sqrt{1-x^{2}}}$$이다.$$\frac{dS}{dx}=-\frac{\displaystyle 8\sqrt{1-x^{2}}+\frac{8x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}}{64x^{2}(1-x^{2})}=\frac{16x^{2}-8}{64x^{2}(1-x^{2})\sqrt{1-x^{2}}}$$이므로 \(\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)일 때 극소이고 \(\displaystyle S\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{1}{4}\), \(\displaystyle x=\frac{1}{2}\)에서 \(\displaystyle S\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{6}\), \(\displaystyle S\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{6}\)이다. 그러면 삼각형 \(AEF\)넓이의 최댓값은 \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{6}\)이고, 최솟값은 \(\displaystyle\frac{1}{4}\)이다. 

17. 암석의 상층부에서 음속이 \(c_{1}\), 하층부에서 음속이 \(c_{2}\)이고, \(c_{1}<c_{2}\)일 때, 지진탐광(seismic exploration: 인공적인 지진을 발생시켜 지진파의 전파상황을 조사해 지하의 상태와 지질구조를 파악하는 방법)으로 두께를 측정할 수 있다. 점 \(P\)에서 다이너마이트를 발파시키고 송신시킨 신호는 점 \(Q\)에서 수신되고, \(P\)로부터의 거리는 \(D\)이다.  

\(Q\)에 도달하는 첫 번째 신호는 표면 위(상층부)를 따라 송신되고 도달하는데 \(T_{1}\)초 걸렸다. 그 다음 신호는 \(P\)에서 출발해 하층부에 있는 점 \(R\)과 \(S\)를 거쳐 \(Q\)로 이동하고 도달하는데 \(T_{2}\)초 걸렸다. 세 번째 신호는 하층부의 선분 \(RS\)의 중점 \(O\)를 거쳐 \(Q\)로 이동하고 도달하는데 \(T_{3}\)초 걸렸다. *상층부는 두께가 \(h\)인 부분이고, 하층부는 상층부 아래이다.

(1) \(T_{1},\,T_{2},\,T_{3}\)을 \(D,\,h,\,c_{1},\,c_{2},\,\theta\)를 이용하여 나타내어라.

(2) \(\displaystyle\sin\theta=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)일 때 \(T_{2}\)가 최소임을 보여라.

풀이: 

(1) 첫 번째 신호는 표면 위(상층부)를 따라 \(Q\)로 이동하므로 \(\displaystyle T_{1}=\frac{D}{c_{1}}\)이다. 두 번째 신호는 \(P\rightarrow R\rightarrow S\rightarrow Q\)로 이동하고, \(|PR|=|SQ|=h\sec\theta\), \(|RS|=D-2h\tan\theta\), \(PR,\,SQ\)는 상층부, \(RS\)는 하층부에 있으므로$$T_{2}=\frac{2h\sec\theta}{c_{1}}+\frac{D-2h\tan\theta}{c_{2}}$$이다. 세 번째 신호는 \(P\,\rightarrow\,O\,\rightarrow\,Q\)로 이동하고 \(\displaystyle|PO|=|OQ|=\sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^{2}+h^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+4h^{2}}\)이므로 \(\displaystyle T_{3}=\frac{\sqrt{4h^{2}+D^{2}}}{c_{1}}\)이다.

(2) (1)에 의해 \(\displaystyle T_{2}=\frac{2h\sec\theta}{c_{1}}+\frac{D-2h\tan\theta}{c_{2}}\)이므로$$\frac{dT_{2}}{d\theta}=\frac{2h}{c_{1}}\sec\theta\tan\theta-\frac{2h}{c_{2}}\sec^{2}\theta$$이고 \(\displaystyle\frac{dT_{2}}{d\theta}=0\)일 때 \(\displaystyle\frac{\tan\theta}{c_{1}}=\frac{\sec\theta}{c_{2}}\)이므로 \(\displaystyle\sin\theta=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)이고, 이때 \(T_{2}\)는 최소이다. 

19. 마르퀴스 드 로피탈(Marquis de l'Hospital)의 미적분학 교과서 Analyse des Infiniment Petits에 수록된 문제 중 하나는 도르래가 한 방의 천장의 \(C\)지점에 길이가 \(r\)인 줄에 의해 달려있고, \(C\)에서 \(d\,(d>r)\)만큼 떨어진 천장 위 \(B\)지점에 길이가 \(\ell\)인 줄이 천장에 붙어있고, 점 \(F\)에서 도르래를 거쳐 무게(중력)가 \(W\)인 물체에 연결되어있다. 이 물체는 평형위치 \(D\)에 있고, 로피탈은 \(|ED|\)가 최대일 때 평형위치 \(D\)에 있음을 주장했다.

이 계가 평형에 도달하면, \(x\)가 다음과 같음을 보여라.$$\frac{r}{4d}(r+\sqrt{r^{2}+8d^{2}})$$이 표현은 \(W\)와 \(\ell\)과 독립적임에 유의한다. 

풀이: \(|EF|=\sqrt{r^{2}-x^{2}}\), \(|BF|=\sqrt{(d-x)^{2}+(r^{2}-x^{2})}=\sqrt{d^{2}+r^{2}-2dx}\)라 하면 \(|FD|=\ell-|BF|\)이므로$$|ED|=|EF|+|FD|=\sqrt{r^{2}-x^{2}}+\sqrt{d^{2}+r^{2}-2dx}$$이고 \(|ED|=f(x)\)라 하자.$$f'(x)=\frac{-x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}-\frac{-d}{\sqrt{d^{2}+r^{2}-2dx}}$$이고 \(f'(x)=0\)인 \(x\)를 구하면$$x^{2}(d^{2}+r^{2}-2dx)-d(r^{2}-x^{2})=0$$이므로 \(x\)에 대한 3차방정식$$2dx^{3}-(2d^{2}+r^{2})x^{2}+d^{2}r^{2}=0$$이고$$2dx^{2}(x-d)-r^{2}(x^{2}-d^{2})=(x-d)(2dx^{2}-r^{2}(r+d))=0$$이며 \(d>x\)이므로 다음의 2차방정식의 해 \(x\)를 구하면 된다.$$2dx^{2}-r^{2}x-r^{2}d$$근의 공식에 의해$$x=\frac{r^{2}\pm\sqrt{r^{4}+8d^{2}r^{2}}}{4d}$$이고 \(x>0\)이어야 하므로 따라서 \(\displaystyle x=\frac{r}{4d}(r+\sqrt{r^{2}+8d})\)이다.