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5. 힐베르트 공리군(3: 연속 공리군, 평행공리)



아르키메데스 공리. 임의의 두 선분 ABCD에 대해 선분 CDA로부터 방사된 반직선 AB위에 n번 계속 이어서 붙일 때 점 E와 어떤 수 n이 존재해서 n×CDAE이고 BAE사이에 존재한다. 


예: AB의 길이가 π이고 CD의 길이가 1이면, 점 B를 넘어서는 점 E를 얻기 위해서는 CD를 적어도 네 번 계속 이어 붙여야 한다.

아르키메데스의 공리를 직관적으로 보자면 한 선분 CD를 길이의 단위로서 취할 때 모든 다른 선분이 이 단위에 대해 유한한 길이를 갖는다는 것이다. 또 다른 관점으로 AB를 길이의 단위로서 취하는 것인데 이때 이 공리는 모든 다른 선분들이 이 단위에 대해 무한소적으로 작아질 수 없음을 알려준다(길이의 단위 AB에 대한 CD의 길이는 적어도 1n단위이다).


*실수에서 아르키메데스 성질    

양의 실수 a,b에 대해 자연수 n이 존재해서 na>b이다. 


데데킨트의 공리. 한 직선 l위의 모든 점의 집합이 공집합이 아닌 두 부분집합의 합집합 Σ1Σ2로서 Σ1의 어떤 점도 Σ2의 두 점 사이에 있지 않고 또 그 역도 성립한다고 하자. 그러면 P1OP2일 필요충분조건은 점 Ol위에 유일하게 존재해서 P1Σ1, P2Σ2, OP1,P2이다. 

데데킨트의 공리는 직선분리성질의 역이라고 볼 수 있고, 공리를 만족하는 두 부분집합의 쌍 (Σ1,Σ2)를 그 직선의 데데킨트 절단(Dedekind cut)이라고 한다. 


*실수에서 데데킨트 절단

유리수 전체의 집합 Q를 두 부분집합 AB로 분할한 것이 다음의 성질을 갖는다고 하자.

1. A, AQ

2. x,yQ(x<y)이고 yA이면 xA(A는 아래로 유계인 집합)

3. xA이면 yA가 존재해서 y>x(A는 최대원소를 갖지 않는다)

이러한 부분집합 A,B의 쌍 (A,B)를 데데킨트 절단이라고 한다. 


데데킨드의 공리의 목적은 직선이 그 위에 어떤 구멍도 없음을 보장하는데 그 의미는 다음과 같다.

l위의 임의의 점 O와 임의의 양의 실수 x에 대해 점 PxPxl위에 유일하게 존재해서 PxOPx이고 선분 PxOOPx가 모두(어떤 측정단위 선분에 대해) 길이 x를 갖게 된다.

데데킨트의 공리가 없었다면 길이가 π인 선분의 존재를 보장할 수 없었을 것이다. 이를 이용해 평면을 직교좌표계로 표현할 수 있고, 이를 토대로 해석기하를 연구할 수 있다. 

다음의 유클리드의 명제는 데데킨트의 공리가 왜 필요한지를 보여준다.


유클리드의 명제 1. 임의의 선분이 주어질 때 그것을 한 변으로 하는 정삼각형이 존재한다.

증명:

(1) AB가 주어진 선분일 때 중심이 A이고 반지름이 AB인 원 BCD를 그리자(공준 III).

(2) 다시 중심이 B이고 반지름이 BA인 원 ACE를 그리자(공준 III).

(3) 두 원이 서로 교차하는 점 C에서 선분 CACB를 그리자.

(4) A가 원 CDB의 중심이므로 ACAB 와 합동이다(원의 정의).

(5) 다시 B가 원 CAE의 중심이므로 BCBA와 합동이다(원의 정의).

(6) CA, CB가 각각 AB와 합동이므로 그들은 서로 합동이다(첫 번째 통념(common notation)).

(7) 따라서 ABCAB를 한 변으로 하는 정삼각형이다(정의에 의해).  


위의 증명이 겉보기엔 별 문제가 없어보이지만 결함은 (3)에서 "C가 두 원의 한 교점이라고 한 것"이다. 문제는 "그러한 점 C가 존재한다는 것을 어떻게 알 수 있는가?"하는 것이다.

서로 교차함을 증명하기 위해서 또 다른 공리가 필요하다. 이 정리에서의 결함은 다음 원의 연속원리를 증명함으로써 보완할 수 있다. 


원의 원속원리. 원 γ가 원 γ의 내부의 한 점과 외부의 한 점을 가지면 두 원은 두 점에서 교차한다. 


여기서 중심이 O이고 반지름이 OR인 원의 내부는 OP<OR인 점 P들의 집합으로 정의된다(외부는 OP>OR인 경우이다). 


또 하나의 결함은 한 직선에 수선을 내리는 유클리드의 방법(12번째 명제)에서 발생한다. 유클리드는 작도에서 다음의 기본연속원리를 암암리에 가정했다.


기본 연속원리. 선분의 한 끝점이 한 원의 내부에 있고 또 다른 끝점이 그 원의 외부에 있으면 선분은 원과 교차한다.

데데킨트의 공리를 이용하여 이 명제를 증명할 수 있다.

증명: 원의 내부와 외부의 정의에 의해 O가 원의 중심이고 OR이 그의 반지름이면 OA<OR<OB이다. 직선 AB에 대한 데데킨트 절단을 다음과 같이 정의하자.

Σ1을 선분 AB위의 OP<OR인 점들 PAB의 반향 반직선 위의 모든 점들로 이루어진 집합이라 하고, Σ2OPOR이거나 OP>ORAB위의 모든 점들 PBA의 반향 반직선 위의 모든 점들로 이루어진 집합이라고 하자. 

ABAB의 왼쪽에 있도록 정하면 Σ1의 모든 점들은 Σ2의 모든 점들보다 왼쪽에 있다. 따라서 데데킨트의 공리에 의해 모든 P1Σ1, P2Σ2에 대해 점 MAB위에 유일하게 존재해서 P1MP2이다. 그러면 귀류법에 의해 OMOR이다. 즉 M은 원 위에 있다. 


평행공리


힐베르트의 평행공리. 한 직선 ll위에 있지 않은 한 점 P에 대해 P를 지나서 l과 평행인 직선 m이 많아야 하나 존재한다.

 유클리드이 평행공준은 P를 지나서 l과 평행인 직선이 "적어도 하나"라고 주장했는데, 여기서 "적어도"가 빠진 이유는 다른 공리들로부터 증명될 수 있기 때문이다. 그러므로 공리의 한 부분으로 가정할 필요가 없다. 


참고자료

Euclidean Geometries and Non-Euclidean Geometries 3rd edition, Greenberg, Freeman and Company 

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Posted by skywalker222