[일반물리학 실험] 앙페르의 법칙

[일반물리학 실험] 앙페르의 법칙

실험목적

원형도선, 직선도선, 솔레노이드 코일에 흐를 때 생성되는 자기장의 크기의 이론적 값과 실험값을 비교한다.

실험원리

(1) 직선도선에서의 자기장

직선도선에 전류 \(I\)가 흐를 때 도선 주위에 생기는 자기장 \(B\)는 앙페르 법칙에 의해$$\oint{\overrightarrow{B}\cdot d\vec{s}}=\mu_{o}I,\,B(2\pi r)=\mu_{o}I$$로 주어진다. 따라서 도선으로부터 거리가 \(r\)인 지점의 자기장은$$B(r)=\frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I}{r}$$이고 여기서 \(\mu=4\pi\times10^{-7}\,\text{T}\cdot\text{m}/\text{A}\)는 진공에서의 투자율이다.

(2) 원형도선에서의 자기장

위 그림처럼 반지름이 \(R\)인 원형도선에 전류 \(I\)가 흐를 때, 중심 축의 임의의 점 \(P\)에서 자기장의 세기 \(B\)를 계산하면 비오-사바르 법칙으로부터$$d\overrightarrow{B}=\frac{\mu_{0}Id\vec{s}\times\vec{r}}{4\pi r^{3}}$$이고 벡터 \(d\vec{s}\)과 \(\vec{r}\)은 서로 수직이므로$$dB=|d\overrightarrow{B}|=\frac{\mu_{o}I|d\vec{s}\times\vec{r}|}{4\pi r^{3}}=\frac{\mu_{o}Idsr\sin90^{\circ}}{4\pi r^{3}}=\frac{\mu_{0}Ids}{4\pi r^{2}}$$이고 \(\displaystyle\oint{dB_{y}}=0\)이므로 \(B_{x}\)성분만 남는다. \(\displaystyle B_{x}=\oint{dB_{x}}\)이고 \(\displaystyle\sin\theta=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}\), \(\displaystyle\oint{ds}=2\pi r\)이므로$$\begin{align*}B_{x}(x)&=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\oint{\frac{ds}{r^{2}}}\sin\theta=\frac{\mu_{o}}{4\pi}\oint{\frac{ds}{R^{2}+x^{2}}}\frac{R}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}\\&=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\frac{R}{(R^{2}+x^{2})^{\frac{3}{2}}}(2\pi R)=\frac{\mu_{0}}{2}\frac{IR^{2}}{(R^{2}+x^{2})^{\frac{3}{2}}}\end{align*}$$이다.

(3) 솔레노이드 코일에서의 자기장

길이가 무한인 솔레노이드 내부자기장은 앙페르 법칙에 의해 \(B=\mu_{0}nI\)로 주어지는데 여기서 \(\mu_{0}\)는 진공에서의 투자율, \(n\)은 솔레노이드의 단위길이당 감은 횟수\(\displaystyle\left(\frac{N}{\ell}\right)\)이다. 이 식은 자기장의 세기는 코일의 반지름이나 코일 내부의 위치에 무관함을 알려준다. 그러나 실제로 솔레노이드의 길이는 유한하고 내부의 자기장도 불균일하기 때문에 보정을 해주어야 한다.(홀센서를 이용하여 보정한다)

(실제 솔레노이드 코일의 유도자기장)

위의 그림과 같이 솔레노이드의 중심축에 위치한 임의의 점 \(O\)에서 자기장의 세기는 비오-사바르의 법칙으로부터$$B_{x=0}=\frac{\mu_{0}nI}{2}\left(\frac{b}{\sqrt{b^{2}+R^{2}}}+\frac{a}{\sqrt{a^{2}+R^{2}}}\right)=\frac{\mu_{0}nI}{2}(\cos\theta_{1}+\cos\theta_{2})$$으로 주어진다. 솔레노이드의 길이를 \(l\), 중심을 원점으로 잡으면 중심(\(\displaystyle x=0,\,a=b=\frac{1}{2}\))과 끝점(\(x=\frac{l}{2}\))에서 자기장의 세기는$$B_{x=0}=\mu_{0}nI\frac{l}{\sqrt{l^{2}+4R^{2}}},\,B_{x=\frac{1}{2}}=\frac{\mu_{0}nI}{2}\frac{l}{\sqrt{l^{2}+R^{2}}}$$이다.

실험기구 및 장치

(1) 직선도선

(2) 원형도선

(3) 솔레노이드 코일

(4) 직류전원장치

(5) 전류계

(6) 디지털 가우스미터

(7) 축방향 probe

(8) 접선방향 probe

(9) 버니어 캘리퍼

*참고:

위의 그림은 본 실험에 사용되는 솔레노이드 코일 규격이다. 코일의 굵기는 7겹 \(0.27\text{mm}\)이고, 같은 방향으로 총 2900번 감았다. 코일의 반지름 \(R\)은 \(R_{1}\)과 \(R_{2}\)의 평균인 \(\displaystyle\frac{R_{1}+R_{2}}{2}\)로 잡는다.

