[집합론] 5. 집합의 개념(3: 첨수집합족, 러셀의 역설)

[집합론] 5. 집합의 개념(3: 첨수집합족, 러셀의 역설)

집합을 원소로 갖는 모임(집합))을 집합족(family)이라고 한다. 예를들어 \(P=\{\{a\},\,\{a,\,b\},\,\{a,\,c\},\,\{a,\,b,\,c\}\}\)는 집합족이다. 

하나의 집합 \(\Gamma\)의 각 \(\gamma\in\Gamma\)에 집합 \(A_{\gamma}\)가 대응할 때, \(\gamma,\,\Gamma,\,\{A_{\gamma}\,|\,\gamma\in\Gamma\}\)를 각각 첨수, 첨수집합, 첨수집합족(indexed family of sets)이라고 한다. 첨수집합을 \(\{A_{\gamma}\}_{\gamma\in\Gamma}\)로도 나타낸다.

첨수집합으로 \(\mathbb{N}\)을 선택하여 각 첨수 \(n\in\mathbb{N}\)에 집합 \(A_{n}=\{n,\,2n\}\)을 대응시켜서 첨수집합족$$\{A_{n}\,|\,n\in\mathbb{N}\}=\{A_{1},\,A_{2},\,\cdots,\,A_{n},\,\cdots\}$$을 얻는다. 이것을 간단히 집합 \(\{\{n,\,2n\}\,|\,n\in\mathbb{N}\}\)으로 나타낼 수 있다.

집합족 \(\mathcal{F}=\{\phi,\,\mathbb{N},\,\mathbb{Z},\,\mathbb{Q},\,\mathbb{R},\,\mathbb{C}\}\)에 대해 첨수집합으로 \(\Gamma=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\}\)을 선택하고$$A_{1}=\phi,\,A_{2}=\mathbb{N},\,A_{3}=\mathbb{Z},\,A_{4}=\mathbb{Q},\,A_{5}=\mathbb{R},\,A_{6}=\mathbb{C}$$로 나타내어 첨수집합족$$\mathcal{F}=\{A_{1},\,A_{2},\,A_{3},\,A_{4},\,A_{5},\,A_{6}\}$$을 얻는다. 

임의의 족 \(\mathcal{F}\)에 대해 여기에 속하는 집합의 합집합을 \(\displaystyle\bigcup_{A\in\mathcal{F}}{A}\) 또는 간단히 \(\bigcup\mathcal{F}\)로 나타낸다. 이것을 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\bigcup_{A\in\mathcal{F}}{A}=\{x\in U\,|\,\exists A\in\mathcal{F},\,x\in A\}$$즉 이것은 집합족 \(\mathcal{F}\)에 속하는 모든 집합의 합집합을 뜻한다.

특히 \(\mathcal{F}\)가 첨수집합족일 때$$\bigcup_{A\in\mathcal{F}}{A}=\{x\in U\,|\,\exists\gamma\in\Gamma,\,x\in A_{\gamma}\}$$로 나타내고 \(\Gamma=\{1,\,2,\,\cdots,\,n\}\)(유한집합)이면 \(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}{A_{i}}\) 또는 \(A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots\cup A_{n}\)으로 나타낸다.

예를들어 집합족 \(\mathcal{F}=\{\{1\},\,\{2,\,3\},\,\{3,\,4,\,5\}\},\,\cdots,\,\{n,\,n+1,\,\cdots,\,2n-1\}\)의 합집합을 구하자. 이것은 첨수 \(i\in\Gamma=\{1,\,2,\,\cdots,\,n\}\)에 \(A_{i}=\{i,\,i+1,\,\cdots,\,2i-1\}\)가 대응하는 첨수집합족으로 볼 수 있고$$\begin{align*}\bigcup_{i=1}^{n}{\{A_{i}\,|\,1\leq i\leq2n-1\}}&=\bigcup_{i=1}^{n}{\{i,\,i+1,\,\cdots,\,2n-1\}}\\&=\{1,\,2,\,\cdots,\,2n-1\}\end{align*}$$이므로 구하는 합집합은 \(\{1,\,2,\,\cdots,\,2n-1\}\)이다.  

