[집합론] 3. 집합의 개념(1. 집합과 부분집합, 집합의 규정)

[집합론] 3. 집합의 개념(1. 집합과 부분집합, 집합의 규정)

집합과 부분집합

우리의 직관 또는 사고의 대상으로서 서로 뚜렷이 구분되는 원소(elements)들의 모임을 집합(set)이라고 한다. 

예를들어 지구상의 국가, 영문자 a, b, c, d, 제곱하면 2와 같은 유리수 등의 모임은 집합이다.

원소의 개수를 재연수로 나타낼 수 있는 집합을 유한집합(finite set)이라 하고 유한집합이 아닌 집합을 무한집합(infinite set)이라고 한다. 또한 원소가 하나도 존재하지 않는 집합을 공집합(empty set)이라 하고 \(\phi\)로 나타낸다.(공집합은 유한집합이다)

\(a\)가 집합 \(A\)의 원소이면 \(a\in A\)로 나타내고, \(b\)가 \(A\)의 원소가 아니면 \(b\notin A\)로 나타낸다.

두 집합 \(A,\,B\)에 대해 \(A\)의 원소와 \(B\)의 원소가 서로 같으면 \(A\)와 \(B\)는 서로 같다고 하고 \(A=B\)로 나타낸다. 즉 \(A=B\)는 \(\forall x\,(x\in A\,\Leftrightarrow\,x\in B)\)를 뜻한다. 

\(A\)와 \(B\)가 같지 않을 때는 \(A\neq B\)로 나타낸다.

*참고: \(\{a,\,b,\,c\}=\{b,\,c,\,a\}=\{c,\,a,\,b\}\)(집합에서 원소의 배열은 고려하지 않는다)이고 \(\{a,\,a,\,b\}\)는 \(\{a,\,b\}\)(중복되는 것은 하나만 표시한다)로 나타낸다. 이때 \(\{a\}\)와 \(a\)는 엄연히 다른 것인데 \(\{a\}\)는 \(a\)만을 원소로 갖는 집합이고 \(a\)는 원소이기 때문이다.

임의의 집합 \(A,\,B\)에 대하여 \(A\)의 모든 원소가 \(B\)의 원소일 때 \(A\)는 \(B\)의 부분집합(subset), \(B\)는 \(A\)의 초집합(superset) 또는 포함집합이라 하고 \(A\subset B\) 또는 \(B\supset A\)로 나타낸다. 즉 \(A\subset B\)는 \(\forall x\,(x\in A\,\Rightarrow\,x\in B)\)를 뜻한다.

임의의 집합은 그 자신의 부분집합(이고 초집합)이다. 두 집합 \(A,\,B\)에 대하여 \(A\subset B\)이고 \(A\neq B\)이면, \(A\)를 \(B\)의 진부분집합(proper subset)이라 한다. 

공집합 \(\phi\)은 임의의 집합의 부분집합이다.

증명: \(A\)를 임의의 집합이라 하고 전칭명제 \(\forall x\,(x\in\phi\,\rightarrow\,x\in A)\)가 참임을 밝히면 된다. 

공집합 \(\phi\)에는 원소가 존재하지 않기 때문에 임의의 \(x\)에 대하여 명제함수 \(x\in\phi\)는 거짓이고 \(x\in A\)는 참 또는 거짓이다. 그러므로 어떠한 경우에도 \(x\in\phi\,\rightarrow\,x\in A\)는 참이 되고 따라서 임의의 집합 \(A\)에 대해 \(\phi\subset A\)이다. 

임의의 집합 \(A,\,B,\,C\)에 대하여 \(A\subset B\)이고 \(B\subset C\)이면, \(A\subset C\)이다.

증명: \(\forall x\,(x\in A\,\Rightarrow\, x\in C)\)를 보이면 된다. 가정으로부터 \(A\subset B\)이므로 \(\forall x\,(x\in A\,\Rightarrow\,x\in B)\)이고, 마찬가지로 \(B\subset C\)이므로 \(\forall x\,(x\in B\,\Rightarrow\,x\in C)\)이다. 그러므로 \(\Rightarrow\)에 대한 추이율에 의해 \(\forall x\,(x\in A\,\Rightarrow\,x\in C)\)이고 \(A\subset C\)이다.

*참고: 다음의 성질들이 성립한다.

(1) \(A\subset B\)이고 \(B\subset A\)이면, \(\forall x\,(x\in A\,\Leftrightarrow\,x\in B)\)이므로 \(A=B\)이다.

(2) \(A\)가 \(B\)의 부분집합이고 \(B\)가 \(C\)의 진부분집합이면 \(A\)는 \(C\)의 진부분집합이고, \(A\)가 \(B\)의 진부분집합이고 \(B\)가 \(C\)의 부분집합이어도 \(A\)는 \(C\)의 진부분집합이다.

명제를 반증하는 보기를 반례(counterexample)라고 한다. 

예: 명제 "함수 \(f\)가 \(x=a\)에서 연속이면, \(x=a\)에서 미분가능하다"는 거짓이고 그 반례는 \(f(x)=|x|\,(a=0)\)이다.

집합의 규정 

 

주어진 집합으로부터 새로운 집합을 구성할 수 있는 방법으로는 그 집합의 원소로서 같은 성질(조건)을 지닌 것을 한 곳에 모으는 일이다.

예: H대학교의 2010학년도 1학기 학생들의 집합이 A일 때, 명제함수 "\(x\)는 여학생이다"는 \(A\)의 일부분을 이루는 원소(여학생)에 대해서 참이나 그 나머지 원소(남학생)에 대해서는 거짓이다. 이것을 다음과 같이 각각 나타낸다.$$\{x\in A\,|\,x\,\text{is female student}\}, \{x\in A\,|\,x\,\text{is not a female student}\}$$집합 \(A\)의 임의의 원소와 \(\forall x\in A\)에 관한 명제함수 \(p(x)\)에 대하여 \(A\)의 원소로서 \(p(x)\)가 참인 것으로만 이루어진 집합 \(\{x\in A\,|\,p(x)\,\text{is true}\}\)가 존재하는 것으로 받아들인다.

사실 집합론을 공리적으로 다루려면 이러한 전제의 분출공리(axiom of specification)를 내세워야 한다. 위와 같은 꼴(\(\{x\in A\,|\,p(x)\,\text{is true}\}\))의 표기를 집합의 조건제시법(set builder notation)이라고 한다.(원소나열법은 원소들을 나열하는 방법이다)

예: \(\{x\in\mathbb{R}\,|\,x=x+1\}=\phi\), \(\displaystyle\{x\in\mathbb{R}\,|\,2x^{2}-5x-3=0\}=\left\{-\frac{1}{2},\,3\right\},\,\{x\in\mathbb{R}\,|\,x^{2}+1=0\}=\phi\)$$*\mathbb{R}=\{x\,|\,x\,\text{is real number}\},\,\mathbb{Q}=\{x\,|\,x\,\text{is rational number}\},\,\mathbb{Z}=\{x\,|\,x\,\text{is integer}\},\,\mathbb{N}=\{x\,|\,x\,\text{is natural number}\}$$집합 중에는 그 원소가 집합인 것이 있다. 특히 주어진 집합 \(A\)의 모든 부분집합이 원소인 집합이 존재한다. 그러한 집합을 \(A\)의 멱집합(power set)이라 하고 \(\mathcal{P}(A)\)(또는 \(2^{A}\))로 나타낸다. 

예를들어 \(\mathcal{P}(\{a\})=\{\phi,\,\{a\}\}\), \(\mathcal{P}(\phi)=\{\phi\}\), \(\mathcal{P}(\{a,\,b\})=\{\phi,\,\{a\},\,\{b\},\,\{a,\,b\}\}\)이다.               

원소가 \(n\)개인 집합 \(A\)의 멱집합 \(\mathcal{P}(A)\)의 원소의 개수는 \(2^{n}\)이다. 

증명: 공집합 \(\phi\)는 임의의 집합의 부분집합이므로 \(\phi\in\mathcal{P}(A)\)이다. 

한편 각 원소 \(x\in A\)에 대하여 \(\mathcal{P}(A)\)에 속하는 \(A\)의 부분집합 \(\{x\}\)가 하나씩 대응한다.

이와 같이 \(A\)의 부분집합 중 원소가 하나인 부분집합은 \(C(n,\,1)\)개, 원소가 두 개인 것은 \(C(n,\,2)\)개,..., 원소가 \(n\)개인 것은 \(C(n,\,n)\)개 존재하므로 공집합 \(\phi\)까지(\(C(n,\,0)=1\)) 고려하면 \(A\)의 부분집합의 개수는$$C(n,\,0)+C(n,\,1)+\cdots+C(n,\,n)$$이고 이항정리로부터$$(1+1)^{n}=2^{n}=C(n,\,0)+C(n,\,1)+\cdots+C(n,\,n)$$이므로 \(\mathcal{P}(A)\)의 원소는 \(2^{n}\)개이다. 

*멱집합의 공리(axiom of power sets): 임의의 집합 \(A\)에 대하여 \(A\)의 부분집합인 것을 원소로 하는 집합이 존재한다.

참고자료:

집합론, You-Feng Lin, Shwu-Yeng T. Lin 저, 이흥천 옮김, 경문사