[집합론] 8. 관계와 함수(3. 함수)

[집합론] 8. 관계와 함수(3. 함수)

"함수란 집합(정의역)의 각 원소 \(x\)에 또하나의 집합(공역)의 원소 \(y\)가 하나씩 대응하는 규칙이다."

공집합이 아닌 두 집합 \(X,\,Y\)에 대하여 \(X\)에서 \(Y\)로의 함수는 하나의 세 쌍 \((f,\,X,\,Y)\)이고 여기서 \(f\)는 다음의 두 조건을 만족하는 \(X\)에서 \(Y\)로의 관계이다.

(a) \(\text{Dom}(f)=X\), (b) \((x,\,y)\in f\wedge(x,\,z)\in f\,\Rightarrow\,y=z\)

함수를 나타내는 기호로서 앞에서 언급했던 \((f,\,X,\,Y)\) 대신 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)로 나타내거나 \((x,\,y)\in f\) 대신 \(y=f(x)\)로 나타낸다. 함수 \(f\)에 따라 각 \(x\in X\)에 대한 \(y\in Y\)가 하나씩 정해진다.

함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)에 대하여 \(y=f(x)\)일 때 \(y\)를 \(f\)에 따른 \(x\)에서의 상(함숫값, image)이라 하고, \(x\)는 \(f\)에 따른 \(y\)의 원상(preimage)이라고 한다.

함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)에 대하여 집합 \(Y\)를 \(f\)의 공역(codomain)이라고 한다. 대체로 함수의 공역은 치역(상, range) \(\{f(x)\,|\,x\in X\}\)과 같지 않을 수 있다. 예를들어 각 \(x\in\mathbb{R}\)에 대한 \([x]\)는 \(x\)보다 크지 않은 실수 중 가장 큰 정수를 나타내는 기호로$$[\sqrt{2}]=\,\,\left[-\frac{1}{2}\right]=-1,\,[-5]=-5,\,[0]=0,\,[1]=1$$이고 \(f(x)=[x]\)로 정의된 함수 \(f:\,\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)의 공역은 실수 전체의 집합 \(\mathbb{R}\)이지만 치역은 정수 전체의 집합 \(\mathbb{Z}\)이다.

함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)에 대하여 \(W\)가 \(f\)의 공역 \(Y\)를 포함하는 집합일 때, \(X\), \(W\)를 각각 정의역, 공역으로 하는 함수 \(g:\,X\,\rightarrow\,W\)를 얻는다.

증명: 우선 \(g\)가 \(X\)에서 \(W\)로의 관계라는 것을 증명한다.$$\begin{align*}(x,\,y)\in g\,&\Rightarrow\,x\in X\wedge y\in\text{Im}(g)\\&\Rightarrow\,x\in x\wedge y\in W\\&\Rightarrow\,(x,\,y)\in X\times W\end{align*}$$그러므로 \((x,\,y)\in g\,\Rightarrow\,(x,\,y)\in X\times W\)이고 따라서 \(g\subset X\times W\), 즉 \(f\)는 \(X\)에서 \(W\)로의 관계이다. 그런데 가정에서 \(f\)는 함수이므로 \(\text{Dom}(f)=X=\text{Dom}(g)\)이다. 함수 \(g\)는 함수의 정의에서의 (b)를 만족하므로 따라서 \(g\,:\,X\,\rightarrow\,W\)는 함수이다.  

두 함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\), \(g:\,X\,\rightarrow\,Y\)에 대하여 다음이 성립한다.$$\forall x\in X,\,f(x)=g(x)\,\Leftrightarrow\,f=g$$

증명:

\((\Leftarrow)\): \(f=g\)이면 임의의 \(x\in X\)에 대하여$$\begin{align*}y=f(x)\,&\Leftrightarrow\,(x,\,y)\in f\\&\Leftrightarrow\,(x,\,y)\in g\\&\Leftrightarrow\,y=g(x)\end{align*}$$이므로 \(y=f(x)\,\Leftrightarrow\,y=g(x)\)이고 따라서 \(f(x)=g(x)\)이다. 

\((\Rightarrow)\): 모든 \(x\in X\)에 대하여 \(f(x)=g(x)\)이면$$\begin{align*}(x,\,y)\in f\,&\Leftrightarrow\,y=f(x)\\&\Leftrightarrow\,y=g(x)\\&\Leftrightarrow\,(x,\,y)\in g\end{align*}$$이므로 \((x,\,y)\in f\,\Leftrightarrow\,(x,\,y)\in g\)이고 따라서 \(f=g\)이다.