임의의 집합족 \(\mathcal{F}\)에 대하여 여기에 속하는 집합의 교집합 \(\displaystyle\bigcap_{A\in\mathcal{F}}{A}\) 또는 \(\displaystyle\bigcap{\mathcal{F}}\)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.$$\bigcap_{A\in\mathcal{F}}{A}=\{x\in U\,|\,\forall A\in\mathcal{F},\,x\in A\}$$\(\mathcal{F}\)가 첨수집합일 때$$\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}=\{x\in U\,|\,\forall \gamma\in\Gamma,\,x\in A\}$$로 나타내고, \(\Gamma=\{1,\,2,\,\cdots,\,n\}\)(유한집합)이면 \(\displaystyle\bigcap_{i=1}^{n}{A_{i}}\) 또는 \(A_{1}\cap A_{2}\cap\cdots\cap A_{n}\)으로 나타낸다. 

임의의 두 실수 \(a,\,b\)에 대한 집합 \(\{x\in\mathbb{R}\,|\,a<x<b\}\)를 열린구간(open interval)이라 하고 \((a,\,b)\)라 나타내고, 마찬가지로 \(\{x\in\mathbb{R}\,|\,a\leq x\leq b\}\)를 닫힌구간(closed interval)이라 하고 \([a,\,b]\)로 나타낸다. \(a\geq b\)이면 \((a,\,b)=\phi\)이고, \(a>b\)이면 \([a,\,b]=\phi\)이다.

\(\displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb{N}}{\left(0,\,\frac{1}{n}\right)}=\phi\)이다. 이를 다음과 같이 귀류법으로 보일 수 있다.         

\(\displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb{N}}{\left(0,\,\frac{1}{n}\right)}\neq\phi\)라고 하자. 즉 실수 \(a\)가 존재해서 \(\displaystyle a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}}{\left(0,\,\frac{1}{n}\right)}\)라고 하자. 그러면 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\displaystyle0<a<\frac{1}{n}\)이고 이때 \(n_{0}\in\mathbb{N}\)가 존재해서 \(\displaystyle\frac{1}{a}<n_{0}\)인데 이것은 모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대하여 \(\displaystyle a<\frac{1}{n}\)이라는 사실에 모순이다. 따라서 \(\displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb{N}}{\left(0,\,\frac{1}{n}\right)}=\phi\)이다.

첨수집합족 \(\{A_{\gamma}\,|\,\gamma\in\Gamma\}\)에 대하여 \(\Gamma=\phi\)이면 다음이 성립한다. 

(1) \(\displaystyle\bigcup_{\gamma\in\phi}{A_{\gamma}}=\phi\) (2) \(\displaystyle\bigcap_{\gamma\in\phi}{A_{\gamma}}=U\) 

증명:

(1) 모든 \(x\in U\)에 대하여 \(\displaystyle x\notin\bigcup_{\gamma\in\phi}{A_{\gamma}}\)임을 보인다.$$\begin{align*}x\notin\bigcup_{\gamma\in\phi}{A_{\gamma}}&\equiv\sim\left(x\in\bigcup_{\gamma\in\phi}{A_{\gamma}}\right)\\&\equiv\sim(\exists\gamma\in\phi,\,x\in A_{\gamma})\\&\equiv(\forall\gamma\in\phi,\,x\notin A_{\gamma})\\&\equiv(\gamma\in\phi\,\rightarrow\,x\notin A_{\gamma})\end{align*}$$여기서 \(\gamma\in\phi\)는 공집합의 정의에 따른 \(\gamma\notin\phi\)에 모순이므로 모든 \(x\in U\)에서의 \((\gamma\in\phi\,\rightarrow\,x\notin A_{\gamma})\)는 참이다.

(2) 모든 \(x\in U\)에 대하여 \(\displaystyle x\in\bigcap_{\gamma\in\phi}{A_{\gamma}}\)임을 밝힌다.$$\begin{align*}x\in\bigcap_{\gamma\in\phi}{A_{\gamma}}&\equiv(\forall\gamma\in\phi,\,x\in A_{\gamma})\\&\equiv(\gamma\in\phi\,\rightarrow\,x\in A_{\gamma})\end{align*}$$그러므로 \(\displaystyle x\in\bigcap_{\gamma\in\phi}{A_{\gamma}}\equiv(\gamma\in\phi\,\rightarrow\, x\in A_{\gamma})\)이고 여기서도 모든 \(x\in U\)에 대하여 \(\gamma\in\phi\,\rightarrow\,x\in A_{\gamma}\)는 참이다.

