[집합론] 5. 집합의 개념(3: 첨수집합족, 러셀의 역설)

[집합론] 5. 집합의 개념(3: 첨수집합족, 러셀의 역설)

집합을 원소로 갖는 모임(집합))을 집합족(family)이라고 한다. 예를들어 $P=\{\{a\},\,\{a,\,b\},\,\{a,\,c\},\,\{a,\,b,\,c\}\}$는 집합족이다. 

하나의 집합 $\Gamma$의 각 $\gamma\in\Gamma$에 집합 $A_{\gamma}$가 대응할 때, $\gamma,\,\Gamma,\,\{A_{\gamma}\,|\,\gamma\in\Gamma\}$를 각각 첨수, 첨수집합, 첨수집합족(indexed family of sets)이라고 한다. 첨수집합을 $\{A_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}$로도 나타낸다.

첨수집합으로 $\mathbb{N}$을 선택하여 각 첨수 $n\in\mathbb{N}$에 집합 $A_{n}=\{n,\,2n\}$을 대응시켜서 첨수집합족 $$\{A_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}=\{A_{1},\,A_{2},\,\cdots,\,A_{n},\,\cdots\}$$ 을 얻는다. 이것을 간단히 집합 $\{\{n,\,2n\}\,|\,n\in\mathbb{N}\}$으로 나타낼 수 있다.

집합족 $\mathcal{F}=\{\phi,\,\mathbb{N},\,\mathbb{Z},\,\mathbb{Q},\,\mathbb{R},\,\mathbb{C}\}$에 대해 첨수집합으로 $\Gamma=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}$을 선택하고 $$A_{1}=\phi,\,A_{2}=\mathbb{N},\,A_{3}=\mathbb{Z},\,A_{4}=\mathbb{Q},\,A_{5}=\mathbb{R},\,A_{6}=\mathbb{C}$$ 로 나타내어 첨수집합족 $$\mathcal{F}=\{A_{1},\,A_{2},\,A_{3},\,A_{4},\,A_{5},\,A_{6}\}$$ 을 얻는다. 

임의의 족 $\mathcal{F}$에 대해 여기에 속하는 집합의 합집합을 $\displaystyle\bigcup_{A\in\mathcal{F}}{A}$ 또는 간단히 $\bigcup\mathcal{F}$로 나타낸다. 이것을 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\bigcup_{A\in\mathcal{F}}{A}=\{x\in U\,|\,\exists A\in\mathcal{F},\,x\in A\}$$ 즉 이것은 집합족 $\mathcal{F}$에 속하는 모든 집합의 합집합을 뜻한다.

특히 $\mathcal{F}$가 첨수집합족일 때 $$\bigcup_{A\in\mathcal{F}}{A}=\{x\in U\,|\,\exists\gamma\in\Gamma,\,x\in A_{\gamma}\}$$ 로 나타내고 $\Gamma=\{1,\,2,\,\cdots,\,n\}$(유한집합)이면 $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{A_{i}}$ 또는 $A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots\cup A_{n}$으로 나타낸다.

예를들어 집합족 $\mathcal{F}=\{\{1\},\,\{2,\,3\},\,\{3,\,4,\,5\}\},\,\cdots,\,\{n,\,n+1,\,\cdots,\,2n-1\}$의 합집합을 구하자. 이것은 첨수 $i\in\Gamma=\{1,\,2,\,\cdots,\,n\}$에 $A_{i}=\{i,\,i+1,\,\cdots,\,2i-1\}$가 대응하는 첨수집합족으로 볼 수 있고 $$\begin{align*}\bigcup_{i=1}^{n}{\{A_{i}\,|\,1\leq i\leq2n-1\}}&=\bigcup_{i=1}^{n}{\{i,\,i+1,\,\cdots,\,2n-1\}}\\&=\{1,\,2,\,\cdots,\,2n-1\}\end{align*}$$ 이므로 구하는 합집합은 $\{1,\,2,\,\cdots,\,2n-1\}$이다.  

