[복소해석학-대학원] 2. 사상(2)

[복소해석학-대학원] 2. 사상(2)

0이 아닌 복소상수 \(A\)와 \(z\neq0\)에 대해 사상 \(w=Az\)로 정의하고 다음과 같이 지수형식으로 나타내면$$A=ae^{i\alpha},\,z=re^{i\theta}$$사상 \(w\)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$w=(ar)e^{i(\alpha+\theta)}$$변환 \(w=Az\)는 \(z\)를 나타내는 벡터를 인자 \(a=|A|\)만큼 신축(확대 또는 축소)한 다음에 원점을 중심으로 각 \(\alpha\)만큼 회전시킴을 알 수 있다. 그러므로 주어진 구역의 상은 기하학적으로 원래의 구역과 닮은 도형이다. 

임의의 복소상수 \(B\)에 대해 사상 \(w=z+B\)로 정의하면 이 사상은 \(B\)를 나타내는 벡터 만큼의 평행이동이다.$$w=u+iv,\,z=x+iy,\,B=b_{1}+ib_{2}$$라고 하면$$u=x+b_{1},\,v=y+b_{2}$$이고, 이 구역의 상은 원래 구역의 상과 합동이다.   

일반적인 다음의 선형변환(linear transformation)을 고려하자.$$w=Az+B\,(A\neq0)$$이 변환은 다음의 두 변환의 합성함수이다.$$Z=Az,\,(A\neq0),\,w=Z+B$$따라서 \(z\neq0\)일 때 이 선형변환은 \(z\)를 나타내는 벡터를 신축(확대 또는 축소)하고 회전시킨 다음 평행이동한다. 

변환 \(w=(1+i)z+2\)는 다음의 두 변환의 합성이고$$Z=(1+i)z,\,w=Z+2$$다음이 성립하므로$$1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}},\,z=re^{i\theta}$$변환 \(Z\)를 \(\displaystyle Z=\sqrt{2}re^{i\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}\)로 나타낼 수 있다. 이 변환은 0이 아닌 점 \(z\)에 대한 동경벡터를 신축인자 \(\sqrt{2}\)만큼 확대한 다음 원점을 중심으로 \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\)라디안만큼 반시계방향으로 회전시킨다. 마지막으로 오른쪽으로 2만큼 평행이동한다.

복소함수 \(\displaystyle w=\frac{1}{z}\)는 \(xy\)평면과 \(uv\)평면의 0이 아닌 점 전체의 집합 사이의 일대일대응이다. \(z\overline{z}=|z|^{2}\)이므로 이 사상은 다음의 두 변환의 합성이다.$$Z=\frac{1}{|z|^{2}}z,\,w=\overline{Z}$$변환 \(Z\)는 단위원 \(|z|=1\)에 대한 반전이고, \(\displaystyle|Z|=\frac{1}{|z|}\), \(\text{arg}Z=\text{arg}z\)이므로 원 \(|z|=1\)의 바깥에 있는 점은 원 안에 있는 0이 아닌 점으로 사상되고, 반대로 원 안에 있는 점은 원 바깥의 점으로 사상된다.

이 변환을 \(\displaystyle T(z)=\frac{1}{z}\,(z\neq0)\)로 나타내자.$$\begin{align*}\lim_{z\,\rightarrow\,0}{T(z)}&=\infty\,\left(\because\,\lim_{z\,\rightarrow\,0}{\frac{1}{T(z)}}=\lim_{z\,\rightarrow\,0}{z}=0\right)\\ \lim_{z\,\rightarrow\,\infty}{T(z)}&=0\,\left(\because\,\lim_{z\,\rightarrow\,0}{T\left(\frac{1}{z}\right)}=\lim_{z\,\rightarrow\,0}{z}=0\right)\end{align*}$$이므로 \(T\)가 확장 복소평면에서 연속이 되기 위해서는 다음과 같이 나타내면 된다.$$T(z)=\frac{1}{z},\,T(0)=\infty,\,T(\infty)=0$$변환 \(\displaystyle w=\frac{1}{z}\)에 의한 0이 아닌 점 \(z=x+iy\)의 상을 점 \(w=u+iv\)라 하고 다음과 같이 나타내자.$$w=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{|z|^{2}}$$그러므로$$u=\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\,v=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$$이고$$z=\frac{1}{w}=\frac{\overline{w}}{w\overline{w}}=\frac{\overline{w}}{|w|^{2}}$$이므로$$x=\frac{u}{u^{2}+v^{2}},\,y=-\frac{v}{u^{2}+v^{2}}$$네 실수 \(A,\,B,\,C,\,D\)가 조건 \(B^{2}+C^{2}>4AD\)를 만족시키면 임의의 원 또는 직선을 다음의 방정식으로 나타낼 수 있다.$$A(x^{2}+y^{2})+Bx+Cy+D=0$$\(A\neq0\)이면 원이고 \(A=0\)이면 직선이 되는데 그 이유는 다음과 같다.$$\left(x+\frac{B}{2A}\right)^{2}+\left(y+\frac{C}{2A}\right)^{2}=\left(\frac{\sqrt{B^{2}+C^{2}-4AD}}{2A}\right)^{2}$$\(A=0\)일 때 조건은 \(B^{2}+C^{2}>0\)가 되는데 이것은 \(B\)와 \(C\)가 동시에 0이 되지 않음을 뜻한다. \(\displaystyle x=\frac{u}{u^{2}+v^{2}}\), \(\displaystyle y=-\frac{v}{u^{2}+v^{2}}\)이므로 다음의 식이 성립한다.$$D(u^{2}+v^{2})+Bu-Cv+A=0$$그러면 다음의 결과들을 얻는다.

