5. 힐베르트 공리군(3: 연속 공리군, 평행공리)

5. 힐베르트 공리군(3: 연속 공리군, 평행공리)

아르키메데스 공리. 임의의 두 선분 \(AB\)와 \(CD\)에 대해 선분 \(CD\)를 \(A\)로부터 방사된 반직선 \(\overrightarrow{AB}\)위에 \(n\)번 계속 이어서 붙일 때 점 \(E\)와 어떤 수 \(n\)이 존재해서 \(n\times CD\simeq AE\)이고 \(B\)는 \(A\)와 \(E\)사이에 존재한다. 

예: \(AB\)의 길이가 \(\pi\)이고 \(CD\)의 길이가 1이면, 점 \(B\)를 넘어서는 점 \(E\)를 얻기 위해서는 \(CD\)를 적어도 네 번 계속 이어 붙여야 한다.

아르키메데스의 공리를 직관적으로 보자면 한 선분 \(CD\)를 길이의 단위로서 취할 때 모든 다른 선분이 이 단위에 대해 유한한 길이를 갖는다는 것이다. 또 다른 관점으로 \(AB\)를 길이의 단위로서 취하는 것인데 이때 이 공리는 모든 다른 선분들이 이 단위에 대해 무한소적으로 작아질 수 없음을 알려준다(길이의 단위 \(AB\)에 대한 \(CD\)의 길이는 적어도 \(\displaystyle\frac{1}{n}\)단위이다).

*실수에서 아르키메데스 성질    

양의 실수 \(a,\,b\)에 대해 자연수 \(n\)이 존재해서 \(na>b\)이다. 

데데킨트의 공리. 한 직선 \(l\)위의 모든 점의 집합이 공집합이 아닌 두 부분집합의 합집합 \(\Sigma_{1}\cup\Sigma_{2}\)로서 \(\Sigma_{1}\)의 어떤 점도 \(\Sigma_{2}\)의 두 점 사이에 있지 않고 또 그 역도 성립한다고 하자. 그러면 \(P_{1}*O*P_{2}\)일 필요충분조건은 점 \(O\)가 \(l\)위에 유일하게 존재해서 \(P_{1}\in\Sigma_{1}\), \(P_{2}\in\Sigma_{2}\), \(O\neq P_{1},\,P_{2}\)이다. 

데데킨트의 공리는 직선분리성질의 역이라고 볼 수 있고, 공리를 만족하는 두 부분집합의 쌍 \((\Sigma_{1},\,\Sigma_{2})\)를 그 직선의 데데킨트 절단(Dedekind cut)이라고 한다. 

*실수에서 데데킨트 절단

유리수 전체의 집합 \(\mathbb{Q}\)를 두 부분집합 \(A\)와 \(B\)로 분할한 것이 다음의 성질을 갖는다고 하자.

1. \(A\neq\emptyset\), \(A\neq\mathbb{Q}\)

2. \(x,\,y\in\mathbb{Q}(x<y)\)이고 \(y\in A\)이면 \(x\in A\)(\(A\)는 아래로 유계인 집합)

3. \(x\in A\)이면 \(y\in A\)가 존재해서 \(y>x\)(\(A\)는 최대원소를 갖지 않는다)

이러한 부분집합 \(A,\,B\)의 쌍 \((A,\,B)\)를 데데킨트 절단이라고 한다. 

데데킨드의 공리의 목적은 직선이 그 위에 어떤 구멍도 없음을 보장하는데 그 의미는 다음과 같다.

\(l\)위의 임의의 점 \(O\)와 임의의 양의 실수 \(x\)에 대해 점 \(P_{-x}\)와 \(P_{x}\)가 \(l\)위에 유일하게 존재해서 \(P_{-x}*O*P_{x}\)이고 선분 \(P_{-x}O\)와 \(OP_{x}\)가 모두(어떤 측정단위 선분에 대해) 길이 \(x\)를 갖게 된다.

데데킨트의 공리가 없었다면 길이가 \(\pi\)인 선분의 존재를 보장할 수 없었을 것이다. 이를 이용해 평면을 직교좌표계로 표현할 수 있고, 이를 토대로 해석기하를 연구할 수 있다. 

다음의 유클리드의 명제는 데데킨트의 공리가 왜 필요한지를 보여준다.

유클리드의 명제 1. 임의의 선분이 주어질 때 그것을 한 변으로 하는 정삼각형이 존재한다.

증명:

(1) \(AB\)가 주어진 선분일 때 중심이 \(A\)이고 반지름이 \(AB\)인 원 \(BCD\)를 그리자(공준 III).

