[확률 및 통계] 2015학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공 A 5번, 2018학년도 3교시 전공 B 2번

[확률 및 통계] 2015학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공 A 5번, 2018학년도 3교시 전공 B 2번

2015학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공 A 5번 

모집단 $A$는 어떤 지역의 20세 남자들로 이루어져 있다. 모집단 $A$에 속하는 남자의 키는 평균 175cm, 표준편차 5cm인 정규분포를 따른다고 한다. 모집단 $A$에서 임의로 뽑은 남자의 키(cm)와 몸무게(kg)를 각각 확률변수 $X,\,Y$라 할 때, $\displaystyle Y=\frac{2}{5}X+\alpha$가 성립한다고 하자. 여기서 $\alpha$는 평균 $0$, 표준편차 $2\sqrt{3}$인 정규분포를 따르는 확률변수이고, $X$와 $\alpha$는 독립이다. 확률 $\text{P}(Y>72)=\text{P}(Z>k)$일 때, $k$의 값을 구하시오. (단 $Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.)

풀이: $X\,\sim\,N(80,\,8^{2})$, $\alpha\,\sim\,N(0,\,(2\sqrt{3})^{2})$이고, $X$와 $\alpha$는 독립이므로 공분산은 0이다. 그러면 $\displaystyle\frac{2}{5}X\,\sim\,N(70,\,2^{2})$이므로 $Y$의 평균은 70, 분산은 $2^{2}+(2\sqrt{3})^{2}=16=4^{2}$이고 $Y\,\sim\,N(70,\,4^{2})$이다. 그러면 $$\text{P}(Y>72)=\text{P}\left(Z>=\frac{72-70}{4}\right)=\text{P}(Z>0.5)$$ 이고 따라서 $k=0.5$이다.       

2018학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 2번

어느 회사의 입사 시험 지원자들의 필기시험 점수와 면접시험 점수는 각각 정규분포 $N(82,\,6^{2})$, $N(80,\,8^{2})$을 따르고 서로 독립이라고 한다. 이 회사의 입사 시험 지원자 중에서 임의로 뽑은 한 지원자의 필기시험 점수를 확률변수 $X$, 면접시험 점수를 확률변수 $Y$라 하자. 이 지원자의 평균 점수를 $\displaystyle T=\frac{X+Y}{2}$라 할 때, 평균 점수가 90점 이상일 확률은 $P(T\geq90)=P(Z\geq k)$이다. 이때 $k$의 값을 풀이과정과 함께 쓰시오. (단, $Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.) 

풀이: $X\,\sim\,N(82,\,6^{2})$, $Y\,\sim\,N(80,\,8^{2})$이고 $X$와 $Y$는 서로 독립이므로 공분산은 0이다. 

$\displaystyle T=\frac{X+Y}{2}$의 평균은 $\displaystyle\frac{82+80}{2}=81$, 분산은 $\displaystyle\frac{6^{2}+8^{2}}{4}=\frac{100}{4}=25=5^{2}$이므로 $T\,\sim\,N(81,\,5^{2})$이고 $$\text{P}(T\geq90)=\text{P}\left(Z\geq\frac{90-81}{5}\right)=\text{P}\left(Z\geq\frac{9}{5}\right)=\text{P}(Z\geq1.8)$$ 이므로 따라서 $k=1.8$이다.