[Stewart Calculus] 2. Derivatives-Problem Plus

[Stewart Calculus] 2. Derivatives-Problem Plus

8. 함수 \(\displaystyle f(x)=\frac{x^{n}}{1-x}\)의 \(n\)계도함수를 구하여라.

풀이: \(f(x)\)를 다음과 같이 나타낼 수 있고$$\begin{align*}f(x)&=\frac{x^{n}}{1-x}=\frac{1+x^{n}-1}{1-x}\\&=\frac{1}{1-x}-(1+x+x^{2}+\cdots+x^{n})\end{align*}$$\(\displaystyle\frac{d^{n}}{dx^{n}}(1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1})=0\)이며, \(\displaystyle\frac{1}{1-x}\)의 \(n\)계도함수는 다음과 같으므로$$\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(\frac{1}{1-x}\right)=\frac{(-1)^{n-1}n!}{(1-x)^{n+1}}$$따라서 \(f(x)\)의 \(n\)계도함수는 다음과 같다.$$f^{(n)}(x)=\frac{n!(-1)^{n-1}}{(1-x)^{n+1}}$$9. 다음 그림은 포물선 \(y=x^{2}\)에 내접하고 반지름이 1인 원을 나타낸 것이다. 원의 중심을 구하여라.

풀이: 제 1사분면에서 원과 포물선의 교점을 \((t,\,t^{2})\,(t>0)\), 원의 중심을 \((0,\,c)\,(c>0)\)이라 하자. 이 점에서 접선과 법선의 방정식은 각각$$y=2t(x-t)+t^{2},\,y=-\frac{1}{2t}(x-t)+t^{2}$$이므로 식을 정리하면 다음과 같다.$$y=2tx-t^{2},\,y=-\frac{1}{2t}x+t^{2}+\frac{1}{2}$$

접점의 법선(그 점을 지나고 접선과 수직인 직선)의 방정식의 \(y\)절편이 \(\displaystyle t^{2}+\frac{1}{2}\)이므로 \(\displaystyle c=t^{2}+\frac{1}{2}\)이고, 접점과 접선의 \(y\)절편 사이의 거리는$$\sqrt{t^{2}+(t^{2}-(-t^{2}))^{2}}=t\sqrt{1+4t^{2}}$$이므로 피타고라스 정리에 의해 $$\left\{\left(t^{2}+\frac{1}{2}\right)-(-t^{2})\right\}^{2}=(t\sqrt{1+4t^{2}})^{2}+1^{2}$$이다. 식을 풀면$$4t^{4}+2t^{2}+\frac{1}{4}=4t^{4}+t^{2}+1$$이고 \(\displaystyle t^{2}=\frac{3}{4}\)이며 \(t>0\)이므로 \(\displaystyle t=\frac{\sqrt{3}}{2}\)이다. 따라서 \(\displaystyle c=t^{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}\)이고 원의 중심은 \(\displaystyle\left(0,\,\frac{5}{4}\right)\)이다. 

10. \(f\)가 \(a\,(a>0)\)에서 미분가능하다고 하자. 다음의 극한을 \(f'(a)\)를 이용하여 나타내어라.$$\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f(x)-f(a)}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}}$$

풀이: \(f\)가 \(x=a\)에서 미분가능하므로 미분계수의 정의에 의해$$f'(a)=\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}$$이다.$$\frac{f(x)-f(a)}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}=\frac{f(x)-f(a)}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}\frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(\sqrt{x}+\sqrt{a})$$이므로$$\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f(x)-f(a)}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}}=\left(\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}\right)\left(\lim_{x\,\rightarrow\,a}{(\sqrt{x}+\sqrt{a})}\right)=2\sqrt{a}f'(a)$$이다.

11. 다음의 그림은 반지름이 0.4m인 바퀴의 끝 부분에 길이가 1.2m인 막대가 연결되어있는것을 나타낸 것이다.

핀 \(P\)는 막대의 다른 끝부분으로 \(x\)축 위에서 움직이고, 바퀴는 분당 360바퀴 돈다.

(1) \(\displaystyle\theta=\frac{\pi}{3}\)일 때, 막대와 \(x\)축 사이의 각 \(\alpha\)의 시간에 대한 변화율을 구하여라.

(2) \(x=|OP|\)를 \(\theta\)를 이용하여 나타내어라

(3) 핀 \(P\)의 속도를 \(\theta\)를 이용하여 나타내어라

풀이: 

(1) 사인법칙에 의해 \(\displaystyle\frac{0.4}{\sin\alpha}=\frac{1.2}{\sin\theta}\)이므로 \(\displaystyle\sin\alpha=\frac{1}{3}\sin\theta\)이고, 바퀴가 분당 360바퀴 회전하므로 초당 6바퀴 회전하고, \(\displaystyle\frac{d\theta}{dt}=6\cdot2\pi=12\pi\text{rad/s}\)이고 \(\theta=12\pi t\)이다. 그러면$$\sin\alpha=\frac{1}{3}\sin12\pi t$$이고, 이 식의 양변을 \(t\)에 대해 미분하면$$\cos\alpha\frac{d\alpha}{dt}=4\pi\cos12\pi t$$이며 \(\displaystyle\theta=\frac{\pi}{3}\)일 때 \(\displaystyle t=\frac{1}{36}\)이고$$\sin\alpha=\frac{1}{3}\sin\theta=\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{6},\,\cos\alpha=\frac{\sqrt{33}}{6}$$이므로$$\frac{\sqrt{33}}{6}\frac{d\alpha}{dt}|_{\theta=\frac{\pi}{3}}=4\pi\cdot\frac{1}{2}$$이고 따라서 \(\displaystyle\frac{d\alpha}{dt}|_{\theta=\frac{\pi}{3}}=\frac{12\pi}{\sqrt{33}}\text{rad/s}\)이다. 

(2) 코사인 법칙에 의해$$1.2^{2}=0.4^{2}+x^{2}-2\cdot0.4\cdot x\cos\theta$$이고 이 식으로부터 \(x\)에 대한 2차방정식 \(x^{2}-0.8\cos\theta x-1.28=0\)을 얻는다. 근의 공식으로부터$$x=\frac{0.8\cos\theta\pm\sqrt{0.64\cos^{2}\theta+5.12}}{2}=\frac{0.8\cos\theta\pm\sqrt{\cos^{2}\theta+8}}{2}$$이고 \(x>0\)이어야 하므로$$x=0.4(\cos\theta+\sqrt{\cos^{2}\theta+8})\text{m}$$이다.

(3) (2)의 결과로 얻은 \(x\)를 \(\theta\)에 대해 미분하면 \(\displaystyle\frac{d\theta}{dt}=12\pi\text{rad/s}\)이므로$$\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=-4.8\pi\left(\sin\theta+\frac{\sin\theta\cos\theta}{\sqrt{\cos^{2}\theta+8}}\right)$$이다.

12. 포물선 \(y=x^{2}\)위의 두 점 \(P_{1},\,P_{2}\)에서의 접선을 각각 \(T_{1},\,T_{2}\)라 하고, 이 두 접선의 교점을 \(P\)라 하자. 점 \(P_{1}\)과 \(P_{2}\)사이의 한 점에서의 접선을 \(T\)라고 하자. 이 접선은 점 \(Q_{1}\)에서 \(T_{1}\)과 만나고, 점 \(Q_{2}\)에서 \(T_{2}\)에서 만난다. 다음이 성립함을 보여라.$$\frac{|PQ_{1}|}{|PP_{1}|}+\frac{|PQ_{2}|}{|PP_{2}|}=1$$풀이: \(P_{1}(x_{1},\,x_{1}^{2})\), \(P_{2}(x_{2},\,x_{2}^{2})\)라 하자.

그러면 \(y'=2x\)이므로 점 \(P_{1},\,P_{2}\)에서의 접선의 방정식은 각각$$y=2x_{1}x-x_{1}^{2},\,y=2x_{2}x-x_{2}^{2}$$이고, 이 두 접선의 교점의 \(x\)좌표를 구하면$$2x_{1}x-x_{1}^{2}=2x_{2}x-x_{2}^{2}$$이므로 \(2(x_{1}-x_{2})x=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\)이고 따라서 \(x\)좌표는 \(\displaystyle x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\)이고, 그 \(y\)좌표는 \(x_{1}x_{2}\)이다. 즉 \(\displaystyle P\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\,x_{1}y_{1}\right)\) 같은 방법으로 점 \(Q_{1}\)과 \(Q_{2}\)의 좌표는 각각 다음과 같다.$$Q_{1}\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2},\,x_{1}x_{3}\right),\,Q_{2}=\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2},\,x_{2}x_{3}\right)$$

\(\displaystyle PP_{1}:PQ_{1}=\frac{x_{2}-x_{1}}{2}:\frac{x_{2}-x_{3}}{2}\)이므로 \(\displaystyle\frac{PQ_{1}}{PP_{1}}=\frac{x_{2}-x_{3}}{x_{2}-x_{1}}\)이고,

\(\displaystyle PP_{2}:PQ_{2}=\frac{x_{2}-x_{1}}{2}:\frac{x_{3}-x_{1}}{2}\)이므로 \(\displaystyle\frac{PQ_{2}}{PP_{2}}=\frac{x_{3}-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)이다. 그러므로$$\frac{PQ_{1}}{PP_{1}}+\frac{PQ_{2}}{PP_{2}}=\frac{x_{2}-x_{3}}{x_{2}-x_{1}}+\frac{x_{3}-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=1$$이다. 

14. \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin(3+x)^{2}-\sin9}{x}}\)를 계산하여라.

풀이: \(f(x)=\sin(3+x)^{2}\)라고 하면 \(f(0)=\sin 9\)이므로 미분계수의 정의에 의해$$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin(3+x)^{2}-\sin9}{x}}=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x)-f(0)}{x}}=f'(0)$$이고$$f'(x)=2(3+x)\cos(3+x)^{2}$$이므로 따라서$$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin(3+x)^{2}-\sin9}{x}}=6\cos9$$이다.

18. \(f\)와 \(g\)가 미분가능한 함수이고 \(f(0)=g(0)=0\), \(g'(0)\neq0\)이면, 다음이 성립함을 보여라.$$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{f'(0)}{g'(0)}$$풀이: \(f,\,g\)는 \(x=0\)에서 미분가능하고 \(f(0)=g(0)=0\)이므로 다음이 성립한다.$$f'(0)=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x)}{x}},\,g'(0)=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{g(x)}{x}}$$그러면$$\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\displaystyle\frac{f(x)}{x}}{\displaystyle\frac{g(x)}{x}}}=\frac{\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(x)}{x}}}{\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{g(x)}{x}}}=\frac{f'(0)}{g'(0)}$$이다.  

19. \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin(a+2x)-2\sin(a+x)+\sin a}{x^{2}}}\)를 계산하여라. 

풀이: \(\sin(a+2x)+\sin a=2\sin(a+x)\cos x\)이므로$$\sin(a+2x)-2\sin(a+x)+\sin a=-2\sin(a+x)(1-\cos x)$$이고$$\begin{align*}\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin(a+2x)-2\sin(a+x)+\sin a}{x^{2}}}&=-\lim_{x\,\rightarrow\,0}{2\sin(a+x)\frac{1-\cos x}{x^{2}}}\\&=-\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{2\sin(a+x)}{1+\cos x}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}}\\&=-\sin a\end{align*}$$이다.