드 모르간의 정리(De Morgan's theorem)

임의의 첨수집합족 에 대하여 다음이 성립한다.

(1) \(\displaystyle\left(\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right)^{c}=\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}^{c}}\) (2) \(\displaystyle\left(\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right)^{c}=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}^{c}}\)

증명:

(1)$$\begin{align*}x\in\left(\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right)^{c}&\equiv\sim\left(x\in\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right)\\&\equiv\sim(\exists\gamma\in\Gamma,\,x\in A_{\gamma})\\&\equiv\forall\gamma\in\Gamma,\,x\notin A_{\gamma}\\&\equiv\forall\gamma\in\Gamma,\,x\in A_{\gamma}^{c}\\&\equiv x\in\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}^{c}}\end{align*}$$따라서 \(\displaystyle x\in\left(\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right)^{c}\equiv x\in\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}^{c}}\)이고 \(\displaystyle\left(\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right)^{c}\equiv\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}^{c}}\)이다.  

분배법칙(distributive laws)

집합 \(A\)와 임의의 첨수집합족 \(\mathcal{F}=\{B_{\gamma}\,|\,\gamma\in\Gamma\}\)에 대하여 다음이 성립한다.

(1) \(\displaystyle A\cap\left(\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right)=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{(A\cap B_{\gamma})}\) (2) \(\displaystyle A\cup\left(\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{A_{\gamma}}\right)=\bigcap_{\gamma\in\Gamma}{(A\cup B_{\gamma})}\)

증명:

(1) \(\displaystyle x\in A\cap\left(\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{B_{\gamma}}\right)\,\Leftrightarrow\,x\in A\vee x\in\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{B_{\gamma}}\)가 성립함을 보이면 된다. 이것은 \(x\in A\vee\exists\gamma\in\Gamma,\,x\in B_{\gamma}\)와 동치이고 \(\exists\gamma\in\Gamma,\,x\in A\cap B_{\gamma}\)로 나타낼 수 있는데 \(\displaystyle x\in\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{(A\cap B_{\gamma})}\)를 뜻하므로 따라서 \(\displaystyle A\cap\left(\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{B_{\gamma}}\right)=\bigcup_{\gamma\in\Gamma}{(A\cap B_{\gamma})}\)를 얻는다.

러셀의 역설

러셀(Russell)은 다음과 같이 모든 집합의 집합이 존재하지 않음을 보였다. 이것을 러셀의 역설(Russell paradox)이라고 한다.

보조정리 1

모든 집합의 집합 \(U\)가 존재한다고 전제하고 \(R_{1}=\{S\in U\,|\,S\notin S\}\)라고 놓으면 \(R\notin R\)이다. 

증명: \(U\)는 모든 집합의 집합족이므로 \(R\in U\)이다. 결론을 부정해서 \(R\in R\)이라고 하자. 그러면 가정 \(R\notin R\)에 모순이므로 따라서 \(R\notin R\)이다. 

보조정리 2

모든 집합의 집합 \(U\)가 존재한다고 전제하고 \(R_{2}=\{S\in U\,|\,S\in S\}\)라고 놓으면 \(R\in R\)이다.

증명: 결론을 부정해서 \(R\notin R\)이라고 하자. 그러면 가정 \(R\in R\)에 모순이므로 따라서 \(R\in R\)이다.

집합을 원소로 하는 모든 집합의 집합족 \(U\)는 존재하지 않는다.

증명: 결론을 부정해서 모든 집합의 집합족 \(U\)가 존재한다고 하자. 그러면 앞의 보조정리 1, 2에 의해 \((R\notin R)\vee(R\in R)=c\)이고 이것은 모순이다. 따라서 모든 집합의 집합족 \(U\)는 존재하지 않는다.

참고자료: 

집합론, You-Feng Lin, Shwu-Yeng T. Lin 저, 이흥천 옮김, 경문사