코일을 팽팽하게 감을 때 코일이 약간 늘어나고 같은 규격의 솔레노이드일지라도 전체 저항이 약간 차이날 수 있다(같은 전압을 걸어도 전류값이 약간 차이날 수 있다).

실험방법

1) 직선 도선에서의 자기장

1. 그림과 같이 직선도선을 설치하고 전원공급기와 연결한다. 이때 전원공급기의 전원은 OFF이어야 한다.

2. 접선방향 probe를 가우스미터에 연결하고 이동트랙에 장착한다.

3. probe가 도선의 중앙에 수직으로 닿을 만큼 트랙을 이동시키고 영점을 잡는다.

4. 가우스미터의 전원을 켜고 range선택 다이얼을 200애 맞추고 영점다이얼을 이용하여 영점을 잡는다.

5. 과정 4가 완료되면 전원공급기의 전원을 켜고 전류를 \(5\text{A}\)로 맞춘다.

6. probe를 이동시키고 거리변화에 따른 자기장의 변화값을 기록한다.

7. 5회 이상 측정하고 기록한 다음, 가우스센서의 중점을 측정하고 길이를 보정한다.

8. 식 \(\displaystyle B(r)=\frac{\mu_{0}}{2\pi}\frac{I}{r}\)로부터 얻어진 이론값과 실험값을 비교한다.

2) 원형도선에서의 자기장

1. 그림과 같이 원형도선(반지름: \(2\text{cm}\))을 설치하고 전원공급기와 연결한다. 이때 전원공급기의 전원은 OFF이어야 한다.

2. 축 방향 probe를 가우스미터에 연결하고 이동트랙에 장착한다.

3. 버니어 캘리퍼를 이용하여 가우스센서가 도선의 중앙에 위치하게끔 조정한다.

4. 가우스미터의 전원을 키고 range선택 다이얼을 200에 맞추고 영점 다이얼을 이용하여 영점을 잡는다.

5. 과정 4가 완료되면 전원공급기의 전원을 켜고 전류를 \(3\text{A}\)로 맞춘다.

6. probe를 이동시키고 거리변화에 따른 자기장의 값의 변화를 기록한다.

7. 5회 이상 측정하고 기록한 후, 평균값을 \(x\)로 놓고 식 \(\displaystyle B_{x}(x)=\frac{\mu_{0}}{2}\frac{IR^{2}}{(R^{2}+x^{2})^{\frac{3}{2}}}\)에 대입하여 얻어진 이론값과 실험값을 비교한다.

8. 반지름 \(3\text{cm}\)인 도선으로 교체하고 위의 과정을 반복한다.

3) 솔레노이드 코일에서의 자기장

1. 버니어 캘리퍼를 이용해 솔레노이드 코일의 규격을 측정하고 멀티미터를 이용해 코일의 저항값을 읽고 기록한다.

2. 위의 그림과 같이 실험장비를 설치하고 전원공급기와 연결한다.

3. 축 방향 probe를 가우스미터에 연결하고 이동트랙에 장착한다.

4. 측정한 솔레노이드 코일의 규격을 이용해 가우스센터가 코일중심에 오게 한다.

5. 가우스미터의 전원을 켠 다음 range선택 다이얼을 200에 맞추고 영점을 잡는다.

6. 과정 5가 완료되면 전원공급기의 전원을 켜고 전압을 \(10\text{V}\)로 맞춘다(앞서 측정한 저항값을 이용하여 전류값을 계산한다).

7. probe를 이동시키고 거리변화에 따른 자기장의 값의 변화를 기록한다.

8. 5회 이상 측정하여 기록한 다음 평균값을 식 \(\displaystyle B_{x=0}=\mu_{0}nI\frac{l}{l^{2}+4R^{2}},\,B_{x=\frac{l}{2}}=\frac{\mu_{0}nI}{2}\frac{l}{\sqrt{l^{2}+R^{2}}}\)에 대입하여 얻어진 이론값과 실험값을 비교한다.   

참고자료:

이 공대생을 위한 일반물리학 실험, 경기대학교 일반물리학실험 교재편찬위원회, 북스힐

일반물리학 실험(개정판), 일반물리학 실험교재 편찬위원회, 국민대학교 출판부

http://phylab.yonsei.ac.kr/board.php?board=experiment&command=body&no=10 

http://physics.ulsan.ac.kr/boardCnts/fileDown.do?m=0802&s=physics&fileSeq=8c623c13d85a3a2ae126aefdaaf68de5

http://physlab.snu.ac.kr/documents/manual/Ko/2-4.pdf