[Stewart Calculus] 2. Derivatives-Problem Plus

[Stewart Calculus] 2. Derivatives-Problem Plus

8. 함수 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{n}}{1-x}$의 $n$계도함수를 구하여라.

풀이: $f(x)$를 다음과 같이 나타낼 수 있고 $$\begin{align*}f(x)&=\frac{x^{n}}{1-x}=\frac{1+x^{n}-1}{1-x}\\&=\frac{1}{1-x}-(1+x+x^{2}+\cdots+x^{n})\end{align*}$$ $\displaystyle\frac{d^{n}}{dx^{n}}(1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1})=0$이며, $\displaystyle\frac{1}{1-x}$의 $n$계도함수는 다음과 같으므로 $$\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{(-1)^{n-1}n!}{(1-x)^{n+1}}$$ 따라서 $f(x)$의 $n$계도함수는 다음과 같다. $$f^{(n)}(x)=\frac{n!(-1)^{n-1}}{(1-x)^{n+1}}$$ 9. 다음 그림은 포물선 $y=x^{2}$에 내접하고 반지름이 1인 원을 나타낸 것이다. 원의 중심을 구하여라.

풀이: 제 1사분면에서 원과 포물선의 교점을 $(t,\,t^{2})\,(t>0)$, 원의 중심을 $(0,\,c)\,(c>0)$이라 하자. 이 점에서 접선과 법선의 방정식은 각각 $$y=2t(x-t)+t^{2},\,y=-\frac{1}{2t}(x-t)+t^{2}$$ 이므로 식을 정리하면 다음과 같다. $$y=2tx-t^{2},\,y=-\frac{1}{2t}x+t^{2}+\frac{1}{2}$$

접점의 법선(그 점을 지나고 접선과 수직인 직선)의 방정식의 $y$절편이 $\displaystyle t^{2}+\frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle c=t^{2}+\frac{1}{2}$이고, 접점과 접선의 $y$절편 사이의 거리는 $$\sqrt{t^{2}+(t^{2}-(-t^{2}))^{2}}=t\sqrt{1+4t^{2}}$$ 이므로 피타고라스 정리에 의해 $$\left\{\left(t^{2}+\frac{1}{2}\right)-(-t^{2})\right\}^{2}=(t\sqrt{1+4t^{2}})^{2}+1^{2}$$ 이다. 식을 풀면 $$4t^{4}+2t^{2}+\frac{1}{4}=4t^{4}+t^{2}+1$$ 이고 $\displaystyle t^{2}=\frac{3}{4}$이며 $t>0$이므로 $\displaystyle t=\frac{\sqrt{3}}{2}$이다. 따라서 $\displaystyle c=t^{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$이고 원의 중심은 $\displaystyle\left(0,\,\frac{5}{4}\right)$이다. 

10. $f$가 $a\,(a>0)$에서 미분가능하다고 하자. 다음의 극한을 $f'(a)$를 이용하여 나타내어라. $$\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f(x)-f(a)}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}}$$

풀이: $f$가 $x=a$에서 미분가능하므로 미분계수의 정의에 의해 $$f'(a)=\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$$ 이다. $$\frac{f(x)-f(a)}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}=\frac{f(x)-f(a)}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(\sqrt{x}+\sqrt{a})$$ 이므로 $$\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f(x)-f(a)}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}}=\left(\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}\right)\left(\lim_{x\,\rightarrow\,a}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})}\right)=2\sqrt{a}f'(a)$$ 이다.

11. 다음의 그림은 반지름이 0.4m인 바퀴의 끝 부분에 길이가 1.2m인 막대가 연결되어있는것을 나타낸 것이다.

핀 $P$는 막대의 다른 끝부분으로 $x$축 위에서 움직이고, 바퀴는 분당 360바퀴 돈다.

(1) $\displaystyle\theta=\frac{\pi}{3}$일 때, 막대와 $x$축 사이의 각 $\alpha$의 시간에 대한 변화율을 구하여라.

(2) $x=|OP|$를 $\theta$를 이용하여 나타내어라

(3) 핀 $P$의 속도를 $\theta$를 이용하여 나타내어라

풀이: 

(1) 사인법칙에 의해 $\displaystyle\frac{0.4}{\sin\alpha}=\frac{1.2}{\sin\theta}$이므로 $\displaystyle\sin\alpha=\frac{1}{3}\sin\theta$이고, 바퀴가 분당 360바퀴 회전하므로 초당 6바퀴 회전하고, $\displaystyle\frac{d\theta}{dt}=6\cdot2\pi=12\pi\text{rad/s}$이고 $\theta=12\pi t$이다. 그러면 $$\sin\alpha=\frac{1}{3}\sin12\pi t$$ 이고, 이 식의 양변을 $t$에 대해 미분하면 $$\cos\alpha\frac{d\alpha}{dt}=4\pi\cos12\pi t$$ 이며 $\displaystyle\theta=\frac{\pi}{3}$일 때 $\displaystyle t=\frac{1}{36}$이고 $$\sin\alpha=\frac{1}{3}\sin\theta=\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{6},\,\cos\alpha=\frac{\sqrt{33}}{6}$$ 이므로 $$\frac{\sqrt{33}}{6}\frac{d\alpha}{dt}|_{\theta=\frac{\pi}{3}}=4\pi\cdot\frac{1}{2}$$ 이고 따라서 $\displaystyle\frac{d\alpha}{dt}|_{\theta=\frac{\pi}{3}}=\frac{12\pi}{\sqrt{33}}\text{rad/s}$이다. 

