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[Stewart Calculus] 4. Integral-Exercise, Problem Plus



Integral-Exercise 4.1(Areas and Distances)


25. Aa에서 b까지 증가하는 연속함수 f 아랫 부분의 넓이라 하고, Ln,Rn을 밑변을 n등분해서 좌종점, 우종점을 이용한 A의 근사합이라 하자. 

(a) A,Ln,Rn사이의 관계를 구하여라.

(b) 다음의 등식이 성립함을 보여라.RnLn=ban{f(b)f(a)}(c) 다음의 부등식을 유도하여라.RnA<ban{f(b)f(a)}풀이: 

(a) f는 증가함수이므로 그 그래프는 다음과 같고(*다음의 그래프는 f(x)>0인 경우이다.)

구간 [a,b]n등분하고, 등분된 구간의 길이를 Δx라 하면 Δx=ban이므로Ln=nk=1f(xk1)banRn=nk=1f(xk)ban이고 따라서 Ln<A<Rn이다. 이 결과는 f(x)<0인 경우에도 성립한다. 

(b)RnLn=nk=1f(xk)bannk=1f(xk1)ban=banf(xn)banf(x0)=ban{f(b)f(a)}이므로 따라서 RnLn=ban{f(b)f(a)}이다. 

(c) (a)에 의해 Ln<A<Rn이므로 A<Ln이고RnA<RnLn=ban{f(b)f(a)}이므로 따라서 RnA<ban{f(b)f(a)}이다. 


30. 

(a) An을 반지름이 r인 원에 내접하는 n각형이라 하자. 이 n각형을 끼인각이 2πnn개의 합동인 삼각형으로 나누어 다음이 성립함을 보여라.An=12nr2sin(2πn)(b) limnAn=πr2가 성립함을 보여라.

풀이:

(a) n각형의 1개의 삼각형은 두 변이 r이고, 그 끼인각이 2πn이므로 그 넓이는 12r2sin(2πn)이고 따라서 An은 다음과 같다.An=n(12r2sin(2πn))=12nr2sin(2πn)(b) 식 limx0sinxx=1로부터 x=2πn일 때 n이면 x0+이므로limnn2πsin(2πn)=1이고 이 식을 이용하면 다음의 결과를 얻는다.limnAn=πr2limnn2πsin(2πn)=πr21=πr2Integral-Exercise 4.5(The Substitution Rule)


64. f[0,π]에서 연속이면, 치환 u=πx를 이용하여 다음이 성립함을 보여라.0πxf(sinx)dx=π2π0f(sinx)dx풀이: u=πx라 하면 dudx=1이므로 치환적분법에 의해π0xf(sinx)dx=0π(πu)f(sin(πu))du=π0(πu)f(sinu)du=ππ0f(sinu)duπ0uf(sinu)du이고2π0xf(sinxdx)=ππ0f(sinx)dx이므로 따라서 π0xf(sinx)dx=π2π0f(sinx)dx이다.  


85. 64를 이용하여 다음의 적분을 계산하여라.π0xsinx1+cos2xdx풀이: cos2x=1sin2x이므로 f(x)=x2x2라 하면f(sinx)=sinx2sin2x=sinx1+1sin2x=sinx1+cos2x이므로 64에 의해π0xsinx1+cos2xdx=π2π0sinx1+cos2xdx이고 t=cosx라 하면 dtdx=sinx이므로π0sinx1+cos2xdx=1111+t2dt=1111+t2dt=21011+t2dt=2π4=π2이고 따라서 π0xsinx1+cos2xdx=π24이다. 


Problem Plus


5. f(x)=g(x)011+t3dt이고 g(x)=cosx0{1+sint2}dt일 때 f(π2)의 값을 구하여라. 

풀이:f(x)=g(x)1+{g(x)}3,g(x)=sinx{1+sin(cosx)2}이고 g(π2)=0,g(π2)=1이므로 따라서 f(π2)=1이다.   


7. 적분 ba(2+xx2)dx의 값이 최대가 되는 구간 [a,b]를 구하여라.

풀이: 문제의 적분이 최대가 되려면 구간 [a,b]에서 2+xx20이어야 한다. 이차방정식 2+xx2=0의 해는 x=1, x=2이고 따라서 적분값이 최대가 되게하는 구간은 [1,2]이다. 


8. 적분을 이용하여 합 10000i=1i를 추정하여라.

풀이: 합 ni=1i에 대해ni=1innlimnni=1in1n=nn10xdx=2nn3이므로 따라서 10000i=1i210033=666,667이다. 


9. [x]x를 넘지 않는 최대 정수를 나타낸다.

(a) n이 양의 정수일 때, n0[x]dx를 구하여라.

(b) 0a<b일 때 ba[x]dx를 구하여라.

풀이: 

(a) 정수 k에 대하여 [x]=k이면 kx<k+1이므로 다음과 같다.n0[x]dx=n1i=1i=n(n1)2(b) 다음에 의해 성립한다.ba[x]dx=[b][a][x]dx=[b]0[x]dx[a]0[x]dx=[b]([b]1)2[a]([a]1)210. d2dx2x0(sint11+u4du)dt를 구하여라.

풀이: 1+u2du=F(u)라 하자. 그러면 미적분학의 기본정리에 의해 sint11+u4du=F(sint)F(1)이고,x0(sint11+u4du)dt=x0{F(sint)F(1)}dt=x0F(sint)dtF(1)x이고ddxx0{F(sint)F(1)}dt=F(sinx)F(1)이고ddx{F(sinx)F(1)}=cosx1+sin4x이므로 따라서 d2dx2x0(sint11+u4du)dt=cosx1+sin4x이다. 


11. 3차다항식 P(x)=a+bx+cx2+dx3가 다음의 조건을 만족한다고 하자.a+b2+c3+d4=0방정식 P(x)=0이 0과 1사이에서 근을 가짐을 보여라. 이것을 일반화하여 n차 다항식에 적용할 수 있는가?

풀이: Q(x)=ax+b2x2+c3x3+d4x4라 하자. 그러면 Q(x)=P(x)이고 Q(0)=0이고 a+b2+c3+d4=0이므로 Q(1)=0이다. Q(0)=Q(1)=0이므로 0<c<1c가 존재해서 Q(c)=P(c)=0이고, 따라서 방정식 P(x)=0c를 근으로 갖는다. 

이것을 n차 다항식으로 일반화할 수 있다. P(x)=a0+a1x+a2x2++anxn라 하고 다음이 성립한다고 하자.a0+a12+a23++ann+1=0그러면 Q(x)=a0x+a12x2+a23x3++ann+1xn+1=0라 하면 Q(0)=Q(1)=0이므로 롤의 정리에 의해 0<c<1c가 존재해서 Q(c)=P(c)=0이고, 따라서 방정식 P(x)=0c를 근으로 갖는다. 


13. f가 연속함수일 때 식 x0f(u)(xu)du=x0(u0f(t)dt)du가 성립함을 보여라.

풀이: 부분적분법에 의해 다음과 같이 성립한다.x0(u0f(t)dt)du=x0u(u0f(t)dt)du=[uu0f(t)dt]x0x0uf(u)du=xx0f(t)dtx0uf(u)du=x0f(u)(xu)du15. 극한값 limn(1nn+1+1nn+2++1nn+n)을 계산하여라.

풀이: 다음과 같이 계산할 수 있다.limnnk=11nk+n=limnnk=11kn+11n=1011+xdx=[21+x]10=2(21)    

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Posted by skywalker222