[확률 및 통계] 2010학년도 중등교사 임용시험 1차 2교시 40번

[확률 및 통계] 2010학년도 중등교사 임용시험 1차 2교시 40번

2010학년도 중등교사 임용시험 1차 2교시 40번

과거 조사에 의하면 어느 지역의 초등학교 5학년 학생들의 신장은 평균 141.0cm이었다. 줄넘기 운동이 또래 아이들의 신장 발육에 도움이 되는지를 알아보고자 체육 활동에서 이 운동을 적극 권장하여 실시하여 왔다. 이 운동을 꾸준하게 실시한 또래 아이들 중 임의로 추출한 81명의 신장을 조사한 결과 평균 142.2cm, 표준편차 6.0cm이었다.

줄넘기 운동이 아이들의 신장 발육에 도움이 된다고 할 수 있는지를 유의수준 $\alpha=0.05$로 다음 단계와 같이 검정할 때 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? (단, 이 지역 아이들의 과거와 현재의 생활 환경과 영양 섭취 등은 같고, 아이들의 신장은 정규분포를 따른다고 가정한다.)

<1단계> 가설설정          귀무가설 $H_{0}$에 대한 대립가설 $H_{1}:\,[(가)]$ <2단계> 검정통계량과 분포          표본의 크기가 $n=81$로 충분히 크므로 귀무가설 $H_{0}$가 참이라는 가정 하에서 검정통계량 $\displaystyle Z=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$          는 표준정규분포 $N(0,\,1)$에 근사한다. (단, $\overline{X}$는 표본평균, $\mu$는 모평균, $S$는 표본표준편차이다.) <3단계> 유의수준 $\alpha=0.05$에 대한 기각역은 $[(나)]$ <4단계> 검정통계량의 관측값을 구한다.  <5단계> 결론          검정통계량의 관측값을 기각역과 비교한 결과 줄넘기 운동이 신장 발육에 $[(다)]$ ※ 참고: $Z\,\sim\,N(0,\,1)$일 때, $P(|Z|\leq1.645)=0.90$, $P(|Z|\leq1.96)=0.95$이다.

 

풀이: 본 가설검정은 줄넘기 운동이 신장 발육에 도움이 되었는가를 알아보고자 하는 것이므로 대립가설은 다음과 같다. $$H_{1}:\,\mu>141.0$$ 귀무가설이 $H_{0}:\,\mu=141.0$, 대립가설이 $H_{1}:\,\mu>141.0$이므로 단측검정이고, $$0.95=P(0\leq Z\leq1.645)+P(Z\leq0)=P(Z\leq1.645)$$ 이므로 따라서 유의수준 $\alpha=0.05$에 대한 기각역은 다음과 같다. $$Z\geq1.645$$ 검정통계량의 관측값을 계산하면 $$z_{0}=\frac{\overline{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}=\frac{142.2-141.0}{\frac{6.0}{\sqrt{81}}}=\frac{1.2}{6}\cdot9=1.8$$ 이고 $1.8>1.645$이므로 관측값은 기각역 안에 있다. 따라서 귀무가설을 기각하고 대립가설을 채택해야 하고 줄넘기 운동이 신장 발육에 도움이 된다고 할 수 있다.