(2) 코사인 법칙에 의해 $$1.2^{2}=0.4^{2}+x^{2}-2\cdot0.4\cdot x\cos\theta$$ 이고 이 식으로부터 $x$에 대한 2차방정식 $x^{2}-0.8\cos\theta x-1.28=0$을 얻는다. 근의 공식으로부터 $$x=\frac{0.8\cos\theta\pm\sqrt{0.64\cos^{2}\theta+5.12}}{2}=\frac{0.8\cos\theta\pm\sqrt{\cos^{2}\theta+8}}{2}$$ 이고 $x>0$이어야 하므로 $$x=0.4(\cos\theta+\sqrt{\cos^{2}\theta+8})\text{m}$$ 이다.

(3) (2)의 결과로 얻은 $x$를 $\theta$에 대해 미분하면 $\displaystyle\frac{d\theta}{dt}=12\pi\text{rad/s}$이므로 $$\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=-4.8\pi\left(\sin\theta+\frac{\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{\cos^{2}\theta+8}}\right)$$ 이다.

12. 포물선 $y=x^{2}$위의 두 점 $P_{1},\,P_{2}$에서의 접선을 각각 $T_{1},\,T_{2}$라 하고, 이 두 접선의 교점을 $P$라 하자. 점 $P_{1}$과 $P_{2}$사이의 한 점에서의 접선을 $T$라고 하자. 이 접선은 점 $Q_{1}$에서 $T_{1}$과 만나고, 점 $Q_{2}$에서 $T_{2}$에서 만난다. 다음이 성립함을 보여라. $$\frac{|PQ_{1}|}{|PP_{1}|}+\frac{|PQ_{2}|}{|PP_{2}|}=1$$ 풀이: $P_{1}(x_{1},\,x_{1}^{2})$, $P_{2}(x_{2},\,x_{2}^{2})$라 하자.

그러면 $y'=2x$이므로 점 $P_{1},\,P_{2}$에서의 접선의 방정식은 각각 $$y=2x_{1}x-x_{1}^{2},\,y=2x_{2}x-x_{2}^{2}$$ 이고, 이 두 접선의 교점의 $x$좌표를 구하면 $$2x_{1}x-x_{1}^{2}=2x_{2}x-x_{2}^{2}$$ 이므로 $2(x_{1}-x_{2})x=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}$이고 따라서 $x$좌표는 $\displaystyle x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$이고, 그 $y$좌표는 $x_{1}x_{2}$이다. 즉 $\displaystyle P\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\,x_{1}y_{1}\right)$ 같은 방법으로 점 $Q_{1}$과 $Q_{2}$의 좌표는 각각 다음과 같다. $$Q_{1}\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2},\,x_{1}x_{3}\right),\,Q_{2}=\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2},\,x_{2}x_{3}\right)$$

$\displaystyle PP_{1}:PQ_{1}=\frac{x_{2}-x_{1}}{2}:\frac{x_{2}-x_{3}}{2}$이므로 $\displaystyle\frac{PQ_{1}}{PP_{1}}=\frac{x_{2}-x_{3}}{x_{2}-x_{1}}$이고,

$\displaystyle PP_{2}:PQ_{2}=\frac{x_{2}-x_{1}}{2}:\frac{x_{3}-x_{1}}{2}$이므로 $\displaystyle\frac{PQ_{2}}{PP_{2}}=\frac{x_{3}-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}$이다. 그러므로 $$\frac{PQ_{1}}{PP_{1}}+\frac{PQ_{2}}{PP_{2}}=\frac{x_{2}-x_{3}}{x_{2}-x_{1}}+\frac{x_{3}-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=1$$ 이다. 

14. $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin(3+x)^{2}-\sin9}{x}}$를 계산하여라.

풀이: $f(x)=\sin(3+x)^{2}$라고 하면 $f(0)=\sin 9$이므로 미분계수의 정의에 의해 $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin(3+x)^{2}-\sin9}{x}}=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x)-f(0)}{x}}=f'(0)$$ 이고 $$f'(x)=2(3+x)\cos(3+x)^{2}$$ 이므로 따라서 $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin(3+x)^{2}-\sin9}{x}}=6\cos9$$ 이다.

18. $f$와 $g$가 미분가능한 함수이고 $f(0)=g(0)=0$, $g'(0)\neq0$이면, 다음이 성립함을 보여라. $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{f'(0)}{g'(0)}$$ 풀이: $f,\,g$는 $x=0$에서 미분가능하고 $f(0)=g(0)=0$이므로 다음이 성립한다. $$f'(0)=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x)}{x}},\,g'(0)=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{g(x)}{x}}$$ 그러면 $$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\displaystyle\frac{f(x)}{x}}{\displaystyle\frac{g(x)}{x}}}=\frac{\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x)}{x}}}{\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{g(x)}{x}}}=\frac{f'(0)}{g'(0)}$$ 이다.  

19. $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin(a+2x)-2\sin(a+x)+\sin a}{x^{2}}}$를 계산하여라. 

풀이: $\sin(a+2x)+\sin a=2\sin(a+x)\cos x$이므로 $$\sin(a+2x)-2\sin(a+x)+\sin a=-2\sin(a+x)(1-\cos x)$$ 이고 $$\begin{align*}\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin(a+2x)-2\sin(a+x)+\sin a}{x^{2}}}&=-\lim_{x\,\rightarrow\,0}{2\sin(a+x)\frac{1-\cos x}{x^{2}}}\\&=-\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{2\sin(a+x)}{1+\cos x}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}}\\&=-\sin a\end{align*}$$ 이다.