[집합론] 8. 관계와 함수(3. 함수)
"함수란 집합(정의역)의 각 원소 x에 또하나의 집합(공역)의 원소 y가 하나씩 대응하는 규칙이다."
공집합이 아닌 두 집합 X,Y에 대하여 X에서 Y로의 함수는 하나의 세 쌍 (f,X,Y)이고 여기서 f는 다음의 두 조건을 만족하는 X에서 Y로의 관계이다.
(a) Dom(f)=X, (b) (x,y)∈f∧(x,z)∈f⇒y=z
함수를 나타내는 기호로서 앞에서 언급했던 (f,X,Y) 대신 f:X→Y로 나타내거나 (x,y)∈f 대신 y=f(x)로 나타낸다. 함수 f에 따라 각 x∈X에 대한 y∈Y가 하나씩 정해진다.
함수 f:X→Y에 대하여 y=f(x)일 때 y를 f에 따른 x에서의 상(함숫값, image)이라 하고, x는 f에 따른 y의 원상(preimage)이라고 한다.
함수 f:X→Y에 대하여 집합 Y를 f의 공역(codomain)이라고 한다. 대체로 함수의 공역은 치역(상, range) {f(x)|x∈X}과 같지 않을 수 있다. 예를들어 각 x∈R에 대한 [x]는 x보다 크지 않은 실수 중 가장 큰 정수를 나타내는 기호로[√2]=[−12]=−1,[−5]=−5,[0]=0,[1]=1이고 f(x)=[x]로 정의된 함수 f:R→R의 공역은 실수 전체의 집합 R이지만 치역은 정수 전체의 집합 Z이다.
함수 f:X→Y에 대하여 W가 f의 공역 Y를 포함하는 집합일 때, X, W를 각각 정의역, 공역으로 하는 함수 g:X→W를 얻는다.
증명: 우선 g가 X에서 W로의 관계라는 것을 증명한다.(x,y)∈g⇒x∈X∧y∈Im(g)⇒x∈x∧y∈W⇒(x,y)∈X×W그러므로 (x,y)∈g⇒(x,y)∈X×W이고 따라서 g⊂X×W, 즉 f는 X에서 W로의 관계이다. 그런데 가정에서 f는 함수이므로 Dom(f)=X=Dom(g)이다. 함수 g는 함수의 정의에서의 (b)를 만족하므로 따라서 g:X→W는 함수이다.
두 함수 f:X→Y, g:X→Y에 대하여 다음이 성립한다.∀x∈X,f(x)=g(x)⇔f=g
증명:
(⇐): f=g이면 임의의 x∈X에 대하여y=f(x)⇔(x,y)∈f⇔(x,y)∈g⇔y=g(x)이므로 y=f(x)⇔y=g(x)이고 따라서 f(x)=g(x)이다.
(⇒): 모든 x∈X에 대하여 f(x)=g(x)이면(x,y)∈f⇔y=f(x)⇔y=g(x)⇔(x,y)∈g이므로 (x,y)∈f⇔(x,y)∈g이고 따라서 f=g이다.
예: 집합 X의 부분집합 A에 대한 순서쌍의 집합 {(x,y)|y=1ifx∈Aandy=0ifx∉A}에 따라 X에서 {0,1}로의 함수를 얻고 이 함수를 X에서 A의 특성함수(characteristic function)라 하고 χA로 나타낸다. 즉χA(x)={1,(x∈A)0,(x∉A)예: 집합 X위의 항등관계 Δx는 X에서 자신으로의 함수로 IX:X→X로 나타내며 모든 x∈X에 대해 IX(x)=x이다. 이 함수 IX를 집합 X위의 항등함수(identity function)라고 한다.
예: 두 집합 X,Y가 각각 공집합이 아닌 집합일 때 Y의 일정한 원소 b에 대한 순서쌍의 집합 Cb={(x,b)|x∈X}는 집합 X에서 Y로의 하나의 관계이다. 이 관계에 따라 임의의 x∈X에 대하여 Cb(x)=b로 정의된 함수 Cb:X→Y를 얻고, 이 함수 Cb를 상수함수(constant function)라고 한다.
두 함수 f:A→C, g:B→D에서 정의역의 교집합 A∩B의 임의의 원소 x에 대하여 f(x)=g(x)일 때 f,g의 합 f∪g는 다음과 같이 정의된 함수 h:A∪B→C∪B와 같다.h(x)={f(x),(x∈A)g(x),(x∈B)
증명: 함수 f,g는 각각 관계 f⊂A×C, g⊂B×D이므로 h=f∪g⊂(A×C)∪(B×D)이다(∵A×C,B×D⊂(A∪B)×(C∪D)). 따라서 h⊂(A∪B)×(C∪D)이고 h는 A∪B에서 C∪D로의 관계이다.
Dom(h)=Dom(f∪g)=Dom(f)∪Dom(g)=A∪B 즉, Dom(h)=A∪B이다.
이제 각 원소 에 대한 다음의 세 가지 경우에 대해 알아보면 된다.(1)x∈A−B,(2)x∈B−A,(3)x∈A∩B여기서 f:A→C, g:B→D는 모두 임의의 x∈A∩B에 대해 f(x)=g(x)이므로 위의 어느 경우에나 h(x)는 유일하게 정의된다. 또한 h는 함수의 정의의 조건들을 모두 만족하므로 따라서 h는 함수이다.
함수 f:X→Y[y=f(x)]에 대하여 y는 f에 따른 x의 상이고 x는 f에 따른 y의 원상이다.
함수 f:X→Y에 대하여 A,B가 각각 X,Y의 부분집합 일 때
(a) 각 x∈A의 상 f(x)의 집합을 f에 따른 A의 상(image)이라 하고 f[A]={f(x)|x∈A}로 나타낸다.
(b) 원소 y∈B의 원상의 집합을 f에 따른 B의 역상(inverse image)이라 하고 f−1[B]={x|f(x)∈B}로 나타낸다.
함수 f:X→Y에 대하여 다음이 성립한다.
(a) f[ϕ]=ϕ (b) ∀x∈X,f[{x}]={f(x)}
(c) A⊂B∧B⊂X이면 f[A]⊂f[B] (d) C⊂D∧D⊂Y이면 f−1[C]⊂f−1[D]
이 정리의 증명은 위의 정의를 이용하여 쉽게 보일 수 있다.
함수 f:X→Y에 있어서 정의역 X의 부분집합의 족 {Aγ|γ∈Γ}에 대하여 다음이 성립한다.
(a) f[⋃γ∈Γf[Aγ]]=⋃γ∈Γf[Aγ] (b) f[⋂γ∈Γf[Aγ]]⊂⋂γ∈Γf[Aγ]
증명:
(a):y∈f[⋃γ∈Γf[Aγ]]⇔∃x∈⋃γ∈ΓAγ,y=f(x)⇔∃γ∈Γ,∃x∈Aγ,y=f(x)⇔∃γ∈Γ,y=f[Aγ]⇔y∈⋃γ∈Γf[Aγ]이므로 y∈f[⋃γ∈ΓAγ]⇔y∈⋃γ∈Γf[Aγ]이고 따라서 f[⋃γ∈ΓAγ]=⋃γ∈Γf[Aγ]이다.
(b) 각 γ∈Γ에 대하여 ⋂γ∈ΓAγ⊂Aγ이므로 f[⋂γ∈ΓAγ]⊂f[Aγ]이고 따라서 f[⋂γ∈ΓAγ]⊂⋂γ∈Γf[Aγ]이다.
위의 정리에서 X={a,b},Y={c},A1={a},A2={b}라 하자. 상수함수 f:X→Y, f(a)=f(b)=c에 대하여 f[A1∩A2]=f[ϕ]=ϕ이고 f[A1]∩f[A2]={c}∩{c}={c}이므로 f[A1∩A2]≠f[A1]∩f[A2]이다. 이것은 위의 정리에서 (b)의 등호가 일반적으로 성립하지 않음을 보여준다.
함수 f:X→Y에서의 치역 Y의 부분집합족 {Bγ|γ∈Γ}에 대하여 다음이 성립한다.
(a) f−1[⋃γ∈ΓBγ]=⋃γ∈Γf−1[Bγ] (b) f−1[⋂γ∈ΓBγ]=⋂γ∈Γf−1[Bγ]
증명:
(a):x∈f−1[⋃γ∈ΓBγ]⇔f(x)∈⋃γ∈ΓBγ⇔∃γ∈Γ,f(x)∈Bγ⇔∃γ∈Γ,x∈f−1[Bγ]⇔x∈⋃γ∈Γf−1[Bγ]그러므로 x∈f−1[⋃γ∈ΓBγ]⇔x∈⋃γ∈Γf−1[Bγ]이고 따라서 f−1[⋃γ∈ΓBγ]=⋃γ∈Γf−1[Bγ]
(b): (a)의 증명에서 합집합을 교집합으로, ∃를 ∀로 바꾸면 된다.
함수 f:X→Y에서의 공역 Y의 임의의 부분집합 B,C에 대하여 f−1[B−C]=f−1[B]−f−1[C]이다.
증명:x∈f−1[B−C]⇔f(x)∈B−C⇔f(x)∈B∧f(x)∉C⇔x∈f−1[B]∧x∉f−1[C]⇔x∈[f−1[B]−f−1[C]]그러므로 x∈f−1[B−C]⇔x∈[f−1[B]−f−1[C]]이고 따라서 f−1[B−C]=f−1[B]−f−1[C]이다.
*집합 X,Y의 데카르트곱 X×Y의 원소 (x,y)에 대하여 πX(x,y)=x, πY(x,y)=y로 정의되는 함수 πX,πY를 각각 X-사영(projection), Y-사영(projection)이라고 한다. X에서 Y로의 관계 R에 대하여 πX(R)=Dom(R), πY(R)=Im(R)이 성립한다.
참고자료:
집합론, You-Feng Lin, Shwu-Yeng T. Lin 저, 이흥천 옮김, 경문사
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