4. 힐베르트 공리군(2. 결합공리군)

4. 힐베르트 공리군(2. 결합공리군)

결합공리군

"합동"은 선분 사이의 관계 또는 각 사이의 관계이고, 삼각형의 다음과 같이 정의한다.    

두 삼각형의 꼭짓점들 사이에 일대일 대응이 존재해서 그 대응변들과 대응각이 모두 합동이 되면, 두 삼각형을 합동(congruent)이라고 한다. $\triangle ABC\simeq\triangle DEF$는 $A$와 $D$, $B$와 $E$, $C$와 $F$가 대응하는 것으로 이해해야 한다. 이와 같은 방법으로 사각형, 오각형의 합동을 정의할 수 있다. 

합동공리1. $A$와 $B$가 서로 다른 점이고 $A'$이 임의의 점이면 $A'$으로부터 방사된 각 반직선 $r$위에 점 $B'$이 유일하게 존재해서 $B'\neq A'$이고 $AB\simeq A'B'$이다.

직관적으로 이 공리는 선분 $AB$를 반직선 $r$위로 옮길 수 있음을 뜻한다.

합동공리 2. $AB\simeq CD$, $AB\simeq EF$이면, $CD\simeq EF$이다. 특히 모든 선분은 자기 자신과 합동이다.

합동공리 3. $A*B*C$, $A'*B'*C'$, $AB\simeq A'B'$, $BC\simeq B'C'$이면 $AC\simeq A'C'$이다.

* $A*B*C$는 점 $A,\,B,\,C$가 이 순서대로 한 직선 위에 있고, 점 $B$가 점 $A$와 $C$의 사이에 있음을 뜻한다.

이 공리는 합동인 선분들이 또 다른 합동인 선분들에 더해지면 그 합도 합동임을 뜻한다. 여기서 "더한다"의 의미는 선분을 동일한 직선을 따라 나란히 갖다 붙이는 것을 의미한다. 

예: 합동공리 1, 3을 이용하면 선분 $AB$를 $2,\,3,\,...,\,n$번 갖다붙여서 새로운 선분 $n\times AB$를 얻을 수 있다.

합동공리 4. 임의의 $\angle BAC$(각의 정의에 의해 $\overrightarrow{AB}$는 $\overrightarrow{AC}$와 반향이 아니다)와 점 $A'$으로부터 방사된 임의의 반직선 $\overrightarrow{A'B'}$가 주어질 때 반직선 $\overrightarrow{A'C'}$이 유일하게 존재해서 직선 $\overleftrightarrow{A'B'}$에 대해 한 쪽에서 $\angle B'A'C\simeq BAC$이다.

이 공리는 하나의 주어진 각이 하나의 주어진 반직선의 주어진 쪽에 유일한 방법으로 갖다 붙일 수 있다고 서술될 수 있다.

합동공리 5. $\angle A\simeq\angle B$이고 $\angle A\simeq\angle C$이면 $\angle B\simeq\angle C$이다. 특히 모든 각은 그 자신과 합동이다. 

이 사실로부터 각은 합동에 대해 동치관계임을 알 수 있다. 

합동공리 5에서 $C$를 $A$로 대체하면 $\angle A\simeq\angle B$이고 $\angle A\simeq\angle A$이므로 $\simeq B\simeq A$이다(대칭율). 추이율은 합동공리 5 자체이다. 

합동공리 6(SAS). 두 삼각형에서 대응하는 두 변과 그 사잇각이 각각 서로 합동이면 두 삼각형은 합동이다.

유클리드는 이 합동공리 6(SAS)을 정리로서 다음과 같이 증명했다.

점 $A'$을 점 $A$위에, $\overleftrightarrow{A'B'}$을 $\overleftrightarrow{AB}$위에 놓이도록 $\triangle A'B'C'$를 옮기자. 가정에 의해 $AB\simeq A'B'$이므로 점 $B'$은 점 $B$위에 합쳐져야(포개어 놓아야, superposition) 한다. 또 $\angle A\simeq\angle A'$이므로 $\overleftrightarrow{A'C'}$은 $\overleftrightarrow{AC}$위에 합쳐져야 하고 $AC\simeq A'C'$이므로 점 $C'$은 점 $C$와 일치해야 한다. 따라서 $B'C'$는 $BC$와 일치하고 나머지 각들도 서로 일치하다. 그러므로 두 삼각형은 합동이다.

다음은 이등변삼각형의 두 밑각이 합동이라는 Pappus의 증명이다.

명제 3.10 $\triangle ABC$에서 $AB\simeq AC$이면 $\angle B\simeq\angle C$이다.

증명: 

(1) 꼭짓점들의 대응 $A\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow C$, $C\leftrightarrow B$를 고려하자. 이 대응에서 $\triangle ABC$의 두 변과 그 사잇각은 각각 $\triangle ACB$의 대응변 및 그 사잇각과 각각 합동이다.

(2) 그러면 $\triangle ABC\simeq\triangle ACB$이고(SAS) 따라서 대응각 $\angle B$와 $\angle C$는 합동이다.  

명제 3.11(선분의 뺄셈). $A*B*C$, $D*E*F$, $AB\simeq DE$, $AC\simeq DF$이면 $BC\simeq EF$이다.

명제 3.12 $AC\simeq DF$일 때 $A$와 $C$사이의 임의의 점 $B$에 대해 점 $E$가 $D$와 $F$사이에 유일하게 존재해서 $AB\simeq DE$이다.

증명:

(1) 점 $E$가 $\overrightarrow{DF}$위에 유일하게 존재해서 $AB\simeq DE$이다. 

(2) $E$가 $D$와 $F$사이에 있지 않다고 가정하자.

(3) 그러면 $E=F$이거나 $D*F*E$이다. 

(4) $E=F$이면 $B$와 $C$는 $AC\simeq DF\simeq AB$인 $\overleftrightarrow{AC}$위의 서로 다른 두 점이고 이것은 합동고리 1의 유일성에 위배된다.

(5) $D*F*E$이면 점 $G$가 $\overrightarrow{CA}$의 반향 반직선 위에 존재해서 $FE\simeq CG$이다.

(6) 그러면 $AG\simeq DE$이고

(7) 따라서 서로 다른 두 점 $B$, $G$가 $\overrightarrow{AC}$위에 존재해서 $AG\simeq DE\simeq AB$이고 이것은 합동공리 1의 유일성에 위배된다.

(8) 그러므로 $D*E*F$이다.  

정의. $AB<CD$(또는 $CD>AB$)는 점 $E$가 $C$와 $D$사이에 존재해서 $AB\simeq CE$임을 뜻한다.

명제 3.13(선분순서성). 

(1) 다음의 조건들 중 하나만 성립한다(삼분법).

(i) $AB<CD$, (ii) $AB\simeq CD$, (iii) $AB>CD$

(2) $AB<CD$, $CD\simeq EF$이면 $AB<EF$이다. 

(3) $AB>CD$, $CD\simeq EF$이면 $AB>EF$이다. 

(4) $AB<CD$, $CD<EF$이면 $AB<EF$이다. 

명제 3.14 합동인 각들의 보각들도 합동이다.

명제 3.15 

(1) 맞꼭지각은 서로 합동이다.

(2) 직각과 합동인 각들은 직각이다.

명제 3.16 임의의 직선 $l$과 임의의 점 $P$에 대해 $P$를 지나서 $l$과 수직인 직선이 존재한다.

증명: 

(1) $P$가 $l$위에 있지 않다고 가정하고 $A$와 $B$가 $l$위의 임의의 두 점이라고 하자.

(2) $l$에 대해 $P$의 반대쪽에서 반직선 $\overrightarrow{AX}$가 존재해서 $\angle XAB\simeq\angle PAB$이다.

(3) $\overrightarrow{AX}$위의 점 $P'$이 존재해서 $AP'\simeq AP$이다. 

(4) $PP'$이 점 $Q$에서 $l$과 교차한다.

(5) $Q=A$이면 $\overleftrightarrow{PP'}\perp l$(수직)이다.

(6) $Q\neq A$이면 $\triangle PAQ\simeq\triangle P'AQ$이다. 

(7) 따라서 $\angle PQA\simeq\angle P'QA$이고 따라서 $\overleftrightarrow{PP'}\perp l$이다.

(8) $P$가 $l$위에 있다고 가정하자. $l$위에 있지 않은 점들이 존재하므로, 그 점들 중 하나로부터 $l$에 한 수선을 내릴 수 있고, 한 직각을 얻는다.

(9) 그러면 $P$를 꼭짓점으로 하고 한 변이 $l$위에 있으면서 이 직각과 합동인 한 각을 만들 수 있고, 이 각의 다른 한 변은 $P$를 지나서 $l$과 수직인 직선의 부분이 된다. 

명제 3.16에서 $P$가 $l$위에 있으면 그 수선은 유일하나 그렇지 않다면 수선의 유일성을 보이기가 어렵다.

명제 3.17(ASA 합동판정법) $\triangle ABC$와 $\triangle DEF$에서 $\angle A\simeq\angle D$, $\angle C\simeq\angle F$, $AC\simeq DF$이면, $\triangle ABC\simeq\triangle DEF$이다. 

명제 3.18(명제 3.10의 역) $\triangle ABC$에서 $\angle B\simeq\angle C$이면 $AB\simeq AC$이고 $\triangle ABC$는 이등변삼각형이다. 

명제 3.19(각의 덧셈) $\overrightarrow{BG}$가 $\overrightarrow{BA}$와 $\overrightarrow{BC}$사이에 있고, $\overrightarrow{EH}$가 $\overrightarrow{ED}$와 $\overrightarrow{EF}$사이에 있고, $\angle CBG\simeq\angle FEH$, $\angle GBA\simeq\angle HED$이면 $\angle ABC\simeq\angle DEF$이다.

증명: 

(1) 횡선정리에 의해 $G$를 $A*G*C$가 되도록 선택하자.

(2) 합동공리 1에 의해 $D,\,F,\,H$를 $AB\simeq ED$, $GB\simeq EH$, $CB\simeq EF$가 되도록 선택하자.

(3) 그러면 $\triangle ABC\simeq\triangle DEH$이고 $\triangle GBC\simeq\triangle HEF$이다.

(4) 따라서 $\angle DHE\simeq\angle AGB$, $\angle FHE\simeq\angle CGB$이고 $\angle AGB$는 $\angle CGB$의 보각이다.

(5) 또한 $D,\,H,\,F$는 일직선 위에 있고 $\angle DHE$는 $\angle FHE$의 보각이다.

(6) $D*H*F$이고

(7) $AC\simeq DF$

(8) $\triangle ABC\simeq\triangle DEF$이므로 

(9) 따라서 $\angle ABC\simeq\angle DEF$이다.        

명제 3.20(각의 뺄셈) $\overrightarrow{BG}$가 $\overrightarrow{BA}$와 $\overrightarrow{BC}$사이에 있고 $\overrightarrow{EH}$가 $\overrightarrow{ED}$와 $\overrightarrow{EF}$사이에 있고 $\angle CBG\simeq\angle FEH$, $\angle ABC\simeq\angle DEF$이면 $\angle GBA\simeq\angle HED$이다. 

정의. $\angle ABC<\angle DEF$는 한 반직선 $\overrightarrow{EG}$가 $\overrightarrow{ED}$와 $\overrightarrow{EF}$사이에 존재해서 $\angle ABC\simeq\angle GEF$임을 뜻한다.

명제 3.21(각의 순서성) 

(1) 다음의 조건들 중 하나만 성립한다(삼분법).

(i) $\angle P<\angle Q$, (ii) $\angle P\simeq\angle Q$, (iii) $\angle Q<\angle P$

(2) $\angle P<\angle Q$, $\angle Q\simeq\angle R$이면 $\angle P<\angle R$이다.

(3) $\angle P>\angle Q$, $\angle Q\simeq\angle R$이면 $\angle P>\angle R$이다.

(4) $\angle P<\angle Q$, $\angle Q<\angle R$이면 $\angle P<\angle R$이다. 

명제 3.22(SSS 합동판정법) $\triangle ABC$와 $\triangle DEF$에서 $AB\simeq DE$, $BC\simeq EF$, $AC\simeq DF$이면, $\triangle ABC\simeq\triangle DEF$이다. 

유클리드의 네 번째 공준은 힐베르트 공리군으로부터 증명될 수 있다. 

명제 3.23(유클리드의 네 번째 공준) 모든 직각은 서로 합동이다.

증명: 

(1) $\angle BAD\simeq\angle CAD$, $\angle FEH\simeq\angle GEH$이 주어졌다고 하고 $\angle BAD$와 $\angle FEH$는 합동이 아니라고 가정하자. 

(2) 그러면 이 각들 중 하나는 다른 각보다 작을 것이다. $\angle FEH<\angle BAD$라 하자. 그러면 정의에 의해 한 반직선 $\overrightarrow{AJ}$가 $\overrightarrow{AB}$와 $\overrightarrow{AD}$사이에 존재해서 $\angle BAJ\simeq\angle FEH$이다.

(3) $\angle CAJ\simeq\angle GEH$이고

(4) $\angle CAJ\simeq\angle FEH$

(5) 한 반직선 $\overrightarrow{AK}$가 $\overrightarrow{AD}$와 $\overrightarrow{AC}$사이에 존재해서 $\angle BAJ\simeq\angle CAK$이다.

(6) $\angle BAJ\simeq\angle CAJ$이고

(7) $\angle CAJ\simeq\angle CAK$

(8) 따라서 $\angle CAD$는 $\angle CAK$보다 크고 그의 합동각인 $CAJ$보다 작은데 이것은 명제 3.21에 모순이다.  

(9) 그러므로 $\angle BAD\simeq\angle FEH$

참고자료:

Euclidean Geometries and Non-Euclidean Geometries 3rd edition, Greenberg, Freeman and Company