[복소해석학-대학원] 3. 사상(3)

[복소해석학-대학원] 3. 사상(3)

\(a,\,b,\,c,\,d\)가 복소상수일 때 다음과 같이 정의된 복소함수를 선형 분수변환(linear fractional transformation, 또는 뫼비우스 변환)이라고 한다.$$w=\frac{az+b}{cz+d}\,(ad-bc\neq0)$$위의 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있고, 거꾸로도 나타낼 수 있다.$$Azw+Bz+Cw+D=0\,(AD-BC\neq0)$$\(c=0\)이면 조건 \(ad-bc\neq0\)에 의해 \(ad\neq0\)이고 변환은 선형(일차)함수가 된다.$$w=\frac{a}{d}z+\frac{b}{d}$$\(c\neq0\)이면 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$w=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c(cz+d)}\,(ad-bc\neq0)$$이것은 변환 \(\displaystyle w=\frac{1}{z}\)이 \(c\neq0\)인 위의 변환의 특수한 경우임을 뜻하고, 위의 변환은 다음의 변환들의 합성이다.$$Z=cz+d,\,W=\frac{1}{Z},\,w=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c}W\,(ad-bc\neq0)$$따라서 \(c\)의 값에 관계없이 모든 선형 분수변환은 원과 직선을 원과 직선으로 사상한다. 이 선형 분수변환을 \(z\)에 대한 식으로 나타내면 다음과 같고$$z=\frac{-dw+b}{cw-a}\,(ad-bc\neq0)$$\(\displaystyle T(z)=\frac{az+b}{cz+d}\,(ad-bc\neq0)\)가 다음과 같다고 하면$$\begin{align*}c&=0,\,T(\infty)=\infty\\c\neq0,\,T(\infty)=\frac{a}{c},\,T\left(-\frac{d}{c}\right)=\infty\end{align*}$$이므로 \(T\)는 확장 \(xy\)평면에서 연속이다. 이 선형 분수변환은 \(z_{1}\neq z_{2}\)이면 \(T(z_{1})\neq T(z_{2})\)이므로 일대일사상이고 역변환 \(T^{-1}\)가 존재하는데 확장 \(uv\)평면에서 \(T^{-1}(w)=z\)일 필요충분조건은 \(T(z)=w\)이고, 그 역변환은 다음과 같다.$$T^{-1}(w)=\frac{-dw+b}{cw-a}\,(ad-bc\neq0)$$\(T^{-1}\)는 선형 분수변환이고 다음과 같이 정의된다.$$\begin{align*}c&=0,\,T^{-1}(\infty)=\infty\\c&\neq0,\,T^{-1}\left(\frac{a}{c}\right)=\infty,\,T^{-1}(\infty)=-\frac{d}{c}\end{align*}$$두 선형 분수변환 \(T\)와 \(S\)에 대해 합성 \(S(T(z))\)도 선형 분수변환이고 \(T^{-1}(T(z))=z\)이다. 