(2) 다시 중심이 \(B\)이고 반지름이 \(BA\)인 원 \(ACE\)를 그리자(공준 III).

(3) 두 원이 서로 교차하는 점 \(C\)에서 선분 \(CA\)와 \(CB\)를 그리자.

(4) \(A\)가 원 \(CDB\)의 중심이므로 \(AC\)는 \(AB\) 와 합동이다(원의 정의).

(5) 다시 \(B\)가 원 \(CAE\)의 중심이므로 \(BC\)는 \(BA\)와 합동이다(원의 정의).

(6) \(CA\), \(CB\)가 각각 \(AB\)와 합동이므로 그들은 서로 합동이다(첫 번째 통념(common notation)).

(7) 따라서 \(\triangle ABC\)는 \(AB\)를 한 변으로 하는 정삼각형이다(정의에 의해).  

위의 증명이 겉보기엔 별 문제가 없어보이지만 결함은 (3)에서 "\(C\)가 두 원의 한 교점이라고 한 것"이다. 문제는 "그러한 점 \(C\)가 존재한다는 것을 어떻게 알 수 있는가?"하는 것이다.

서로 교차함을 증명하기 위해서 또 다른 공리가 필요하다. 이 정리에서의 결함은 다음 원의 연속원리를 증명함으로써 보완할 수 있다. 

원의 원속원리. 원 \(\gamma\)가 원 \(\gamma'\)의 내부의 한 점과 외부의 한 점을 가지면 두 원은 두 점에서 교차한다. 

여기서 중심이 \(O\)이고 반지름이 \(OR\)인 원의 내부는 \(OP<OR\)인 점 \(P\)들의 집합으로 정의된다(외부는 \(OP>OR\)인 경우이다). 

또 하나의 결함은 한 직선에 수선을 내리는 유클리드의 방법(12번째 명제)에서 발생한다. 유클리드는 작도에서 다음의 기본연속원리를 암암리에 가정했다.

기본 연속원리. 선분의 한 끝점이 한 원의 내부에 있고 또 다른 끝점이 그 원의 외부에 있으면 선분은 원과 교차한다.

데데킨트의 공리를 이용하여 이 명제를 증명할 수 있다.

증명: 원의 내부와 외부의 정의에 의해 \(O\)가 원의 중심이고 \(OR\)이 그의 반지름이면 \(OA<OR<OB\)이다. 직선 \(\overleftrightarrow{AB}\)에 대한 데데킨트 절단을 다음과 같이 정의하자.

\(\Sigma_{1}\)을 선분 \(AB\)위의 \(OP<OR\)인 점들 \(P\)와 \(\overrightarrow{AB}\)의 반향 반직선 위의 모든 점들로 이루어진 집합이라 하고, \(\Sigma_{2}\)를 \(OP\simeq OR\)이거나 \(OP>OR\)인 \(AB\)위의 모든 점들 \(P\)와 \(\overrightarrow{BA}\)의 반향 반직선 위의 모든 점들로 이루어진 집합이라고 하자. 

\(\overleftrightarrow{AB}\)를 \(A\)가 \(B\)의 왼쪽에 있도록 정하면 \(\Sigma_{1}\)의 모든 점들은 \(\Sigma_{2}\)의 모든 점들보다 왼쪽에 있다. 따라서 데데킨트의 공리에 의해 모든 \(P_{1}\in\Sigma_{1}\), \(P_{2}\in\Sigma_{2}\)에 대해 점 \(M\)이 \(\overleftrightarrow{AB}\)위에 유일하게 존재해서 \(P_{1}*M*P_{2}\)이다. 그러면 귀류법에 의해 \(OM\simeq OR\)이다. 즉 \(M\)은 원 위에 있다. 

평행공리

힐베르트의 평행공리. 한 직선 \(l\)와 \(l\)위에 있지 않은 한 점 \(P\)에 대해 \(P\)를 지나서 \(l\)과 평행인 직선 \(m\)이 많아야 하나 존재한다.

 유클리드이 평행공준은 \(P\)를 지나서 \(l\)과 평행인 직선이 "적어도 하나"라고 주장했는데, 여기서 "적어도"가 빠진 이유는 다른 공리들로부터 증명될 수 있기 때문이다. 그러므로 공리의 한 부분으로 가정할 필요가 없다. 

참고자료

Euclidean Geometries and Non-Euclidean Geometries 3rd edition, Greenberg, Freeman and Company