임의의 집합족 $\mathcal{F}$에 대하여 여기에 속하는 집합의 교집합 $\displaystyle\bigcap_{A\in\mathcal{F}}{A}$ 또는 $\displaystyle\bigcap{\mathcal{F}}$를 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\bigcap_{A\in\mathcal{F}}{A}=\{x\in U\,|\,\forall A\in\mathcal{F},\,x\in A\}$$ $\mathcal{F}$가 첨수집합일 때 $$\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}=\{x\in U\,|\,\forall \gamma\in\Gamma,\,x\in A\}$$ 로 나타내고, $\Gamma=\{1,\,2,\,\cdots,\,n\}$(유한집합)이면 $\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{A_{i}}$ 또는 $A_{1}\cap A_{2}\cap\cdots\cap A_{n}$으로 나타낸다. 

임의의 두 실수 $a,\,b$에 대한 집합 $\{x\in\mathbb{R}\,|\,a<x<b\}$를 열린구간(open interval)이라 하고 $(a,\,b)$라 나타내고, 마찬가지로 $\{x\in\mathbb{R}\,|\,a\leq x\leq b\}$를 닫힌구간(closed interval)이라 하고 $[a,\,b]$로 나타낸다. $a\geq b$이면 $(a,\,b)=\phi$이고, $a>b$이면 $[a,\,b]=\phi$이다.

$\displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb{N}}{\left(0,\,\frac{1}{n}\right)}=\phi$이다. 이를 다음과 같이 귀류법으로 보일 수 있다.         

$\displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb{N}}{\left(0,\,\frac{1}{n}\right)}\neq\phi$라고 하자. 즉 실수 $a$가 존재해서 $\displaystyle a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}{\left(0,\,\frac{1}{n}\right)}$라고 하자. 그러면 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\displaystyle0<a<\frac{1}{n}$이고 이때 $n_{0}\in\mathbb{N}$가 존재해서 $\displaystyle\frac{1}{a}<n_{0}$인데 이것은 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\displaystyle a<\frac{1}{n}$이라는 사실에 모순이다. 따라서 $\displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb{N}}{\left(0,\,\frac{1}{n}\right)}=\phi$이다.

첨수집합족 $\{A_{\gamma}\,|\,\gamma\in\Gamma\}$에 대하여 $\Gamma=\phi$이면 다음이 성립한다. 

(1) $\displaystyle\bigcup_{\gamma\in\phi}{A_{\gamma}}=\phi$ (2) $\displaystyle\bigcap_{\gamma\in\phi}{A_{\gamma}}=U$ 

증명:

(1) 모든 $x\in U$에 대하여 $\displaystyle x\notin\bigcup_{\gamma\in\phi}{A_{\gamma}}$임을 보인다. $$\begin{align*}x\notin\bigcup_{\gamma\in\phi}{A_{\gamma}}&\equiv\sim\left(x\in\bigcup_{\gamma\in\phi}{A_{\gamma}}\right)\\&\equiv\sim(\exists\gamma\in\phi,\,x\in A_{\gamma})\\&\equiv(\forall\gamma\in\phi,\,x\notin A_{\gamma})\\&\equiv(\gamma\in\phi\,\rightarrow\,x\notin A_{\gamma})\end{align*}$$ 여기서 $\gamma\in\phi$는 공집합의 정의에 따른 $\gamma\notin\phi$에 모순이므로 모든 $x\in U$에서의 $(\gamma\in\phi\,\rightarrow\,x\notin A_{\gamma})$는 참이다.

(2) 모든 $x\in U$에 대하여 $\displaystyle x\in\bigcap_{\gamma\in\phi}{A_{\gamma}}$임을 밝힌다. $$\begin{align*}x\in\bigcap_{\gamma\in\phi}{A_{\gamma}}&\equiv(\forall\gamma\in\phi,\,x\in A_{\gamma})\\&\equiv(\gamma\in\phi\,\rightarrow\,x\in A_{\gamma})\end{align*}$$ 그러므로 $\displaystyle x\in\bigcap_{\gamma\in\phi}{A_{\gamma}}\equiv(\gamma\in\phi\,\rightarrow\, x\in A_{\gamma})$이고 여기서도 모든 $x\in U$에 대하여 $\gamma\in\phi\,\rightarrow\,x\in A_{\gamma}$는 참이다.

