4. 힐베르트 공리군(2. 결합공리군)

4. 힐베르트 공리군(2. 결합공리군)

결합공리군

"합동"은 선분 사이의 관계 또는 각 사이의 관계이고, 삼각형의 다음과 같이 정의한다.    

두 삼각형의 꼭짓점들 사이에 일대일 대응이 존재해서 그 대응변들과 대응각이 모두 합동이 되면, 두 삼각형을 합동(congruent)이라고 한다. \(\triangle ABC\simeq\triangle DEF\)는 \(A\)와 \(D\), \(B\)와 \(E\), \(C\)와 \(F\)가 대응하는 것으로 이해해야 한다. 이와 같은 방법으로 사각형, 오각형의 합동을 정의할 수 있다. 

합동공리1. \(A\)와 \(B\)가 서로 다른 점이고 \(A'\)이 임의의 점이면 \(A'\)으로부터 방사된 각 반직선 \(r\)위에 점 \(B'\)이 유일하게 존재해서 \(B'\neq A'\)이고 \(AB\simeq A'B'\)이다.

직관적으로 이 공리는 선분 \(AB\)를 반직선 \(r\)위로 옮길 수 있음을 뜻한다.

합동공리 2. \(AB\simeq CD\), \(AB\simeq EF\)이면, \(CD\simeq EF\)이다. 특히 모든 선분은 자기 자신과 합동이다.

합동공리 3. \(A*B*C\), \(A'*B'*C'\), \(AB\simeq A'B'\), \(BC\simeq B'C'\)이면 \(AC\simeq A'C'\)이다.

* \(A*B*C\)는 점 \(A,\,B,\,C\)가 이 순서대로 한 직선 위에 있고, 점 \(B\)가 점 \(A\)와 \(C\)의 사이에 있음을 뜻한다.

이 공리는 합동인 선분들이 또 다른 합동인 선분들에 더해지면 그 합도 합동임을 뜻한다. 여기서 "더한다"의 의미는 선분을 동일한 직선을 따라 나란히 갖다 붙이는 것을 의미한다. 

예: 합동공리 1, 3을 이용하면 선분 \(AB\)를 \(2,\,3,\,...,\,n\)번 갖다붙여서 새로운 선분 \(n\times AB\)를 얻을 수 있다.

합동공리 4. 임의의 \(\angle BAC\)(각의 정의에 의해 \(\overrightarrow{AB}\)는 \(\overrightarrow{AC}\)와 반향이 아니다)와 점 \(A'\)으로부터 방사된 임의의 반직선 \(\overrightarrow{A'B'}\)가 주어질 때 반직선 \(\overrightarrow{A'C'}\)이 유일하게 존재해서 직선 \(\overleftrightarrow{A'B'}\)에 대해 한 쪽에서 \(\angle B'A'C\simeq BAC\)이다.

이 공리는 하나의 주어진 각이 하나의 주어진 반직선의 주어진 쪽에 유일한 방법으로 갖다 붙일 수 있다고 서술될 수 있다.

합동공리 5. \(\angle A\simeq\angle B\)이고 \(\angle A\simeq\angle C\)이면 \(\angle B\simeq\angle C\)이다. 특히 모든 각은 그 자신과 합동이다. 

이 사실로부터 각은 합동에 대해 동치관계임을 알 수 있다. 

합동공리 5에서 \(C\)를 \(A\)로 대체하면 \(\angle A\simeq\angle B\)이고 \(\angle A\simeq\angle A\)이므로 \(\simeq B\simeq A\)이다(대칭율). 추이율은 합동공리 5 자체이다. 

합동공리 6(SAS). 두 삼각형에서 대응하는 두 변과 그 사잇각이 각각 서로 합동이면 두 삼각형은 합동이다.

유클리드는 이 합동공리 6(SAS)을 정리로서 다음과 같이 증명했다.

점 \(A'\)을 점 \(A\)위에, \(\overleftrightarrow{A'B'}\)을 \(\overleftrightarrow{AB}\)위에 놓이도록 \(\triangle A'B'C'\)를 옮기자. 가정에 의해 \(AB\simeq A'B'\)이므로 점 \(B'\)은 점 \(B\)위에 합쳐져야(포개어 놓아야, superposition) 한다. 또 \(\angle A\simeq\angle A'\)이므로 \(\overleftrightarrow{A'C'}\)은 \(\overleftrightarrow{AC}\)위에 합쳐져야 하고 \(AC\simeq A'C'\)이므로 점 \(C'\)은 점 \(C\)와 일치해야 한다. 따라서 \(B'C'\)는 \(BC\)와 일치하고 나머지 각들도 서로 일치하다. 그러므로 두 삼각형은 합동이다.

다음은 이등변삼각형의 두 밑각이 합동이라는 Pappus의 증명이다.

명제 3.10 \(\triangle ABC\)에서 \(AB\simeq AC\)이면 \(\angle B\simeq\angle C\)이다.

증명: 

(1) 꼭짓점들의 대응 \(A\leftrightarrow A\), \(B\leftrightarrow C\), \(C\leftrightarrow B\)를 고려하자. 이 대응에서 \(\triangle ABC\)의 두 변과 그 사잇각은 각각 \(\triangle ACB\)의 대응변 및 그 사잇각과 각각 합동이다.

(2) 그러면 \(\triangle ABC\simeq\triangle ACB\)이고(SAS) 따라서 대응각 \(\angle B\)와 \(\angle C\)는 합동이다.  

명제 3.11(선분의 뺄셈). \(A*B*C\), \(D*E*F\), \(AB\simeq DE\), \(AC\simeq DF\)이면 \(BC\simeq EF\)이다.

명제 3.12 \(AC\simeq DF\)일 때 \(A\)와 \(C\)사이의 임의의 점 \(B\)에 대해 점 \(E\)가 \(D\)와 \(F\)사이에 유일하게 존재해서 \(AB\simeq DE\)이다.

증명:

(1) 점 \(E\)가 \(\overrightarrow{DF}\)위에 유일하게 존재해서 \(AB\simeq DE\)이다. 

(2) \(E\)가 \(D\)와 \(F\)사이에 있지 않다고 가정하자.

(3) 그러면 \(E=F\)이거나 \(D*F*E\)이다. 

(4) \(E=F\)이면 \(B\)와 \(C\)는 \(AC\simeq DF\simeq AB\)인 \(\overleftrightarrow{AC}\)위의 서로 다른 두 점이고 이것은 합동고리 1의 유일성에 위배된다.

(5) \(D*F*E\)이면 점 \(G\)가 \(\overrightarrow{CA}\)의 반향 반직선 위에 존재해서 \(FE\simeq CG\)이다.

(6) 그러면 \(AG\simeq DE\)이고

(7) 따라서 서로 다른 두 점 \(B\), \(G\)가 \(\overrightarrow{AC}\)위에 존재해서 \(AG\simeq DE\simeq AB\)이고 이것은 합동공리 1의 유일성에 위배된다.

(8) 그러므로 \(D*E*F\)이다.  

정의. \(AB<CD\)(또는 \(CD>AB\))는 점 \(E\)가 \(C\)와 \(D\)사이에 존재해서 \(AB\simeq CE\)임을 뜻한다.

명제 3.13(선분순서성). 

(1) 다음의 조건들 중 하나만 성립한다(삼분법).

(i) \(AB<CD\), (ii) \(AB\simeq CD\), (iii) \(AB>CD\)

(2) \(AB<CD\), \(CD\simeq EF\)이면 \(AB<EF\)이다. 

(3) \(AB>CD\), \(CD\simeq EF\)이면 \(AB>EF\)이다. 

(4) \(AB<CD\), \(CD<EF\)이면 \(AB<EF\)이다. 

명제 3.14 합동인 각들의 보각들도 합동이다.

명제 3.15 

(1) 맞꼭지각은 서로 합동이다.

(2) 직각과 합동인 각들은 직각이다.

명제 3.16 임의의 직선 \(l\)과 임의의 점 \(P\)에 대해 \(P\)를 지나서 \(l\)과 수직인 직선이 존재한다.

증명: 

(1) \(P\)가 \(l\)위에 있지 않다고 가정하고 \(A\)와 \(B\)가 \(l\)위의 임의의 두 점이라고 하자.

(2) \(l\)에 대해 \(P\)의 반대쪽에서 반직선 \(\overrightarrow{AX}\)가 존재해서 \(\angle XAB\simeq\angle PAB\)이다.

(3) \(\overrightarrow{AX}\)위의 점 \(P'\)이 존재해서 \(AP'\simeq AP\)이다. 

(4) \(PP'\)이 점 \(Q\)에서 \(l\)과 교차한다.

(5) \(Q=A\)이면 \(\overleftrightarrow{PP'}\perp l\)(수직)이다.

(6) \(Q\neq A\)이면 \(\triangle PAQ\simeq\triangle P'AQ\)이다. 

(7) 따라서 \(\angle PQA\simeq\angle P'QA\)이고 따라서 \(\overleftrightarrow{PP'}\perp l\)이다.

(8) \(P\)가 \(l\)위에 있다고 가정하자. \(l\)위에 있지 않은 점들이 존재하므로, 그 점들 중 하나로부터 \(l\)에 한 수선을 내릴 수 있고, 한 직각을 얻는다.

(9) 그러면 \(P\)를 꼭짓점으로 하고 한 변이 \(l\)위에 있으면서 이 직각과 합동인 한 각을 만들 수 있고, 이 각의 다른 한 변은 \(P\)를 지나서 \(l\)과 수직인 직선의 부분이 된다. 

명제 3.16에서 \(P\)가 \(l\)위에 있으면 그 수선은 유일하나 그렇지 않다면 수선의 유일성을 보이기가 어렵다.

명제 3.17(ASA 합동판정법) \(\triangle ABC\)와 \(\triangle DEF\)에서 \(\angle A\simeq\angle D\), \(\angle C\simeq\angle F\), \(AC\simeq DF\)이면, \(\triangle ABC\simeq\triangle DEF\)이다. 

