[확률 및 통계] 2014학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공 A 15번, 2019학년도 3교시 전공 B 2번

[확률 및 통계] 2014학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공 A 15번, 2019학년도 3교시 전공 B 2번

2014학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공 A 15번

어느 도시의 성인 중 20%가 A 통신사를 이용한다고 한다. 이 도시의 성인 400명을 임의로 조사할 때, A 통신사를 이용하는 성인이 80명 이상 92명 이하가 될 확률을 이항분포의 정규근사를 이용하여 구하면 $P(0\leq Z\leq k)$이다. $k$의 값을 구하시오. (단, $Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수이고 연속성 보정은 하지 않는다.)

풀이: $X$를 A 통신사를 이용하는 성인의 수라고 하자. 그러면 $X\,\sim\,B(400,\,0.2)$이고 $400>30$이므로 중심극한정리를 적용해 정규근사를 할 수 있다. 그러면 $X\,\sim\,N(80,\,8^{2})$이고

$$P(80\leq X\leq92)=P(0\leq Z\leq\frac{92-80}{8})=P(0\leq Z\leq1.5)$$ 이므로 따라서 $k=1.5$이다. 

2019학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 2번

어느 지역 고등학생들의 몸무게(kg)는 정규분포 $N(\mu,\,9^{2})$을 따른다고 한다. 이 지역의 고등학생 중에서 임의로 추출한 36명의 몸무게에 대한 표본평균을 $\overline{X}$라 하자.

$$\text{P}(|\overline{X}-\mu|>c)=0.1$$ 을 만족시키는 상수 $c$의 값을 풀이 과정과 함께 쓰시오.

또한 36명의 표본으로부터 관측된 표본평균의 값이 60일 때, 모평균 $\mu$에 대한 90% 신뢰구간(confidence interval)을 풀이 과정과 함께 쓰시오. (단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$에 대하여 $P(Z<1.64)=0.95$이고, 모평균에 대한 신뢰구간은 양면신뢰구간(two-sided confidence interval)을 의미한다.)

풀이: $\text{P}(|\overline{X}-\mu|>c)=0.1$이므로 $\text{P}(|\overline{X}-\mu|\leq c)=1-0.1=0.9$이고 표본의 개수가 $36>30$이므로 중심극한정리를 적용해 정규근사를 할 수 있다. 표본의 개수가 36이므로 $\overline{X}$의 표준편차는 $\displaystyle\frac{9}{\sqrt{36}}=\frac{9}{6}=1.5$이다. 그러면 $\overline{X}\,\sim\,N(\mu,\,1.5^{2})$이고

$$\text{P}\left(|Z|\leq\frac{c}{1.5}\right)=\text{P}\left(\frac{|\overline{X}-\mu|}{1.5}\leq\frac{c}{1.5}\right)=0.9$$ 이며 $\text{P}(Z<1.64)=0.95$이므로 $$\text{P}(0\leq Z<1.64)=0.95-0.5=0.45,\,P(|Z|<1.64)=0.9$$ 이고 $\displaystyle\frac{c}{1.5}=1.64$이므로 따라서 $c=2.46$이다. 

$P(|Z|<1.64)=0.9$이므로 모평균 $\mu$에 대한 90% 신뢰구간을 구하면

$$[60-1.64\cdot1.5,\,60+1.64\cdot1.5]=[57.54,\,62.46]$$ 이다.