3. 힐베르트 공리군(1: 순서공리군)

3. 힐베르트 공리군(1: 순서공리군)

순서공리군

다음의 정리는 순서공리군의 필요성을 예증(어떤 주장이나 예상이 옳다는 것을 예를 들어 증명함)하기 위한 증명이고, 이등변삼각형의 두 밑각이 합동이라는 정리이다. 이것은 유클리드의 증명이 아니다(*유클리드의 증명도 다른 측면에서 문제점이 있다).

증명: \(\triangle ABC\)에서 \(AC\simeq BC\)라 하자. 이제 \(\angle A\simeq\angle B\)를 증명하기 위해

(1) \(\angle C\)의 이등분선이 \(AB\)와 \(D\)에서 만난다고 하자(모든 각은 이등분선을 갖는다). 

(2) 삼각형 \(\triangle ACD\)와 \(\triangle BCD\)에서 \(AC\simeq BC\)이다(가정). 

(3) \(\angle ACD\simeq\angle BCD\)(각의 이등분선의 정의) 

(4) \(CD\simeq CD\)(같은 것은 합동이다)

(5) \(\triangle ACD\simeq\triangle BCD\)(SAS합동).

(6) 그러므로 \(\angle A\simeq\angle B\)이다(합동삼각형의 대응각).

(1)단계의 정당화는 모든 각이 이등분선을 갖는다는 것이다. 이 명제는 참이고 분리해서 증명될 수 있다. 그러나 \(\angle C\)의 이등분선이 \(\overleftrightarrow{AB}\)와 만난다는 것을 어떻게 알 수 있는가와 또 그렇다고 해도 교점 \(D\)가 \(A\)와 \(B\)사이에 있다는 것을 어떻게 알 수 있는가에 대한 의문이 있을 것이다. 이것이 명백해 보여도 엄밀하게 하자면 증명을 요구한다. 비록 알고 있어도 다음과 같이 보일 수도 있다.

이래도 단계 (2)-(5)는 모두 정당하나 \(\angle CAD\)가 \(B\)와 대응되는 \(\triangle ACD\)안의 각이므로 \(\angle B\)가 \(\angle CAB\)와 합동이 아니라 \(\angle CAD\)와 합동이라고 해야 한다. 

"점 \(B\)가 점 \(A\)와 점 \(C\)사이에 있다"는 주장을 다음과 같이 나타낼 것이다.$$A*B*C$$순서공리 1. \(A*B*C\)이면 \(A,\,B,\,C\)는 일직선 위에 있는 서로 다른 세 점이고 \(C*B*A\)이다. 

이 순서공리는 점 \(B\) 사이에 존재하는 점 \(A\)와 \(C\)의 위치를 바꾸어도 문제가 발생하지 않음을 뜻한다. 

순서공리 2. 서로 다른 두 점 \(B,\,D\)가 주어질 때 \(\overleftrightarrow{BD}\)위에 \(A*B*D\), \(B*C*D\), \(B*D*E\)인 점 \(A,\,C,\,E\)가 존재한다. 

이 공리는 \(B\)와 \(D\) 사이에도 점들이 있고 \(\overleftrightarrow{BD}\)가 \(B\)와 \(D\)에서 끝나지 않음을 보장해 준다.

순서공리 3. \(A,\,B,\,C\)가 일직선 위에 있는 서로 다른 세 점이면 그 중 오직 한 점만이 다른 두 점 사이에 있다. 

이 공리는 직선이 순환하지 않음을 보장한다. 만약 점들이 원 위에 있다면 그 각각이 모두 다른 두 점 사이에 있다고 말해야 한다.

앞에서의 순서공리 1-3로부터 몇 가지 결과들이 추론된다. 

선분 \(AB\)는 \(A\)와 \(B\)를 끝점으로 갖고 \(A\)와 \(B\)사이의 모든 점들로 이루어진 집합으로 정의되고, 반직선 \(\overrightarrow{AB}\)는 선분 \(AB\)위의 모든 점들과 \(A*B*C\)인 점들 \(C\)로 이루어진 집합으로 정의된다. 두 번째 공리는 이러한 점들 \(C\)가 존재함을 보장하는데 따라서 반직선 \(\overrightarrow{AB}\)는 선분 \(AB\)보다 크다(반직선의 길이는 무한하다).

명제 3.1 임의의 두 점 \(A\), \(B\)에 대해 다음이 성립한다.

(i) \(\overrightarrow{AB}\cap\overrightarrow{BA}=AB\) 

(ii) \(\overrightarrow{AB}\cup\overrightarrow{BA}=\overleftrightarrow{AB}\)

증명:

(i): 

(1) 선분과 반직선의 정의에 의해 \(AB\subset\overrightarrow{AB}\)이고 \(AB\subset\overrightarrow{BA}\)이다. 따라서 교집합의 정의에 의해 \(AB\subset\overrightarrow{AB}\cap\overrightarrow{BA}\)이다.

(2) 역으로 점 \(C\)가 \(\overrightarrow{AB}\)와 \(BA\)의 교집합에 속한다고 하자. \(C\)가 \(AB\)에 속함을 보여야 한다.        

(3) \(C=A\) 또는 \(C=B\)이면 \(C\)는 \(AB\)의 한 끝점이다. 그렇지 않으면 \(A,\,B,\,C\)는 일직선 위에 있는 세 점(반직선의 정리와 순서공리 1에 의해)이고, 따라서 관계 \(A*C*B\), \(A*B*C\), \(C*A*B\)중 오직 하나만이 성립한다(순서공리 3).

(4) \(A*B*C\)가 성립한다면 \(C\)는 \(\overrightarrow{BA}\)위에 있지 않고, \(C*A*B\)가 성립한다면 \(C\)는 \(\overrightarrow{AB}\)위에 있지 않다. 어느 경우든지 \(C\)는 양쪽 반직선 위에 속하지 않는다.

(5) 따라서 관계 \(A*C*B\)가 성립해야 하고 그러므로 \(C\)는 \(AB\)에 속한다. 

*직선은 무정의 용어이므로 \(\overrightarrow{AB}\cup\overrightarrow{BA}\)는 직선 \(\overleftrightarrow{AB}\)와 같은 것이 아니라 직선 \(\overrightarrow{AB}\)위에 있는 점들의 집합과 같다고 말해야 한다.

\(C*A*B\)이면 \(\overrightarrow{AC}\)와 \(\overrightarrow{AB}\)는 반향이다.

공리 1에 의해 \(A,\,B,\,C\)는 일직선 위에 있고 공리 3에 의해 \(C\)는 \(\overrightarrow{AB}\)에 속하지 않고, 따라서 반직선 \(\overrightarrow{AB}\)와 \(\overrightarrow{AC}\)는 다르다. 

"\(C*A*B\)이고 \(P\)가 \(A,\,B,\,C\)와 일직선 위에 있으면 \(P\in\overrightarrow{AC}\cup\overrightarrow{AB}\)이다."라는 주장을 직선분리성질(line separation property)이라고 하자. 어떤 수학자들은 이 성질을 또 다른 공리로 취급하나 필요한 것보다 더 많은 공리들을 가정하는 것은 수학에서 세련되지 못한 것으로 간주된다. 따라서 직선분리성질을 공리로 간주하지 않고, 앞에서 다룬 순서공리 1-3과 평면분리공리(plane separation property)라고 불리는 마지막 순서공리로서의 한 결과로서 이를 증명할 것이다. 

정의. \(A,\,B\)가 한 직선 \(l\)위에 있지 않은 점이라고 하자. 만약 \(A=B\)이거나 또는 선분 \(AB\)가 \(l\)위에 있는 어떤 점도 포함하지 않으면 \(A\)와 \(B\)는 \(l\)에 대해 같은 쪽에(on the same side of \(l\))있다고 말한다. 또 \(A\neq B\)이고 선분 \(AB\)가 \(l\)과 교차하면 \(A\)와 \(B\)는 \(l\)에 대해 반대쪽에(on opposite side of \(l\)) 있다고 말한다.