명제 3.18(명제 3.10의 역) \(\triangle ABC\)에서 \(\angle B\simeq\angle C\)이면 \(AB\simeq AC\)이고 \(\triangle ABC\)는 이등변삼각형이다. 

명제 3.19(각의 덧셈) \(\overrightarrow{BG}\)가 \(\overrightarrow{BA}\)와 \(\overrightarrow{BC}\)사이에 있고, \(\overrightarrow{EH}\)가 \(\overrightarrow{ED}\)와 \(\overrightarrow{EF}\)사이에 있고, \(\angle CBG\simeq\angle FEH\), \(\angle GBA\simeq\angle HED\)이면 \(\angle ABC\simeq\angle DEF\)이다.

증명: 

(1) 횡선정리에 의해 \(G\)를 \(A*G*C\)가 되도록 선택하자.

(2) 합동공리 1에 의해 \(D,\,F,\,H\)를 \(AB\simeq ED\), \(GB\simeq EH\), \(CB\simeq EF\)가 되도록 선택하자.

(3) 그러면 \(\triangle ABC\simeq\triangle DEH\)이고 \(\triangle GBC\simeq\triangle HEF\)이다.

(4) 따라서 \(\angle DHE\simeq\angle AGB\), \(\angle FHE\simeq\angle CGB\)이고 \(\angle AGB\)는 \(\angle CGB\)의 보각이다.

(5) 또한 \(D,\,H,\,F\)는 일직선 위에 있고 \(\angle DHE\)는 \(\angle FHE\)의 보각이다.

(6) \(D*H*F\)이고

(7) \(AC\simeq DF\)

(8) \(\triangle ABC\simeq\triangle DEF\)이므로 

(9) 따라서 \(\angle ABC\simeq\angle DEF\)이다.        

명제 3.20(각의 뺄셈) \(\overrightarrow{BG}\)가 \(\overrightarrow{BA}\)와 \(\overrightarrow{BC}\)사이에 있고 \(\overrightarrow{EH}\)가 \(\overrightarrow{ED}\)와 \(\overrightarrow{EF}\)사이에 있고 \(\angle CBG\simeq\angle FEH\), \(\angle ABC\simeq\angle DEF\)이면 \(\angle GBA\simeq\angle HED\)이다. 

정의. \(\angle ABC<\angle DEF\)는 한 반직선 \(\overrightarrow{EG}\)가 \(\overrightarrow{ED}\)와 \(\overrightarrow{EF}\)사이에 존재해서 \(\angle ABC\simeq\angle GEF\)임을 뜻한다.

명제 3.21(각의 순서성) 

(1) 다음의 조건들 중 하나만 성립한다(삼분법).

(i) \(\angle P<\angle Q\), (ii) \(\angle P\simeq\angle Q\), (iii) \(\angle Q<\angle P\)

(2) \(\angle P<\angle Q\), \(\angle Q\simeq\angle R\)이면 \(\angle P<\angle R\)이다.

(3) \(\angle P>\angle Q\), \(\angle Q\simeq\angle R\)이면 \(\angle P>\angle R\)이다.

(4) \(\angle P<\angle Q\), \(\angle Q<\angle R\)이면 \(\angle P<\angle R\)이다. 

명제 3.22(SSS 합동판정법) \(\triangle ABC\)와 \(\triangle DEF\)에서 \(AB\simeq DE\), \(BC\simeq EF\), \(AC\simeq DF\)이면, \(\triangle ABC\simeq\triangle DEF\)이다. 

유클리드의 네 번째 공준은 힐베르트 공리군으로부터 증명될 수 있다. 

명제 3.23(유클리드의 네 번째 공준) 모든 직각은 서로 합동이다.

증명: 

(1) \(\angle BAD\simeq\angle CAD\), \(\angle FEH\simeq\angle GEH\)이 주어졌다고 하고 \(\angle BAD\)와 \(\angle FEH\)는 합동이 아니라고 가정하자. 

(2) 그러면 이 각들 중 하나는 다른 각보다 작을 것이다. \(\angle FEH<\angle BAD\)라 하자. 그러면 정의에 의해 한 반직선 \(\overrightarrow{AJ}\)가 \(\overrightarrow{AB}\)와 \(\overrightarrow{AD}\)사이에 존재해서 \(\angle BAJ\simeq\angle FEH\)이다.

(3) \(\angle CAJ\simeq\angle GEH\)이고

(4) \(\angle CAJ\simeq\angle FEH\)

(5) 한 반직선 \(\overrightarrow{AK}\)가 \(\overrightarrow{AD}\)와 \(\overrightarrow{AC}\)사이에 존재해서 \(\angle BAJ\simeq\angle CAK\)이다.

(6) \(\angle BAJ\simeq\angle CAJ\)이고

(7) \(\angle CAJ\simeq\angle CAK\)

(8) 따라서 \(\angle CAD\)는 \(\angle CAK\)보다 크고 그의 합동각인 \(CAJ\)보다 작은데 이것은 명제 3.21에 모순이다.  

(9) 그러므로 \(\angle BAD\simeq\angle FEH\)

참고자료:

Euclidean Geometries and Non-Euclidean Geometries 3rd edition, Greenberg, Freeman and Company