[복소해석학-대학원] 1. 사상(1)

미적분학과 해석학/복소해석학(대학원)2020. 4. 19. 08:00

[복소해석학-대학원] 1. 사상(1)

실변수 함수는 그래프를 그려서 쉽게 함수의 특징을 살펴볼 수 있지만 복소함수의 경우 2변수(실수부, 허수부)함수이기 때문에 그럴 수 없다. 그러나 $w=f(z)$로 두고, 2개의 복소평변($z$에 대한 복소평면, $w=f(z)$에 대한 복소평면)을 이용해 $f$를 표현할 수 있다.

이러한 방법으로 함수 $f$를 사상(mapping) 또는 변환(transformation)이라고 한다. 함수 $f$의 정의역 $S$상의 점 $z$에 대해 $w=f(z)$를 $z$의 상(image)이라 하고, $S$의 부분집합 $T$에 속한 점의 상 전체의 집합을 $T$의 상이라고 한다. 정의역 전체의 상을 $f$의 치역(range), $f$의 정의역에 속하고 $w$를 상으로 하는 점 $z$전체의 집합을 $w$의 역상(원상, inverse image)이라고 한다.

특정한 사상의 주요한 기하학적 성질을 설명할 때 평행이동(translation), 회전(rotation), 반사(선대칭이동, reflection)라는 용어가 사용된다. 이 경우는 $z$와 $w$의 평면이 동일하다고 보면 된다.

-평행이동: $z=x+iy$, $w=z+1=(x+1)+iy$일 때 $w$는 각 점 $z$들을 오른쪽으로 1만큼의 평행이동이다.

-회전: $z=re^{i\theta}$, $w=iz=re^{i\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)}$일 때 $w$는 0이 아닌 각 점 $z$들을 나타내는 동경벡터를 원점을 중심으로 반시계방향으로 $90^{\circ}$회전시킨다.

-반사: $z=x+iy$, $w=\overline{z}=x-iy$일 때 $w$는 각 점 $z$들을 실수축에 대해 대칭인 점으로 반사시킨다.

사상 $w=z^{2}$을 다음과 같이 $xy$평면에서 $uv$평면으로의 변환이라고 볼 수 있다.$$u=x^{2}-y^{2},\,v=2xy$$다음의 쌍곡선의 가지 각각이 연직선 $u=c_{1}$위로 일대일로 사상된다.$$x^{2}-y^{2}=c_{1}\,(c_{1}>0)$$

$z=x+iy$가 한 가지에 놓인 점일 때 $u=c_{1}$(실선)이고 특히 오른쪽 가지에 놓인 점일 때 $v=2y\sqrt{y^{2}+c_{1}}$이다. 그러므로 오른쪽 가지의 상($x=\sqrt{y^{2}+c_{2}}$)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$u=c_{1},\,v=2y\sqrt{y^{2}+c_{1}}\,(-\infty<y<\infty)$$오른쪽 가지에 있는 점 $z$가 그 가지를 따라 위로 움직일 때 $z$의 상은 직선 $u=c_{1}$전체를 따라 위로 움직인다. 마찬가지로 쌍곡선에서 왼쪽 가지의 상($x=-\sqrt{y^{2}+c_{2}}$)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$u=c_{1},\,v=-2y\sqrt{y^{2}+c_{1}}\,(-\infty<y<\infty)$$왼쪽 가지에 있는 점 $z$가 그 가지를 따라 아래로 움질일 때 $z$의 상은 직선 $u=c_{1}$전체를 따라 위로 움직인다.

다음의 쌍곡선의 가지는 수평선 $v=c_{2}$(점선)위로 사상된다.$$2xy=c_{2}\,(c_{2}>0)$$$z$가 1사분면에 있다고 하면 $\displaystyle y=\frac{c_{2}}{2x}$이므로 이 가지의 상은 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$u=x^{2}-\frac{c^{2}}{4x^{2}},\,v=c_{2}\,(0<x<\infty)$$이때 다음이 성립한다.$$\lim_{x\,\rightarrow\,0+}{u}=-\infty,\,\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{u}=\infty$$$u$는 $x$에 관한 연속함수이므로 $z$가 쌍곡선 $2xy=c_{2}$의 위쪽 가지 전체를 따라 아래로 움직이면, 그 상은 수평선 $v=c_{2}$전체를 따라 오른쪽으로 움직인다. 아래쪽 가지의 상($\displaystyle x=\frac{c_{2}}{2y}$)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$u=\frac{c_{2}^{2}}{4y^{2}}-y^{2},\,v=c_{2}\,(-\infty<y<0)$$이때 다음이 성립한다.$$\lim_{y\,\rightarrow\,-\infty}{u}=-\infty,\,\lim_{y\,\rightarrow\,0-}{u}=\infty$$아래쪽 가지 전체를 따라 위로 움직이면, 그 상은 직선 $v=c_{2}$전체를 따라 오른쪽으로 움직인다.