논리율의 성질 (8)에 의해 \(A\)와 \(B\)는 반드시 \(l\)에 대해 같은 쪽에 있거나 반대쪽에 있어야 한다. 

순서공리 4(분리공리). 한 직선 \(l\) 위에 있지 않은 임의의 세 점 \(A,\,B,\,C\)에 대해

(i) \(A\)와 \(B\)가 \(l\)에 대해 같은 쪽에 있고 \(B\)와 \(C\)가 \(l\)에 대해 같은 쪽에 있으면 \(A\)와 \(C\)는 \(l\)에 대해 같은 쪽에 있다.

(ii) \(A\)와 \(B\)가 \(l\)에 대해 반대쪽에 있고 \(B\)와 \(C\)가 \(l\)에 대해 반대쪽에 있으면 \(A\)와 \(C\)는 \(l\)에 대해 같은 쪽에 있다.

공리 4의 (i)은 간접적으로 지금의 기하학이 2차원임을 보장하는데, 그 이유는 3차원 공간에서 꼭 성립할 필요가 없기 때문이다. 또한 횡단선의 한 "쪽"에서 만나는 두 직선에 대한 내용을 담고 있는 유클리드의 5번째 공준을 이해하는데 필요하다.

이제 \(l\)에 대해 \(l\)위에 있지 않은 어떤 특별한 점과 같은 쪽에 있는 모든 점들의 집합을 직선 \(l\)의 한 쪽(a side)이라고 정의할 수 있다. "\(l\)의 쪽"과 같은 의미로 사용되는 다른 표현은 \(l\)을 경계로 하는 반평면이다.

명제 3.2 모든 직선은 정확히 두 반평면의 경계이고 이들 두 반평면은 어떤 공유점도 갖지 않는다

증명: 

(1) 한 직선 \(l\)위에 있지 않은 점 \(A\)가 존재한다(결합공리 3에 의해).

(2) \(l\)위에 있는 점 \(O\)가 존재한다(결합공리 2에 의해).

(3) \(B*O*A\)인 점 \(B\)가 존재한다(순서공리 2에 의해).

(4) 그러면 \(A\)와 \(B\)는 \(l\)에 대해 반대쪽에 있고, 따라서 \(l\)은 적어도 두 쪽을 갖는다.

(5) \(C\)가 \(l\)위에 있지 않은 점들 \(A,\,B\)와는 다른 임의의 점이라고 하자. 만약 \(C\)와 \(B\)가 \(l\)에 대해 같은 쪽에 있지 않으면 \(C\)와 \(A\)는 \(l\)에 대해 같은 쪽에 있다(논리율 (8)과 순서공리 4의 (ii)에 의해).

(6) 따라서 \(l\)은 정확히 두 쪽을 갖는다(단계 (4), (5)에 의해).

(7) 만약 이들 양쪽이 공유점 \(C\)를 가지면 순서공리 4의 (i)에 의해 \(A\)와 \(B\)는 \(l\)에 대해 같은 쪽에 있게 되고 이는 모순이다.

명제 3.3 \(A*B*C\), \(A*C*D\)이면, \(B*C*D\), \(A*B*D\)이다.

증명:

(1) \(A,\,B,\,C,\,D\)는 일직선 위에 있는 서로 다른 네 점이다.

(2) \(A,\,B,\,C,\,D\)를 지나는 직선 위에 있지 않은 점 \(E\)가 존재한다.

(3) 가정에 의해 \(AD\)가 점 \(C\)가 \(\overleftrightarrow{EC}\)에서 만나므로 \(A\)와 \(D\)는 \(\overleftrightarrow{EC}\)에 대해 반대쪽에 있다.

(4) 이제 \(A\)와 \(B\)가 \(\overleftrightarrow{AB}\)에 대해 같은 쪽에 있음을 주장하려고 한다. 모순을 유도하기 위해 \(A\)와 \(B\)가 \(\overleftrightarrow{EC}\)에 대해 반대쪽에 있다고 가정하자.

(5) 그러면 \(\overleftrightarrow{EC}\)는 \(A\)와 \(B\)사이의 점에서 \(\overleftrightarrow{AB}\)와 만난다.