세 점 \(z_{1}=-1,\,z_{2}=0,\,z_{3}=1\)이 차례로 다음 세 점 \(w_{1}=-i,\,w_{2}=1,\,w_{3}=i\)으로 대응하는 변환을 찾자. 1은 0의 상이므로 \(\displaystyle1=\frac{b}{d}\)이고 \(d=b\)이다. 그러므로 다음을 얻는다.$$w=\frac{az+b}{cz+b}\,(b(a-c)\neq0)$$\(-1\)과 1이 각각 \(-i\)와 \(i\)로 사상되므로 다음이 성립한다.$$ic-ib=-a+b,\,ic+ib=a+b$$두 방정식을 대응하는 변끼리 더하면 \(c=-ib\)를 얻고 빼면 \(a=ib\)를 얻는다. 따라서 다음의 변환을 얻는다.$$\begin{align*}w&=\frac{ibz+b}{-ibz+b}\\&=\frac{b(iz+1)}{b(-iz+1)}\\&=\frac{iz+1}{-iz+1}\\&=\frac{i-z}{i+z}\end{align*}$$세 점 \(z_{1}=1,\,z_{2}=0,\,z_{3}=-1\)이 차례로 다음 세 점 \(w_{1}=i,\,w_{2}=\infty,\,w_{3}=1\)으로 대응하는 변환을 찾자. \(w_{2}=\infty\)가 \(z=0\)에 대응되므로 \(c\neq0\), \(d=0\)이고 다음을 얻는다.$$w=\frac{az+b}{cz}\,(bc\neq0)$$1은 \(i\)에 대응되고 \(-1\)은 1에 대응되므로 다음을 얻는다.$$ic=a+b,\,-c=-a+b$$그러므로$$2a=(1+i)c,\,2b=(i-1)c$$이고 다음의 변환을 얻는다.$$w=\frac{(i+1)z+(i-1)}{2z}$$다음의 방정식$$\frac{(w-w_{1})(w_{2}-w_{3})}{(w-w_{3})(w_{2}-w_{1})}=\frac{(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}$$이 방정식은 유한 \(xy\)평면의 서로 다른 점 \(z_{1},\,z_{2},\,z_{3}\)을 유한 \(uv\)평면의 서로 다른 점 \(w_{1},\,w_{2},\,w_{3}\)으로 사상하는 선형 분수변환이다. 이러한 형태를 음함수꼴이라고 한다. 이것을 보이기 위해 다음과 같이 전개하자.$$(z-z_{3})(w-w_{1})(z_{2}-z_{1})(w_{2}-w_{3})=(z-z_{1})(w-w_{3})(z_{2}-z_{3})(w_{2}-w_{1})$$위의 전개식에서 \(z=z_{1}\)이면 위의 식의 우변은 0이 되고 \(w=w_{1}\)이다. \(z=z_{3}\)이면 위의 식의 좌변은 0이 되고 \(w=w_{3}\)이다. \(z=z_{2}\)이면 다음의 선형(일차) 방정식을 얻는다.$$(w-w_{1})(w_{2}-w_{3})=(w-w_{3})(w_{2}-w_{1})$$이 방정식의 유일한 해는 \(w=w_{2}\)이고 위의 방정식을 전개해 다음과 같이 나타내면 선형 분수변환이 됨을 알 수 있다.$$Azw+Bz+Cw+D=0$$이 선형 분수변환은 상수함수가 되지 않으므로 \(AD-BC\neq0\)이다.(유일성에 대한 증명은 생략)

\(z_{1},\,z_{2},\,z_{3}\), \(w_{1},\,w_{2},\,w_{3}\)가 다음과 같다고 하자.$$z_{1}=-1,\,z_{2}=0,\,z_{3}=1;\,w_{1}=-i,\,w_{2}=1,\,w_{3}=i$$음함수꼴 식에 대입하면 다음과 같고$$\frac{(w+i)(1-i)}{(w-i)(1+i)}=\frac{(z+1)(0-1)}{(z-1)(0+1)}$$\(w\)를 \(z\)에 대해 풀면 다음의 결과를 얻는다.$$w=\frac{i-z}{i+z}$$\(z_{1}=\infty\)라고 하면 모든 선형 분수변환은 확장 복소평면에서 연속이므로$$\lim_{z_{1}\,\rightarrow\,0}{\frac{\left(z-\frac{1}{z_{1}}\right)(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})\left(z_{2}-\frac{1}{z_{1}}\right)}\frac{z_{1}}{z_{1}}}=\lim_{z_{1}\,\rightarrow\,0}{\frac{(z_{1}z-1)(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{1}z_{2}-1)}}=\frac{z_{2}-z_{3}}{z-z_{3}}$$이고 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\frac{(w-w_{1})(w-w_{3})}{(w_{2}-w_{3})(w_{2}-w_{1})}=\frac{z_{2}-z_{3}}{z-z_{3}}$$\(z_{1},\,z_{2},\,z_{3}\), \(w_{1},\,w_{2},\,w_{3}\)가 다음과 같다고 하자.$$z_{1}=1,\,z_{2}=0,\,z_{3}=-1;\,w_{1}=i,\,w_{2}=\infty,\,w_{3}=1$$이 경우 수정된 다음의 식을 이용해야 한다.$$\frac{w-w_{1}}{w-w_{3}}=\frac{(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}$$그러면 다음을 얻고$$\frac{w-i}{w-1}=\frac{(z-1)(0+1)}{(z+1)(0-1)}$$이것을 \(w\)에 대해 풀면 다음의 결과를 얻는다.$$w=\frac{(i+1)z+(i-1)}{2z}$$

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill