[확률 및 통계] 2015학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공 A 5번, 2018학년도 3교시 전공 B 2번

[확률 및 통계] 2015학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공 A 5번, 2018학년도 3교시 전공 B 2번

2015학년도 중등교사 임용시험 2교시 전공 A 5번 

모집단 \(A\)는 어떤 지역의 20세 남자들로 이루어져 있다. 모집단 \(A\)에 속하는 남자의 키는 평균 175cm, 표준편차 5cm인 정규분포를 따른다고 한다. 모집단 \(A\)에서 임의로 뽑은 남자의 키(cm)와 몸무게(kg)를 각각 확률변수 \(X,\,Y\)라 할 때, \(\displaystyle Y=\frac{2}{5}X+\alpha\)가 성립한다고 하자. 여기서 \(\alpha\)는 평균 \(0\), 표준편차 \(2\sqrt{3}\)인 정규분포를 따르는 확률변수이고, \(X\)와 \(\alpha\)는 독립이다. 확률 \(\text{P}(Y>72)=\text{P}(Z>k)\)일 때, \(k\)의 값을 구하시오. (단 \(Z\)는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.)

풀이: \(X\,\sim\,N(80,\,8^{2})\), \(\alpha\,\sim\,N(0,\,(2\sqrt{3})^{2})\)이고, \(X\)와 \(\alpha\)는 독립이므로 공분산은 0이다. 그러면 \(\displaystyle\frac{2}{5}X\,\sim\,N(70,\,2^{2})\)이므로 \(Y\)의 평균은 70, 분산은 \(2^{2}+(2\sqrt{3})^{2}=16=4^{2}\)이고 \(Y\,\sim\,N(70,\,4^{2})\)이다. 그러면$$\text{P}(Y>72)=\text{P}\left(Z>=\frac{72-70}{4}\right)=\text{P}(Z>0.5)$$이고 따라서 \(k=0.5\)이다.       

2018학년도 중등교사 임용시험 3교시 전공 B 2번

어느 회사의 입사 시험 지원자들의 필기시험 점수와 면접시험 점수는 각각 정규분포 \(N(82,\,6^{2})\), \(N(80,\,8^{2})\)을 따르고 서로 독립이라고 한다. 이 회사의 입사 시험 지원자 중에서 임의로 뽑은 한 지원자의 필기시험 점수를 확률변수 \(X\), 면접시험 점수를 확률변수 \(Y\)라 하자. 이 지원자의 평균 점수를 \(\displaystyle T=\frac{X+Y}{2}\)라 할 때, 평균 점수가 90점 이상일 확률은 \(P(T\geq90)=P(Z\geq k)\)이다. 이때 \(k\)의 값을 풀이과정과 함께 쓰시오. (단, \(Z\)는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다.) 

풀이: \(X\,\sim\,N(82,\,6^{2})\), \(Y\,\sim\,N(80,\,8^{2})\)이고 \(X\)와 \(Y\)는 서로 독립이므로 공분산은 0이다. 

\(\displaystyle T=\frac{X+Y}{2}\)의 평균은 \(\displaystyle\frac{82+80}{2}=81\), 분산은 \(\displaystyle\frac{6^{2}+8^{2}}{4}=\frac{100}{4}=25=5^{2}\)이므로 \(T\,\sim\,N(81,\,5^{2})\)이고$$\text{P}(T\geq90)=\text{P}\left(Z\geq\frac{90-81}{5}\right)=\text{P}\left(Z\geq\frac{9}{5}\right)=\text{P}(Z\geq1.8)$$이므로 따라서 \(k=1.8\)이다.