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[집합론] 8. 관계와 함수(3. 함수)



"함수란 집합(정의역)의 각 원소 x에 또하나의 집합(공역)의 원소 y가 하나씩 대응하는 규칙이다."


공집합이 아닌 두 집합 X,Y에 대하여 X에서 Y로의 함수는 하나의 세 쌍 (f,X,Y)이고 여기서 f는 다음의 두 조건을 만족하는 X에서 Y로의 관계이다.

(a) Dom(f)=X, (b) (x,y)f(x,z)fy=z


함수를 나타내는 기호로서 앞에서 언급했던 (f,X,Y) 대신 f:XY로 나타내거나 (x,y)f 대신 y=f(x)로 나타낸다. 함수 f에 따라 각 xX에 대한 yY가 하나씩 정해진다.


함수 f:XY에 대하여 y=f(x)일 때 yf에 따른 x에서의 상(함숫값, image)이라 하고, xf에 따른 y의 원상(preimage)이라고 한다.


함수 f:XY에 대하여 집합 Yf의 공역(codomain)이라고 한다. 대체로 함수의 공역은 치역(상, range) {f(x)|xX}과 같지 않을 수 있다. 예를들어 각 xR에 대한 [x]x보다 크지 않은 실수 중 가장 큰 정수를 나타내는 기호로[2]=[12]=1,[5]=5,[0]=0,[1]=1이고 f(x)=[x]로 정의된 함수 f:RR의 공역은 실수 전체의 집합 R이지만 치역은 정수 전체의 집합 Z이다.


함수 f:XY에 대하여 Wf의 공역 Y를 포함하는 집합일 때, X, W를 각각 정의역, 공역으로 하는 함수 g:XW를 얻는다.

증명: 우선 gX에서 W로의 관계라는 것을 증명한다.(x,y)gxXyIm(g)xxyW(x,y)X×W그러므로 (x,y)g(x,y)X×W이고 따라서 gX×W, 즉 fX에서 W로의 관계이다. 그런데 가정에서 f는 함수이므로 Dom(f)=X=Dom(g)이다. 함수 g는 함수의 정의에서의 (b)를 만족하므로 따라서 g:XW는 함수이다.  


두 함수 f:XY, g:XY에 대하여 다음이 성립한다.xX,f(x)=g(x)f=g

증명:

(): f=g이면 임의의 xX에 대하여y=f(x)(x,y)f(x,y)gy=g(x)이므로 y=f(x)y=g(x)이고 따라서 f(x)=g(x)이다. 

(): 모든 xX에 대하여 f(x)=g(x)이면(x,y)fy=f(x)y=g(x)(x,y)g이므로 (x,y)f(x,y)g이고 따라서 f=g이다.


예: 집합 X의 부분집합 A에 대한 순서쌍의 집합 {(x,y)|y=1ifxAandy=0ifxA}에 따라 X에서 {0,1}로의 함수를 얻고 이 함수를 X에서 A의 특성함수(characteristic function)라 하고 χA로 나타낸다. 즉χA(x)={1,(xA)0,(xA)예: 집합 X위의 항등관계 ΔxX에서 자신으로의 함수로 IX:XX로 나타내며 모든 xX에 대해 IX(x)=x이다. 이 함수 IX를 집합 X위의 항등함수(identity function)라고 한다.


예: 두 집합 X,Y가 각각 공집합이 아닌 집합일 때 Y의 일정한 원소 b에 대한 순서쌍의 집합 Cb={(x,b)|xX}는 집합 X에서 Y로의 하나의 관계이다. 이 관계에 따라 임의의 xX에 대하여 Cb(x)=b로 정의된 함수 Cb:XY를 얻고, 이 함수 Cb를 상수함수(constant function)라고 한다. 


두 함수 f:AC, g:BD에서 정의역의 교집합 AB의 임의의 원소 x에 대하여 f(x)=g(x)일 때 f,g의 합 fg는 다음과 같이 정의된 함수 h:ABCB와 같다.h(x)={f(x),(xA)g(x),(xB)  

증명: 함수 f,g는 각각 관계 fA×C, gB×D이므로 h=fg(A×C)(B×D)이다(A×C,B×D(AB)×(CD)). 따라서 h(AB)×(CD)이고 hAB에서 CD로의 관계이다. 

Dom(h)=Dom(fg)=Dom(f)Dom(g)=AB 즉, Dom(h)=AB이다.

이제 각 원소 에 대한 다음의 세 가지 경우에 대해 알아보면 된다.(1)xAB,(2)xBA,(3)xAB여기서 f:AC, g:BD는 모두 임의의 xAB에 대해 f(x)=g(x)이므로 위의 어느 경우에나 h(x)는 유일하게 정의된다. 또한 h는 함수의 정의의 조건들을 모두 만족하므로 따라서 h는 함수이다.  

 

함수 f:XY[y=f(x)]에 대하여 yf에 따른 x의 상이고 xf에 따른 y의 원상이다. 


함수 f:XY에 대하여 A,B가 각각 X,Y의 부분집합 일 때  

(a) 각 xA의 상 f(x)의 집합을 f에 따른 A의 상(image)이라 하고 f[A]={f(x)|xA}로 나타낸다. 

(b) 원소 yB의 원상의 집합을 f에 따른 B의 역상(inverse image)이라 하고 f1[B]={x|f(x)B}로 나타낸다. 


함수 f:XY에 대하여 다음이 성립한다. 

(a) f[ϕ]=ϕ (b) xX,f[{x}]={f(x)}

(c) ABBX이면 f[A]f[B] (d) CDDY이면 f1[C]f1[D] 

이 정리의 증명은 위의 정의를 이용하여 쉽게 보일 수 있다.


함수 f:XY에 있어서 정의역 X의 부분집합의 족 {Aγ|γΓ}에 대하여 다음이 성립한다.

(a) f[γΓf[Aγ]]=γΓf[Aγ] (b) f[γΓf[Aγ]]γΓf[Aγ] 

증명:

(a):yf[γΓf[Aγ]]xγΓAγ,y=f(x)γΓ,xAγ,y=f(x)γΓ,y=f[Aγ]yγΓf[Aγ]이므로 yf[γΓAγ]yγΓf[Aγ]이고 따라서 f[γΓAγ]=γΓf[Aγ]이다. 

(b) 각 γΓ에 대하여 γΓAγAγ이므로 f[γΓAγ]f[Aγ]이고 따라서 f[γΓAγ]γΓf[Aγ]이다.


위의 정리에서 X={a,b},Y={c},A1={a},A2={b}라 하자. 상수함수 f:XY, f(a)=f(b)=c에 대하여 f[A1A2]=f[ϕ]=ϕ이고 f[A1]f[A2]={c}{c}={c}이므로 f[A1A2]f[A1]f[A2]이다. 이것은 위의 정리에서 (b)의 등호가 일반적으로 성립하지 않음을 보여준다.

 

함수 f:XY에서의 치역 Y의 부분집합족 {Bγ|γΓ}에 대하여 다음이 성립한다.

(a) f1[γΓBγ]=γΓf1[Bγ] (b) f1[γΓBγ]=γΓf1[Bγ]

명:

(a):xf1[γΓBγ]f(x)γΓBγγΓ,f(x)BγγΓ,xf1[Bγ]xγΓf1[Bγ]그러므로 xf1[γΓBγ]xγΓf1[Bγ]이고 따라서 f1[γΓBγ]=γΓf1[Bγ]

(b): (a)의 증명에서 합집합을 교집합으로, 로 바꾸면 된다. 


함수 f:XY에서의 공역 Y의 임의의 부분집합 B,C에 대하여 f1[BC]=f1[B]f1[C]이다.

증명:xf1[BC]f(x)BCf(x)Bf(x)Cxf1[B]xf1[C]x[f1[B]f1[C]]그러므로 xf1[BC]x[f1[B]f1[C]]이고 따라서 f1[BC]=f1[B]f1[C]이다.


*집합 X,Y의 데카르트곱 X×Y의 원소 (x,y)에 대하여 πX(x,y)=x, πY(x,y)=y로 정의되는 함수 πX,πY를 각각 X-사영(projection), Y-사영(projection)이라고 한다. X에서 Y로의 관계 R에 대하여 πX(R)=Dom(R), πY(R)=Im(R)이 성립한다.


참고자료:

집합론, You-Feng Lin, Shwu-Yeng T. Lin 저, 이흥천 옮김, 경문사 

   

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Posted by skywalker222