-\(xy\)평면에서 원점을 지나지 않는(\(D\neq0\)) 원(\(A\neq0\))은 \(uv\)평면에서 원점으로 지나지 않는 원으로 사상된다.  

-\(xy\)평면에서 원점을 지나는(\(D=0\)) 원(\(A\neq0\))은 \(uv\)평면에서 원점으로 지나지 않는 직선으로 사상된다.  

-\(xy\)평면에서 원점을 지나지 않는(\(D\neq0\)) 직선(\(A=0\))은 \(uv\)평면에서 원점으로 지나는 원으로 사상된다.   

-\(xy\)평면에서 원점을 지나는(\(D=0\)) 직선(\(A=0\))은 \(uv\)평면에서 원점으로 지나는 직선으로 사상된다.   

위의 결과에 의해 연직선 \(x=c_{1}\,(c_{1}\neq0)\)은 변환 \(\displaystyle w=\frac{1}{z}\)에 의해 원 \(-c_{1}(u^{2}+v^{2})+u=0\), 다음의 원으로 사상된다.$$\left(u-\frac{1}{2c_{1}}\right)^{2}+v^{2}=\left(\frac{1}{2c_{1}}\right)^{2}$$이 원은 중심이 \(u\)축에 있고 \(v\)축과 접한다. 연직선 상의 점 \(z=c_{1}+iy\)의 \(\displaystyle w=\frac{1}{z}\)에 의한 상은 다음과 같다.$$w=u+iv=\frac{c_{1}}{c_{1}^{2}+y^{2}}-i\frac{y}{c_{1}^{2}+y^{2}}$$\(c_{1}>0\)이면 원은 \(v\)축의 오른쪽에 위치한다. \(z=c_{1}+iy\)가 직선 전체를 따라 아래에서 위로 올라가면 그 상은 원을 시계방향으로 한 바퀴 회전한다. 확장 \(z\)평면에서 무한원점은 \(w\)평면의 원점과 대응한다. \(y<0\)이면 \(v>0\)이고 \(y\)값이 음수를 취하면서 0에 가까워지면 \(u\)의 값은 0부터 \(\displaystyle\frac{1}{c_{1}}\)까지 증가한다. 반대로 \(y\)가 양수를 취하면서 0에 가까워지면 \(v<0\)이고 \(u\)는 0으로 감소한다.

\(c_{1}<0\)이면 이 원은 \(v\)축의 왼쪽에 위치하고 \(z=c_{1}+iy\)가 연직선을 따라 아래에서 위로 올라가면, 그 상은 여전히 원이지만 반시계방향으로 회전한다.

수평선 \(y=c_{2}\,(c_{2}\neq0)\)는 사상 \(\displaystyle w=\frac{1}{z}\)는 다음의 원 위로 사상된다.$$u^{2}+\left(v+\frac{1}{2c_{2}}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2c_{2}}\right)^{2}$$이 원은 중심이 \(v\)축에 있고 \(u\)축과 접한다. 

변환 \(\displaystyle w=\frac{1}{z}\)에 의해 반평면 \(x\geq c_{1}\,(c_{1}>0)\)은 다음의 원판 위로 사상되는데$$\left(u-\frac{1}{2c_{1}}\right)^{2}+v^{2}\leq\left(\frac{1}{2c_{1}}\right)^{2}$$그 이유는 임의의 직선 \(x=c\,(c\geq c_{1})\)가 다음의 원으로 사상되고$$\left(u-\frac{1}{2c}\right)^{2}+v^{2}=\left(\frac{1}{2c}\right)^{2}$$\(c\)가 \(c_{1}\)보다 큰 값을 취하면서 증가하면 직선 \(x=c\)들은 오른쪽으로 움직이고 그 상인 원의 크기는 줄어든다.

참고자료:

Complex Variables and Applications 8th edition, Brown, Churchill, McGraw-Hill