예: 집합 \(X\)의 부분집합 \(A\)에 대한 순서쌍의 집합 \(\{(x,\,y)\,|\,y=1\,\text{if}\,x\in A\,\text{and}\,y=0\,\text{if}\,x\notin A\}\)에 따라 \(X\)에서 \(\{0,\,1\}\)로의 함수를 얻고 이 함수를 \(X\)에서 \(A\)의 특성함수(characteristic function)라 하고 \(\chi_{A}\)로 나타낸다. 즉$$\chi_{A}(x)=\begin{cases}1,\,&(x\in A)\\0,\,&(x\notin A)\end{cases}$$예: 집합 \(X\)위의 항등관계 \(\Delta x\)는 \(X\)에서 자신으로의 함수로 \(I_{X}:\,X\,\rightarrow\,X\)로 나타내며 모든 \(x\in X\)에 대해 \(I_{X}(x)=x\)이다. 이 함수 \(I_{X}\)를 집합 \(X\)위의 항등함수(identity function)라고 한다.

예: 두 집합 \(X,\,Y\)가 각각 공집합이 아닌 집합일 때 \(Y\)의 일정한 원소 \(b\)에 대한 순서쌍의 집합 \(C_{b}=\{(x,\,b)\,|\,x\in X\}\)는 집합 \(X\)에서 \(Y\)로의 하나의 관계이다. 이 관계에 따라 임의의 \(x\in X\)에 대하여 \(C_{b}(x)=b\)로 정의된 함수 \(C_{b}:\,X\,\rightarrow\,Y\)를 얻고, 이 함수 \(C_{b}\)를 상수함수(constant function)라고 한다. 

두 함수 \(f:\,A\,\rightarrow\,C\), \(g:\,B\,\rightarrow\,D\)에서 정의역의 교집합 \(A\cap B\)의 임의의 원소 \(x\)에 대하여 \(f(x)=g(x)\)일 때 \(f,\,g\)의 합 \(f\cup g\)는 다음과 같이 정의된 함수 \(h:\,A\cup B\,\rightarrow\,C\cup B\)와 같다.$$h(x)=\begin{cases}f(x)&,\,(x\in A)\\g(x)&,\,(x\in B)\end{cases}$$  

증명: 함수 \(f,\,g\)는 각각 관계 \(f\subset A\times C\), \(g\subset B\times D\)이므로 \(h=f\cup g\subset(A\times C)\cup(B\times D)\)이다(\(\because\,A\times C,\,B\times D\subset(A\cup B)\times(C\cup D)\)). 따라서 \(h\subset(A\cup B)\times(C\cup D)\)이고 \(h\)는 \(A\cup B\)에서 \(C\cup D\)로의 관계이다. 

\(\text{Dom}(h)=\text{Dom}(f\cup g)=\text{Dom}(f)\cup\text{Dom}(g)=A\cup B\) 즉, \(\text{Dom}(h)=A\cup B\)이다.

이제 각 원소 에 대한 다음의 세 가지 경우에 대해 알아보면 된다.$$(1)\,x\in A-B,\,(2)\,x\in B-A,\,(3)\,x\in A\cap B$$여기서 \(f:\,A\,\rightarrow\,C\), \(g:\,B\,\rightarrow\,D\)는 모두 임의의 \(x\in A\cap B\)에 대해 \(f(x)=g(x)\)이므로 위의 어느 경우에나 \(h(x)\)는 유일하게 정의된다. 또한 \(h\)는 함수의 정의의 조건들을 모두 만족하므로 따라서 \(h\)는 함수이다.  

 

함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\,[y=f(x)]\)에 대하여 \(y\)는 \(f\)에 따른 \(x\)의 상이고 \(x\)는 \(f\)에 따른 \(y\)의 원상이다. 

함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)에 대하여 \(A,\,B\)가 각각 \(X,\,Y\)의 부분집합 일 때  

(a) 각 \(x\in A\)의 상 \(f(x)\)의 집합을 \(f\)에 따른 \(A\)의 상(image)이라 하고 \(f[A]=\{f(x)\,|\,x\in A\}\)로 나타낸다. 

(b) 원소 \(y\in B\)의 원상의 집합을 \(f\)에 따른 \(B\)의 역상(inverse image)이라 하고 \(f^{-1}[B]=\{x\,|\,f(x)\in B\}\)로 나타낸다. 

함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)에 대하여 다음이 성립한다. 

(a) \(f[\phi]=\phi\) (b) \(\forall x\in X,\,f[\{x\}]=\{f(x)\}\)

(c) \(A\subset B\wedge B\subset X\)이면 \(f[A]\subset f[B]\) (d) \(C\subset D\wedge D\subset Y\)이면 \(f^{-1}[C]\subset f^{-1}[D]\) 

이 정리의 증명은 위의 정의를 이용하여 쉽게 보일 수 있다.

함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)에 있어서 정의역 \(X\)의 부분집합의 족 \(\{A_{\gamma}\,|\,\gamma\in\Gamma\}\)에 대하여 다음이 성립한다.

(a) \(\displaystyle f\left[\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{f[A_{\gamma}]}\right]=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{f[A_{\gamma}]}\) (b) \(\displaystyle f\left[\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{f[A_{\gamma}]}\right]\subset\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{f[A_{\gamma}]}\) 

증명:

(a):$$\begin{align*}y\in f\left[\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{f[A_{\gamma}]}\right]\,&\Leftrightarrow\,\exists x\in\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}},\,y=f(x)\\&\Leftrightarrow\,\exists \gamma\in\Gamma,\,\exists x\in A_{\gamma},\,y=f(x)\\&\Leftrightarrow\,\exists \gamma\in\Gamma,\,y=f[A_{\gamma}]\\&\Leftrightarrow\,y\in\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{f[A_{\gamma}]}\end{align*}$$이므로 \(\displaystyle y\in f\left[\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right]\,\Leftrightarrow\,y\in\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{f[A_{\gamma}]}\)이고 따라서 \(\displaystyle f\left[\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right]=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{f[A_{\gamma}]}\)이다. 

(b) 각 \(\gamma\in\Gamma\)에 대하여 \(\displaystyle\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\subset A_{\gamma}\)이므로 \(\displaystyle f\left[\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right]\subset f[A_{\gamma}]\)이고 따라서 \(\displaystyle f\left[\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right]\subset\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{f[A_{\gamma}]}\)이다.

위의 정리에서 \(X=\{a,\,b\},\,Y=\{c\},\,A_{1}=\{a\},\,A_{2}=\{b\}\)라 하자. 상수함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\), \(f(a)=f(b)=c\)에 대하여 \(f[A_{1}\cap A_{2}]=f[\phi]=\phi\)이고 \(f[A_{1}]\cap f[A_{2}]=\{c\}\cap\{c\}=\{c\}\)이므로 \(f[A_{1}\cap A_{2}]\neq f[A_{1}]\cap f[A_{2}]\)이다. 이것은 위의 정리에서 (b)의 등호가 일반적으로 성립하지 않음을 보여준다.

 

함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)에서의 치역 \(Y\)의 부분집합족 \(\{B_{\gamma}\,|\,\gamma\in\Gamma\}\)에 대하여 다음이 성립한다.

(a) \(\displaystyle f^{-1}\left[\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{B_{\gamma}}\right]=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{f^{-1}[B_{\gamma}]}\) (b) \(\displaystyle f^{-1}\left[\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{B_{\gamma}}\right]=\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{f^{-1}[B_{\gamma}]}\)

증명:

(a):$$\begin{align*}x\in f^{-1}\left[\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{B_{\gamma}}\right]\,&\Leftrightarrow\,f(x)\in\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{B_{\gamma}}\\&\Leftrightarrow\,\exists\gamma\in\Gamma,\,f(x)\in B_{\gamma}\\&\Leftrightarrow\,\exists\,\gamma\in\Gamma,\,x\in f^{-1}[B_{\gamma}]\\&\Leftrightarrow\,x\in\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{f^{-1}[B_{\gamma}]}\end{align*}$$그러므로 \(\displaystyle x\in f^{-1}\left[\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{B_{\gamma}}\right]\,\Leftrightarrow\,x\in\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{f^{-1}[B_{\gamma}]}\)이고 따라서 \(\displaystyle f^{-1}\left[\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{B_{\gamma}}\right]=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{f^{-1}[B_{\gamma}]}\)

(b): (a)의 증명에서 합집합을 교집합으로, \(\exists\)를 \(\forall\)로 바꾸면 된다. 

함수 \(f:\,X\,\rightarrow\,Y\)에서의 공역 \(Y\)의 임의의 부분집합 \(B,\,C\)에 대하여 \(f^{-1}[B-C]=f^{-1}[B]-f^{-1}[C]\)이다.

증명:$$\begin{align*}x\in f^{-1}[B-C]\,&\Leftrightarrow\,f(x)\in B-C\\&\Leftrightarrow\,f(x)\in B\wedge f(x)\notin C\\&\Leftrightarrow\,x\in f^{-1}[B]\wedge x\notin f^{-1}[C]\\&\Leftrightarrow\,x\in[f^{-1}[B]-f^{-1}[C]]\end{align*}$$그러므로 \(x\in f^{-1}[B-C]\,\Leftrightarrow\,x\in[f^{-1}[B]-f^{-1}[C]]\)이고 따라서 \(f^{-1}[B-C]=f^{-1}[B]-f^{-1}[C]\)이다.

*집합 \(X,\,Y\)의 데카르트곱 \(X\times Y\)의 원소 \((x,\,y)\)에 대하여 \(\pi_{X}(x,\,y)=x\), \(\pi_{Y}(x,\,y)=y\)로 정의되는 함수 \(\pi_{X},\,\pi_{Y}\)를 각각 \(X\)-사영(projection), \(Y\)-사영(projection)이라고 한다. \(X\)에서 \(Y\)로의 관계 \(\mathcal{R}\)에 대하여 \(\pi_{X}(\mathcal{R})=\text{Dom}(\mathcal{R})\), \(\pi_{Y}(\mathcal{R})=\text{Im}(\mathcal{R})\)이 성립한다.

참고자료:

집합론, You-Feng Lin, Shwu-Yeng T. Lin 저, 이흥천 옮김, 경문사