(6) 그 점은 \(C\)이다.

(7) 따라서 \(A*B*C\)이고 \(A*C*B\)인데 이것은 순서공리 3에 모순이다. 

(8) 따라서 \(A\)와 \(B\)는 \(\overleftrightarrow{EC}\)에 대해 같은 쪽에 있다.

(9) 단계 (3)과 (8), 순서공리 4에 의해 \(B\)와 \(D\)는 \(\overleftrightarrow{EC}\)에 대해 반대쪽에 있다.

(10) 따라서 직선 \(\overleftrightarrow{EC}\)와 \(\overleftrightarrow{BD}\)의 교점 \(C\)는 \(B\)와 \(D\)사이에 있다. 즉 \(B*C*D\)

* \(\overleftrightarrow{EB}\)에 대한 유사한 논의 로부터 \(A*B*D\)를 얻는다.

명제 3.4(직선분리성질). \(C*A*B\)이고 \(l\)이 \(A,\,B,\,C\)를 지나는 직선이면(순서공리 1), \(l\)위에 있는 점 \(P\)는 반직선 \(\overrightarrow{AB}\)위에 있거나 그의 반향 반직선 \(\overrightarrow{AC}\)위에 있다. 

증명:

(1) \(P\)는 \(\overrightarrow{AB}\)위에 있거나 또는 그 위에 있지 않다. 

(2) \(P\)가 \(\overrightarrow{AB}\)위에 있으면 증명이 끝나므로 이를 가정하지 말자. 그러면 \(P*A*B\)이다. 

(3) 만약 \(P=C\)이면 \(P\)는 \(\overrightarrow{AC}\)위에 있고, 그래서 \(P\neq C\)라 가정하자. 그러면 \(C*A*P\), \(C*P*A\), \(P*C*A\)중 하나만 성립한다.

(4) 관계 \(C*A*P\)가 성립한다고 가정하자. 

(5) 또한 \(P*C*B\), \(C*P*B\), \(C*B*P\)중 오직 하나만 성립한다. 

(6) 만약 \(P*B*C\)이면 이것과 \(P*A*B\)를 결합해 \(A*B*C\)를 얻고 이것은 가정에 모순이다.

(7) \(C*P*B\)이면 이것과 \(C*A*P\)(단계 (4))를 결합해 \(A*P*B\)를 얻고 이것은 단계 (2)에 모순이다.

(8) \(B*C*P\)이면 이것과 \(B*A*C\)를 결합해 \(A*C*P\)를 얻는데 이것은 단계 (4)에 모순이다.

(9) 세 경우 모두 모순이 발생했으므로 \(C*A*P\)는 성립하지 않는다. 

(10) 그러므로 \(C*P*A\) 또는 \(P*C*A\)이고 이것은 \(P\)가 반향 반직선 \(\overrightarrow{AC}\)위에 있음을 의미한다.  

Pasch 정리. \(\triangle ABC\)가 임의의 삼각형이고 \(l\)이 \(A\)와 \(B\)사이의 한 점에서 변 \(AB\)와 교차하는 직선이면 \(l\)은 변 \(AC\)나 변 \(BC\)와 교차한다.

만약 \(C\)가 \(l\)위에 있지 않으면 \(l\)은 \(AC\), \(BC\)모두와 동시에 교차하지 않는다.

직관적으로 이 정리는 한 직선이 삼각형의 한 변을 "뚫고 들어가면", 그것이 다른 변을 "뚫고 나와야만 한다"는 것을 뜻한다.

*유클리드는 이 정리를 증명없이 사용했다.

증명: 

(1) \(C\)는 \(l\)위에 있거나 또는 그 위에 있지 않다. 만약 \(C\)가 \(l\)위에 있으면 증명은 끝난다.

(2) \(A\)와 \(B\)는 \(l\)위에 있지 않고 선분 \(AB\)는 \(l\)과 교차한다(가정).

(3) 따라서 \(A\)와 \(B\)는 \(l\)에 대해 반대쪽에 있다.