영역 $x>0,\,y>0,\,xy<1$은 $0<c<2$일 때 곡선족 $2xy=c$에 속한 쌍곡선의 위쪽 가지에 놓인 점 전체로 이루어진다.

$xy$평면의 한 점이 가지 중 하나를 따라 아래로 움직이면 변환 $w=z^{2}$에 의한 그 점의 상은 직선 $v=c$전체를 따라 오른쪽으로 움직인다. $0<c<2$인 모든 $c$에 대해 이런 가지들은 영역 $x>0$, $y>0$, $xy<1$을 완전히 채우므로, 그 영역은 수평 띠 $0<y<2$위로 사상된다.

사상 $w=z^{2}$는 $z=iy$를 $w=-y^{2}$로 사상한다. 그러므로 $z$가 $y$축을 따라 원점을 향해 아래로 움직이면 그 상은 $uv$평면에서 음의 $u$축을 따라 오른쪽으로 움직여 원점에 도착한다. 같은 방법으로 $z=x$는 $w=x^{2}$로 사상되므로 $z$가 $x$축을 따라 원점으로부터 오른쪽으로 움직이면 그 상은 $u$축을 따라 오른쪽으로 움직인다. 쌍곡선 $xy=1$의 위쪽 가지의 상은 수평선 $v=2$이다. 이 사실로부터 닫힌구역 $x\geq0$, $y\geq0$, $xy\leq1$은 닫힌 띠 $0\leq v\leq2$위로 사상된다.

$z=re^{i\theta}$일 때 사상 $w=z^{2}$는 $w=r^{2}e^{i2\theta}$로 나타낼 수 있다. 원 $r=r_{0}$에 있는 점 $z=r_{0}e^{i\theta}$은 원 $\rho=r_{0}^{2}$에 있는 점 $w=r_{0}^{2}e^{i2\theta}$로 사상된다. 그러므로 $w=\rho e^{\phi}$라고 하면 $\rho=r^{2}$, $\phi=2\theta$이다.

따라서 변환 $w=z^{2}$은 위의 그림에 나타낸대로 $xy$평면의 1사분면 $r\geq0$, $\displaystyle0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$를 $uv$평면의 상반평면 $\rho\geq0$, $0\leq\phi\leq\pi$로 보내는 일대일 사상이다. 점 $z=0$은 점 $w=0$으로 사상된다. 변환 $w=z^{2}$에 의해 $xy$평면의 상반평면 $r\geq0$, $0\leq\theta\leq\pi$가 $uv$평면 전체로 사상되나 일대일은 아니다. 그 이유는 $xy$평면의 양의 실수축과 음의 실수축이 모두 $uv$평면의 양의 실수축 위로 사상되기 때문이다.

변환 $w=e^{z}$는 $z=x+iy$이므로 $w=e^{z}=e^{x}e^{iy}$로 나타낼 수 있고, $\rho=e^{x}$, $\phi=y$로 나타낼 수 있다. 이때 연직선 $x=c_{1}$(실선)상의 점 $z=c_{1}+iy$는 $w=e^{c_{1}}e^{iy}$로 사상되고, 그 상은 반지름이 $e^{c_{1}}$인 원이며 이 원의 각 점들은 연직선을 따라 $2\pi$만큼 떨어져 있는 무수히 많은 점들의 사상이다.

수평선 $y=c_{2}$(점선)상의 점 $z=x+ic_{2}$는 $w=e^{x}e^{ic_{2}}$로 사상되고, 그 상은 반직선 $\phi=c_{2}$전체를 따라 바깥쪽으로 움직인다.