드 모르간의 정리(De Morgan's theorem)

임의의 첨수집합족 에 대하여 다음이 성립한다.

(1) $\displaystyle\left(\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right)^{c}=\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}^{c}}$ (2) $\displaystyle\left(\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right)^{c}=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}^{c}}$

증명:

(1) $$\begin{align*}x\in\left(\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right)^{c}&\equiv\sim\left(x\in\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right)\\&\equiv\sim(\exists\gamma\in\Gamma,\,x\in A_{\gamma})\\&\equiv\forall\gamma\in\Gamma,\,x\notin A_{\gamma}\\&\equiv\forall\gamma\in\Gamma,\,x\in A_{\gamma}^{c}\\&\equiv x\in\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}^{c}}\end{align*}$$ 따라서 $\displaystyle x\in\left(\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right)^{c}\equiv x\in\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}^{c}}$이고 $\displaystyle\left(\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right)^{c}\equiv\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}^{c}}$이다.  

분배법칙(distributive laws)

집합 $A$와 임의의 첨수집합족 $\mathcal{F}=\{B_{\gamma}\,|\,\gamma\in\Gamma\}$에 대하여 다음이 성립한다.

(1) $\displaystyle A\cap\left(\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right)=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{(A\cap B_{\gamma})}$ (2) $\displaystyle A\cup\left(\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right)=\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{(A\cup B_{\gamma})}$

증명:

(1) $\displaystyle x\in A\cap\left(\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{B_{\gamma}}\right)\,\Leftrightarrow\,x\in A\vee x\in\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{B_{\gamma}}$가 성립함을 보이면 된다. 이것은 $x\in A\vee\exists\gamma\in\Gamma,\,x\in B_{\gamma}$와 동치이고 $\exists\gamma\in\Gamma,\,x\in A\cap B_{\gamma}$로 나타낼 수 있는데 $\displaystyle x\in\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{(A\cap B_{\gamma})}$를 뜻하므로 따라서 $\displaystyle A\cap\left(\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{B_{\gamma}}\right)=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{(A\cap B_{\gamma})}$를 얻는다.

러셀의 역설

러셀(Russell)은 다음과 같이 모든 집합의 집합이 존재하지 않음을 보였다. 이것을 러셀의 역설(Russell paradox)이라고 한다.

보조정리 1

모든 집합의 집합 $U$가 존재한다고 전제하고 $R_{1}=\{S\in U\,|\,S\notin S\}$라고 놓으면 $R\notin R$이다. 

증명: $U$는 모든 집합의 집합족이므로 $R\in U$이다. 결론을 부정해서 $R\in R$이라고 하자. 그러면 가정 $R\notin R$에 모순이므로 따라서 $R\notin R$이다. 

보조정리 2

모든 집합의 집합 $U$가 존재한다고 전제하고 $R_{2}=\{S\in U\,|\,S\in S\}$라고 놓으면 $R\in R$이다.

증명: 결론을 부정해서 $R\notin R$이라고 하자. 그러면 가정 $R\in R$에 모순이므로 따라서 $R\in R$이다.

집합을 원소로 하는 모든 집합의 집합족 $U$는 존재하지 않는다.

증명: 결론을 부정해서 모든 집합의 집합족 $U$가 존재한다고 하자. 그러면 앞의 보조정리 1, 2에 의해 $(R\notin R)\vee(R\in R)=c$이고 이것은 모순이다. 따라서 모든 집합의 집합족 $U$는 존재하지 않는다.

참고자료: 

집합론, You-Feng Lin, Shwu-Yeng T. Lin 저, 이흥천 옮김, 경문사