[복소해석학-대학원] 2. 사상(2)

[복소해석학-대학원] 2. 사상(2)

0이 아닌 복소상수 $A$와 $z\neq0$에 대해 사상 $w=Az$로 정의하고 다음과 같이 지수형식으로 나타내면 $$A=ae^{i\alpha},\,z=re^{i\theta}$$ 사상 $w$를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$w=(ar)e^{i(\alpha+\theta)}$$ 변환 $w=Az$는 $z$를 나타내는 벡터를 인자 $a=|A|$만큼 신축(확대 또는 축소)한 다음에 원점을 중심으로 각 $\alpha$만큼 회전시킴을 알 수 있다. 그러므로 주어진 구역의 상은 기하학적으로 원래의 구역과 닮은 도형이다. 

임의의 복소상수 $B$에 대해 사상 $w=z+B$로 정의하면 이 사상은 $B$를 나타내는 벡터 만큼의 평행이동이다. $$w=u+iv,\,z=x+iy,\,B=b_{1}+ib_{2}$$ 라고 하면 $$u=x+b_{1},\,v=y+b_{2}$$ 이고, 이 구역의 상은 원래 구역의 상과 합동이다.   

일반적인 다음의 선형변환(linear transformation)을 고려하자. $$w=Az+B\,(A\neq0)$$ 이 변환은 다음의 두 변환의 합성함수이다. $$Z=Az,\,(A\neq0),\,w=Z+B$$ 따라서 $z\neq0$일 때 이 선형변환은 $z$를 나타내는 벡터를 신축(확대 또는 축소)하고 회전시킨 다음 평행이동한다. 

변환 $w=(1+i)z+2$는 다음의 두 변환의 합성이고 $$Z=(1+i)z,\,w=Z+2$$ 다음이 성립하므로 $$1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}},\,z=re^{i\theta}$$ 변환 $Z$를 $\displaystyle Z=\sqrt{2}re^{i\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}$로 나타낼 수 있다. 이 변환은 0이 아닌 점 $z$에 대한 동경벡터를 신축인자 $\sqrt{2}$만큼 확대한 다음 원점을 중심으로 $\displaystyle\frac{\pi}{4}$라디안만큼 반시계방향으로 회전시킨다. 마지막으로 오른쪽으로 2만큼 평행이동한다.

복소함수 $\displaystyle w=\frac{1}{z}$는 $xy$평면과 $uv$평면의 0이 아닌 점 전체의 집합 사이의 일대일대응이다. $z\overline{z}=|z|^{2}$이므로 이 사상은 다음의 두 변환의 합성이다. $$Z=\frac{1}{|z|^{2}}z,\,w=\overline{Z}$$ 변환 $Z$는 단위원 $|z|=1$에 대한 반전이고, $\displaystyle|Z|=\frac{1}{|z|}$, $\text{arg}Z=\text{arg}z$이므로 원 $|z|=1$의 바깥에 있는 점은 원 안에 있는 0이 아닌 점으로 사상되고, 반대로 원 안에 있는 점은 원 바깥의 점으로 사상된다.

이 변환을 $\displaystyle T(z)=\frac{1}{z}\,(z\neq0)$로 나타내자. $$\begin{align*}\lim_{z\,\rightarrow\,0}{T(z)}&=\infty\,\left(\because\,\lim_{z\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{T(z)}}=\lim_{z\,\rightarrow\,0}{z}=0\right)\\ \lim_{z\,\rightarrow\,\infty}{T(z)}&=0\,\left(\because\,\lim_{z\,\rightarrow\,0}{T\left(\frac{1}{z}\right)}=\lim_{z\,\rightarrow\,0}{z}=0\right)\end{align*}$$ 이므로 $T$가 확장 복소평면에서 연속이 되기 위해서는 다음과 같이 나타내면 된다. $$T(z)=\frac{1}{z},\,T(0)=\infty,\,T(\infty)=0$$ 변환 $\displaystyle w=\frac{1}{z}$에 의한 0이 아닌 점 $z=x+iy$의 상을 점 $w=u+iv$라 하고 다음과 같이 나타내자. $$w=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}$$ 그러므로 $$u=\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\,v=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$$ 이고 $$z=\frac{1}{w}=\frac{\overline{w}}{w\overline{w}}=\frac{\overline{w}}{|w|^{2}}$$ 이므로 $$x=\frac{u}{u^{2}+v^{2}},\,y=-\frac{v}{u^{2}+v^{2}}$$ 네 실수 $A,\,B,\,C,\,D$가 조건 $B^{2}+C^{2}>4AD$를 만족시키면 임의의 원 또는 직선을 다음의 방정식으로 나타낼 수 있다. $$A(x^{2}+y^{2})+Bx+Cy+D=0$$ $A\neq0$이면 원이고 $A=0$이면 직선이 되는데 그 이유는 다음과 같다. $$\left(x+\frac{B}{2A}\right)^{2}+\left(y+\frac{C}{2A}\right)^{2}=\left(\frac{\sqrt{B^{2}+C^{2}-4AD}}{2A}\right)^{2}$$ $A=0$일 때 조건은 $B^{2}+C^{2}>0$가 되는데 이것은 $B$와 $C$가 동시에 0이 되지 않음을 뜻한다. $\displaystyle x=\frac{u}{u^{2}+v^{2}}$, $\displaystyle y=-\frac{v}{u^{2}+v^{2}}$이므로 다음의 식이 성립한다. $$D(u^{2}+v^{2})+Bu-Cv+A=0$$ 그러면 다음의 결과들을 얻는다.

-$xy$평면에서 원점을 지나지 않는($D\neq0$) 원($A\neq0$)은 $uv$평면에서 원점으로 지나지 않는 원으로 사상된다.  

-$xy$평면에서 원점을 지나는($D=0$) 원($A\neq0$)은 $uv$평면에서 원점으로 지나지 않는 직선으로 사상된다.  

-$xy$평면에서 원점을 지나지 않는($D\neq0$) 직선($A=0$)은 $uv$평면에서 원점으로 지나는 원으로 사상된다.   

-$xy$평면에서 원점을 지나는($D=0$) 직선($A=0$)은 $uv$평면에서 원점으로 지나는 직선으로 사상된다.   

위의 결과에 의해 연직선 $x=c_{1}\,(c_{1}\neq0)$은 변환 $\displaystyle w=\frac{1}{z}$에 의해 원 $-c_{1}(u^{2}+v^{2})+u=0$, 다음의 원으로 사상된다. $$\left(u-\frac{1}{2c_{1}}\right)^{2}+v^{2}=\left(\frac{1}{2c_{1}}\right)^{2}$$ 이 원은 중심이 $u$축에 있고 $v$축과 접한다. 연직선 상의 점 $z=c_{1}+iy$의 $\displaystyle w=\frac{1}{z}$에 의한 상은 다음과 같다. $$w=u+iv=\frac{c_{1}}{c_{1}^{2}+y^{2}}-i\frac{y}{c_{1}^{2}+y^{2}}$$ $c_{1}>0$이면 원은 $v$축의 오른쪽에 위치한다. $z=c_{1}+iy$가 직선 전체를 따라 아래에서 위로 올라가면 그 상은 원을 시계방향으로 한 바퀴 회전한다. 확장 $z$평면에서 무한원점은 $w$평면의 원점과 대응한다. $y<0$이면 $v>0$이고 $y$값이 음수를 취하면서 0에 가까워지면 $u$의 값은 0부터 $\displaystyle\frac{1}{c_{1}}$까지 증가한다. 반대로 $y$가 양수를 취하면서 0에 가까워지면 $v<0$이고 $u$는 0으로 감소한다.

$c_{1}<0$이면 이 원은 $v$축의 왼쪽에 위치하고 $z=c_{1}+iy$가 연직선을 따라 아래에서 위로 올라가면, 그 상은 여전히 원이지만 반시계방향으로 회전한다.

수평선 $y=c_{2}\,(c_{2}\neq0)$는 사상 $\displaystyle w=\frac{1}{z}$는 다음의 원 위로 사상된다. $$u^{2}+\left(v+\frac{1}{2c_{2}}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2c_{2}}\right)^{2}$$ 이 원은 중심이 $v$축에 있고 $u$축과 접한다. 

변환 $\displaystyle w=\frac{1}{z}$에 의해 반평면 $x\geq c_{1}\,(c_{1}>0)$은 다음의 원판 위로 사상되는데 $$\left(u-\frac{1}{2c_{1}}\right)^{2}+v^{2}\leq\left(\frac{1}{2c_{1}}\right)^{2}$$ 그 이유는 임의의 직선 $x=c\,(c\geq c_{1})$가 다음의 원으로 사상되고 $$\left(u-\frac{1}{2c}\right)^{2}+v^{2}=\left(\frac{1}{2c}\right)^{2}$$ $c$가 $c_{1}$보다 큰 값을 취하면서 증가하면 직선 $x=c$들은 오른쪽으로 움직이고 그 상인 원의 크기는 줄어든다.

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill