[Stewart Calculus] 4. Integral-Exercise, Problem Plus
Integral-Exercise 4.1(Areas and Distances)
25. A를 a에서 b까지 증가하는 연속함수 f 아랫 부분의 넓이라 하고, Ln,Rn을 밑변을 n등분해서 좌종점, 우종점을 이용한 A의 근사합이라 하자.
(a) A,Ln,Rn사이의 관계를 구하여라.
(b) 다음의 등식이 성립함을 보여라.Rn−Ln=b−an{f(b)−f(a)}(c) 다음의 부등식을 유도하여라.Rn−A<b−an{f(b)−f(a)}풀이:
(a) f는 증가함수이므로 그 그래프는 다음과 같고(*다음의 그래프는 f(x)>0인 경우이다.)
구간 [a,b]를 n등분하고, 등분된 구간의 길이를 Δx라 하면 Δx=b−an이므로Ln=n∑k=1f(xk−1)b−anRn=n∑k=1f(xk)b−an이고 따라서 Ln<A<Rn이다. 이 결과는 f(x)<0인 경우에도 성립한다.
(b)Rn−Ln=n∑k=1f(xk)b−an−n∑k=1f(xk−1)b−an=b−anf(xn)−b−anf(x0)=b−an{f(b)−f(a)}이므로 따라서 Rn−Ln=b−an{f(b)−f(a)}이다.
(c) (a)에 의해 Ln<A<Rn이므로 −A<−Ln이고Rn−A<Rn−Ln=b−an{f(b)−f(a)}이므로 따라서 Rn−A<b−an{f(b)−f(a)}이다.
30.
(a) An을 반지름이 r인 원에 내접하는 n각형이라 하자. 이 n각형을 끼인각이 2πn인 n개의 합동인 삼각형으로 나누어 다음이 성립함을 보여라.An=12nr2sin(2πn)(b) limn→∞An=πr2가 성립함을 보여라.
풀이:
(a) n각형의 1개의 삼각형은 두 변이 r이고, 그 끼인각이 2πn이므로 그 넓이는 12r2sin(2πn)이고 따라서 An은 다음과 같다.An=n(12r2sin(2πn))=12nr2sin(2πn)(b) 식 limx→0sinxx=1로부터 x=2πn일 때 n→∞이면 x→0+이므로limn→∞n2πsin(2πn)=1이고 이 식을 이용하면 다음의 결과를 얻는다.limn→∞An=πr2limn→∞n2πsin(2πn)=πr2⋅1=πr2Integral-Exercise 4.5(The Substitution Rule)
64. f가 [0,π]에서 연속이면, 치환 u=π−x를 이용하여 다음이 성립함을 보여라.∫0πxf(sinx)dx=π2∫π0f(sinx)dx풀이: u=π−x라 하면 dudx=−1이므로 치환적분법에 의해∫π0xf(sinx)dx=−∫0π(π−u)f(sin(π−u))du=∫π0(π−u)f(sinu)du=π∫π0f(sinu)du−∫π0uf(sinu)du이고2∫π0xf(sinxdx)=π∫π0f(sinx)dx이므로 따라서 ∫π0xf(sinx)dx=π2∫π0f(sinx)dx이다.
85. 64를 이용하여 다음의 적분을 계산하여라.∫π0xsinx1+cos2xdx풀이: cos2x=1−sin2x이므로 f(x)=x2−x2라 하면f(sinx)=sinx2−sin2x=sinx1+1−sin2x=sinx1+cos2x이므로 64에 의해∫π0xsinx1+cos2xdx=π2∫π0sinx1+cos2xdx이고 t=cosx라 하면 dtdx=−sinx이므로∫π0sinx1+cos2xdx=−∫−1111+t2dt=∫1−111+t2dt=2∫1011+t2dt=2⋅π4=π2이고 따라서 ∫π0xsinx1+cos2xdx=π24이다.
Problem Plus
5. f(x)=∫g(x)01√1+t3dt이고 g(x)=∫cosx0{1+sint2}dt일 때 f′(π2)의 값을 구하여라.
풀이:f′(x)=g′(x)√1+{g(x)}3,g′(x)=−sinx{1+sin(cosx)2}이고 g(π2)=0,g′(π2)=−1이므로 따라서 f′(π2)=−1이다.
7. 적분 ∫ba(2+x−x2)dx의 값이 최대가 되는 구간 [a,b]를 구하여라.
풀이: 문제의 적분이 최대가 되려면 구간 [a,b]에서 2+x−x2≥0이어야 한다. 이차방정식 2+x−x2=0의 해는 x=−1, x=2이고 따라서 적분값이 최대가 되게하는 구간은 [−1,2]이다.
8. 적분을 이용하여 합 10000∑i=1√i를 추정하여라.
풀이: 합 n∑i=1√i에 대해n∑i=1√i≈n√nlimn→∞n∑i=1√in1n=n√n∫10√xdx=2n√n3이므로 따라서 10000∑i=1√i≈2⋅10033=666,667이다.
9. [x]는 x를 넘지 않는 최대 정수를 나타낸다.
(a) n이 양의 정수일 때, ∫n0[x]dx를 구하여라.
(b) 0≤a<b일 때 ∫ba[x]dx를 구하여라.
풀이:
(a) 정수 k에 대하여 [x]=k이면 k≤x<k+1이므로 다음과 같다.∫n0[x]dx=n−1∑i=1i=n(n−1)2(b) 다음에 의해 성립한다.∫ba[x]dx=∫[b][a][x]dx=∫[b]0[x]dx−∫[a]0[x]dx=[b]([b]−1)2−[a]([a]−1)210. d2dx2∫x0(∫sint1√1+u4du)dt를 구하여라.
풀이: ∫√1+u2du=F(u)라 하자. 그러면 미적분학의 기본정리에 의해 ∫sint1√1+u4du=F(sint)−F(1)이고,∫x0(∫sint1√1+u4du)dt=∫x0{F(sint)−F(1)}dt=∫x0F(sint)dt−F(1)x이고ddx∫x0{F(sint)−F(1)}dt=F(sinx)−F(1)이고ddx{F(sinx)−F(1)}=cosx√1+sin4x이므로 따라서 d2dx2∫x0(∫sint1√1+u4du)dt=cosx√1+sin4x이다.
11. 3차다항식 P(x)=a+bx+cx2+dx3가 다음의 조건을 만족한다고 하자.a+b2+c3+d4=0방정식 P(x)=0이 0과 1사이에서 근을 가짐을 보여라. 이것을 일반화하여 n차 다항식에 적용할 수 있는가?
풀이: Q(x)=ax+b2x2+c3x3+d4x4라 하자. 그러면 Q′(x)=P(x)이고 Q(0)=0이고 a+b2+c3+d4=0이므로 Q(1)=0이다. Q(0)=Q(1)=0이므로 0<c<1인 c가 존재해서 Q′(c)=P(c)=0이고, 따라서 방정식 P(x)=0은 c를 근으로 갖는다.
이것을 n차 다항식으로 일반화할 수 있다. P(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn라 하고 다음이 성립한다고 하자.a0+a12+a23+⋯+ann+1=0그러면 Q(x)=a0x+a12x2+a23x3+⋯+ann+1xn+1=0라 하면 Q(0)=Q(1)=0이므로 롤의 정리에 의해 0<c<1인 c가 존재해서 Q′(c)=P(c)=0이고, 따라서 방정식 P(x)=0은 c를 근으로 갖는다.
13. f가 연속함수일 때 식 ∫x0f(u)(x−u)du=∫x0(∫u0f(t)dt)du가 성립함을 보여라.
풀이: 부분적분법에 의해 다음과 같이 성립한다.∫x0(∫u0f(t)dt)du=∫x0u′(∫u0f(t)dt)du=[u∫u0f(t)dt]x0−∫x0uf(u)du=x∫x0f(t)dt−∫x0uf(u)du=∫x0f(u)(x−u)du15. 극한값 limn→∞(1√n√n+1+1√n√n+2+⋯+1√n√n+n)을 계산하여라.
풀이: 다음과 같이 계산할 수 있다.limn→∞n∑k=11√n√k+n=limn→∞n∑k=11√kn+11n=∫101√1+xdx=[2√1+x]10=2(√2−1)
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