(4) 단계 (1)로부터 \(C\)가 \(l\)위에 있지 않다고 가정할 수 있다. 이 경우, \(C\)는 \(l\)에 대해 \(A\)와 같은 쪽에 있거나 또는 \(B\)와 같은 쪽에 있다.

(5) \(C\)가 \(l\)에 대해 \(A\)와 같은 쪽에 있으면 \(C\)는 \(B\)와 반대쪽에 있고 이것은 \(l\)이 \(BC\)와 교차하고 \(AC\)와는 교차하지 않음을 의미한다. 마찬가지로 \(C\)가 \(l\)에 대해 \(B\)와 같은 쪽에 있으면 \(l\)은 \(AC\)와 교차하고 \(BC\)와는 교차하지 않는다.

명제 3.5 \(A*B*C\)이면 \(AC=AB\cup BC\)이고 \(B\)는 선분 \(AB\)와 \(BC\)의 유일한 공유점이다.

명제 3.6 \(A*B*C\)이면 \(B\)는 반직선 \(\overrightarrow{BA}\)와 반직선 \(\overrightarrow{BC}\)의 유일한 공유점이고 \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}\)이다. 

정의. 각 \(\angle CAB\)가 주어질 때 점 \(D\)가 \(\overleftrightarrow{AB}\)에 대해 \(B\)와 같은 쪽에 있고 또 \(\overleftrightarrow{AB}\)에 대해 \(C\)와 같은 쪽에 있으면 \(D\)는 \(\angle CAB\)의 내부(interior)에 있다고 한다(따라서 각의 내부는 두 반평면의 교집합이다).

명제 3.7 각 \(\angle CAB\)와 직선 \(\overleftrightarrow{BC}\)위에 놓인 점 \(D\)가 주어질 때 \(D\)가 \(\angle CAB\)의 내부에 있기 위한 필요충분조건은 \(B*D*C\)이다.

*한 각의 내부에 있는 모든 점이 그 각의 한 변 위에 있는 어떤 점과 또 다른 한 변 위에 있는 어떤 점을 연결한 선분 위에 있다고 가정하면 안된다(이 가정은 쌍곡기하학에서는 거짓이다).

명제 3.8 \(D\)가 \(\angle CAB\)내부에 있으면

(1) 반직선 \(\overrightarrow{AB}\)위의 \(A\)를 제외한 모든 다른 점도 \(\angle CAB\)의 내부에 있다.

(2) \(\overrightarrow{AD}\)의 반향 반직선 위의 어떤 점도 \(\angle CAB\)의 내부에 있지 않다.

(3) \(C*A*E\)이면 \(B\)는 \(\angle DAE\)의 내부에 있다.

정의. 반직선 \(\overrightarrow{AB}\)와 \(\overrightarrow{AC}\)가 반향이 아니고 \(D\)가 \(\angle CAB\)의 내부에 있으면 반직선 \(\overrightarrow{AD}\)가 \(\overrightarrow{AC}\)와 \(\overrightarrow{AB}\)사이에 있다고 한다.

횡선정리(crossbar theorem). \(\overrightarrow{AD}\)가 \(\overrightarrow{AC}\)와 \(\overrightarrow{AB}\)사이에 있으면 \(\overrightarrow{AD}\)는 선분 \(BC\)와 교차한다.

정의. 삼각형의 내부(interior)는 그 세 각의 내부의 교집합이다. 한 점이 삼각형의 내부에도 있지 않고 또 어느 변 위에 있지 않으면 그 점은 삼각형의 외부(exterior)에 있다고 한다.

명제 3.9 

(1) \(\triangle ABC\)의 한 외점으로부터 방사된 반직선 \(r\)이 \(A\)와 \(B\)사이의 어떤 점에서 변 \(AB\)와 교차하면 \(r\)은 변 \(AC\)나 \(BC\)와 교차한다.

(2) 한 반직선이 \(\triangle ABC\)의 한 내점으로부터 방사되면 그것은 삼각형의 한 변과 교차하고, 이때 그것이 꼭짓점을 지나지 않으면 오직 한 변과 교차한다. 

참고자료:

Euclidean Geometries and Non-Euclidean Geometries 3rd edition, Greenberg, Freeman and Company