5. 힐베르트 공리군(3: 연속 공리군, 평행공리)
아르키메데스 공리. 임의의 두 선분 AB와 CD에 대해 선분 CD를 A로부터 방사된 반직선 →AB위에 n번 계속 이어서 붙일 때 점 E와 어떤 수 n이 존재해서 n×CD≃AE이고 B는 A와 E사이에 존재한다.
예: AB의 길이가 π이고 CD의 길이가 1이면, 점 B를 넘어서는 점 E를 얻기 위해서는 CD를 적어도 네 번 계속 이어 붙여야 한다.
아르키메데스의 공리를 직관적으로 보자면 한 선분 CD를 길이의 단위로서 취할 때 모든 다른 선분이 이 단위에 대해 유한한 길이를 갖는다는 것이다. 또 다른 관점으로 AB를 길이의 단위로서 취하는 것인데 이때 이 공리는 모든 다른 선분들이 이 단위에 대해 무한소적으로 작아질 수 없음을 알려준다(길이의 단위 AB에 대한 CD의 길이는 적어도 1n단위이다).
*실수에서 아르키메데스 성질
양의 실수 a,b에 대해 자연수 n이 존재해서 na>b이다.
데데킨트의 공리. 한 직선 l위의 모든 점의 집합이 공집합이 아닌 두 부분집합의 합집합 Σ1∪Σ2로서 Σ1의 어떤 점도 Σ2의 두 점 사이에 있지 않고 또 그 역도 성립한다고 하자. 그러면 P1∗O∗P2일 필요충분조건은 점 O가 l위에 유일하게 존재해서 P1∈Σ1, P2∈Σ2, O≠P1,P2이다.
데데킨트의 공리는 직선분리성질의 역이라고 볼 수 있고, 공리를 만족하는 두 부분집합의 쌍 (Σ1,Σ2)를 그 직선의 데데킨트 절단(Dedekind cut)이라고 한다.
*실수에서 데데킨트 절단
유리수 전체의 집합 Q를 두 부분집합 A와 B로 분할한 것이 다음의 성질을 갖는다고 하자.
1. A≠∅, A≠Q
2. x,y∈Q(x<y)이고 y∈A이면 x∈A(A는 아래로 유계인 집합)
3. x∈A이면 y∈A가 존재해서 y>x(A는 최대원소를 갖지 않는다)
이러한 부분집합 A,B의 쌍 (A,B)를 데데킨트 절단이라고 한다.
데데킨드의 공리의 목적은 직선이 그 위에 어떤 구멍도 없음을 보장하는데 그 의미는 다음과 같다.
l위의 임의의 점 O와 임의의 양의 실수 x에 대해 점 P−x와 Px가 l위에 유일하게 존재해서 P−x∗O∗Px이고 선분 P−xO와 OPx가 모두(어떤 측정단위 선분에 대해) 길이 x를 갖게 된다.
데데킨트의 공리가 없었다면 길이가 π인 선분의 존재를 보장할 수 없었을 것이다. 이를 이용해 평면을 직교좌표계로 표현할 수 있고, 이를 토대로 해석기하를 연구할 수 있다.
다음의 유클리드의 명제는 데데킨트의 공리가 왜 필요한지를 보여준다.
유클리드의 명제 1. 임의의 선분이 주어질 때 그것을 한 변으로 하는 정삼각형이 존재한다.
증명:
(1) AB가 주어진 선분일 때 중심이 A이고 반지름이 AB인 원 BCD를 그리자(공준 III).
(2) 다시 중심이 B이고 반지름이 BA인 원 ACE를 그리자(공준 III).
(3) 두 원이 서로 교차하는 점 C에서 선분 CA와 CB를 그리자.
(4) A가 원 CDB의 중심이므로 AC는 AB 와 합동이다(원의 정의).
(5) 다시 B가 원 CAE의 중심이므로 BC는 BA와 합동이다(원의 정의).
(6) CA, CB가 각각 AB와 합동이므로 그들은 서로 합동이다(첫 번째 통념(common notation)).
(7) 따라서 △ABC는 AB를 한 변으로 하는 정삼각형이다(정의에 의해).
위의 증명이 겉보기엔 별 문제가 없어보이지만 결함은 (3)에서 "C가 두 원의 한 교점이라고 한 것"이다. 문제는 "그러한 점 C가 존재한다는 것을 어떻게 알 수 있는가?"하는 것이다.
서로 교차함을 증명하기 위해서 또 다른 공리가 필요하다. 이 정리에서의 결함은 다음 원의 연속원리를 증명함으로써 보완할 수 있다.
원의 원속원리. 원 γ가 원 γ′의 내부의 한 점과 외부의 한 점을 가지면 두 원은 두 점에서 교차한다.
여기서 중심이 O이고 반지름이 OR인 원의 내부는 OP<OR인 점 P들의 집합으로 정의된다(외부는 OP>OR인 경우이다).
또 하나의 결함은 한 직선에 수선을 내리는 유클리드의 방법(12번째 명제)에서 발생한다. 유클리드는 작도에서 다음의 기본연속원리를 암암리에 가정했다.
기본 연속원리. 선분의 한 끝점이 한 원의 내부에 있고 또 다른 끝점이 그 원의 외부에 있으면 선분은 원과 교차한다.
데데킨트의 공리를 이용하여 이 명제를 증명할 수 있다.
증명: 원의 내부와 외부의 정의에 의해 O가 원의 중심이고 OR이 그의 반지름이면 OA<OR<OB이다. 직선 ↔AB에 대한 데데킨트 절단을 다음과 같이 정의하자.
Σ1을 선분 AB위의 OP<OR인 점들 P와 →AB의 반향 반직선 위의 모든 점들로 이루어진 집합이라 하고, Σ2를 OP≃OR이거나 OP>OR인 AB위의 모든 점들 P와 →BA의 반향 반직선 위의 모든 점들로 이루어진 집합이라고 하자.
↔AB를 A가 B의 왼쪽에 있도록 정하면 Σ1의 모든 점들은 Σ2의 모든 점들보다 왼쪽에 있다. 따라서 데데킨트의 공리에 의해 모든 P1∈Σ1, P2∈Σ2에 대해 점 M이 ↔AB위에 유일하게 존재해서 P1∗M∗P2이다. 그러면 귀류법에 의해 OM≃OR이다. 즉 M은 원 위에 있다.
평행공리
힐베르트의 평행공리. 한 직선 l와 l위에 있지 않은 한 점 P에 대해 P를 지나서 l과 평행인 직선 m이 많아야 하나 존재한다.
유클리드이 평행공준은 P를 지나서 l과 평행인 직선이 "적어도 하나"라고 주장했는데, 여기서 "적어도"가 빠진 이유는 다른 공리들로부터 증명될 수 있기 때문이다. 그러므로 공리의 한 부분으로 가정할 필요가 없다.
참고자료
Euclidean Geometries and Non-Euclidean Geometries 3rd edition, Greenberg, Freeman and Company
'기하학 > 유클리드기하학' 카테고리의 다른 글
4. 힐베르트 공리군(2. 결합공리군) (0) | 2020.08.08 |
---|---|
3. 힐베르트 공리군(1: 순서공리군) (0) | 2020.08.07 |
2. 결합기하학 (0) | 2020.08.06 |
1. 유클리드 기하학 (0) | 2020.08.05 |