[수리철학] 1. 수리철학이란?

[수리철학] 1. 수리철학이란? 

수학의 철학적 견해에 따라 수리논리(mathematical logic), 초수학(metamathematics), 수리철학(mathematical philosophy), 철학수학(philosophical mathematics)이라는 용어를 사용했다. 

수학에 대한 다양한 의견 중 대표적으로 유클리드(Euclid)는 진리만을 다루는 학문, 가우스(Gauss)는 과학의 학문, 퍼스(Peirce)는 수학은 필요한 결론을 이끌어 내는 과학이라고 주장한다. 

이러한 본질적으로 다른 시각에는 여러 요소가 원인이 된다. 

1. 수학은 현재 다른 학문에 비교할 수 없이 중요한 위치를 차지하고 있다. 

2. 우리 역사의 철학적 배경과 현재의 철학적 추세는 수학, 과학, 형이상학, 윤리학, 신학에 대해 지나치게 관여하는 것으로 알려져 있다.

3. 대부분의 철학자들은 수학적 공리에 무관심했고, 이러한 철학적 지식의 결핍은 수학의 추상적인 과정과 상징주의의 어려움, 시간과 흥미나 수학적 재능의 부족, 철학적 입장의 관점에서 그저 편한 대로 생각하는 것에서 비롯한다. 

4. 수학자들은 우주를(철학에서 가리키지 않는 규칙인) 수학적 추상개념의 관점만으로 비판한다. 형이상학적 의미를 무시하는 다수의 수학자들은

"우리나 논하는 것이 무엇인지 알지도 못하고 그것이 사실인지 아닌지도 알 수 없는 주제이다. 혹은 그의 창조의 본질적인 증거를 볼 때, 우주의 위대한 창조자는 순수수학자이다"

와 같은 무차별적 일반화를 한다. 

추상개념을 분류의 기본으로 수용할 때, 수학에 관한 관점은 다섯 개의 넓은 범위로 좁혀지고 그 범위는 수학에 대한 과학 이전의 사고방식으로부터 수학적 추상을 형이상학과 동일시함으로써 모든 과학은 수학과 동등하다고 정의내리는 데에까지 이른다. 

1. 숫자 신비주의(number-mysticism)를 포함하는 비추상적, 혹은 과학 발생 이전의 것, 일반인의 수학에 대한 지식, 경험적 관점, 수학을 과학적 추상개념을 얻어 내는 데 사용한다고 정의 내리지 않는 이론들이다.

2. 과학에 대한 추상적 관점, 역사적 관점과 수학에 응용되는 관점을 포함하는 자연에 대한 철학적 관점이다.

3. 수학의 과학에 합당한 추상개념이다.

4. 수학과는 구별되는 논리의 추상적 관점이다. 

5. 일반적으로 비판적이라고 하는 형이상학적 관점이다. 

수학에 대한 이러한 다섯 종류의 태도에 관한 짧은 고찰과 설명은 본질적으로 이 글의 범위를 제한하고 수학적 공리가 차지하는 중요한 입장을 보여주기 위한 것이다. 본질적으로 형이상학자들에게 적합한 이론적인 결정인 수학적 추상 그 자체를 설명하는 것이다. 

과학 이전의 관점

과학 이전의 관점을 가진 사람의 과학 이전의 진술과 명제들은 과학의 완벽함을 얻지 못하고, 증명과 이유를 입증할 수 없고, 과학적 지식에 적합한 확실성, 필연성, 보편성 특징이 결여되어 있었다.  

점성술과 숫자 신비주의의 많은 증거로부터 전설적이고 신비적인 수학적 관점이 역사에서 자주 나타난 것을 쉽게 볼 수 있다. 이상한 힘이나 성스러운 영향력이 종교적 의식이나 신비적 철학의 모습으로 숫자나 형식에 부여되었다. 그 결과 이러한 관점이 사상의 역사에서 자주 나타났고 많은 영향을 미쳤다. 

일반인에 의한 과학이전의 지식과 수학의 이용은 단지 불완전한 과학이기 때문에 비록 혼란스럽고 정밀성이 떨어지더라도 합법적이라고 할 수 있다. 우주에 관한 일반적인 지식은 불완전한 수리개념을 포함한다. 이러한 개념의 힘으로, 수학교육자들은 수하의 존재성의 과학적 고찰을 학생들의 생각과 상상력 속에 야기해 수리과학을 현실화시키려고 노력하고 있다. 

수학을 이론적인 과학으로 따지지 않는 이론의 한 예로 영국의 철학자 홉스(Hobbes)의 관점이 있다. 보편성을 사물의 이름에만 부여하면서 모든 과학에 대해 극단적인 경험주의적 관점을 가졌고, 수학을 감각 느낌(sense impressions)의 욕구불만적인 이상화라고 여기며, 두께가 없는 선이나 면을 재는 인간 본연의 능력을 부정했다. 이러한 수학의 관점은 순화된 형태로 영국의 경험주의자 로크(Locke), 흄(Hume), 밀(Mill)에 의해 수용되었다.   

이성론과 경험론 사이의 경쟁에서 경험론에 결정적 승리를 안겨준 경험적 방법에 근거하는 자연과학의 진보가 있었다. 

경험론자들은 수학적 지식을 제외한 모든 지식이 관찰로부터 유래한다고 시도하지 않았으나 밀은 예외로 수학적 지식에 대한 경험론적 이론을 제창했다. 즉, 수학은 하나의 자연과학이다. 프레게(Frege)는 '산술의 기초' 저서로 밀의 미숙함을 비꼬았고, 흄은 '인간 본성에 관한 고찰'에서 우리는 정신도 물질도 알지 못하고 그 둘 다 허구라는 태도를 유지했다. 

수학에는 수나 도형에 관한 가정된 공리로부터 필연적으로 유도되는 수와 기하학에 관한 정리가 있다. 여기서 공리(axiom)는 논증의 전개를 위한 기초로 받아들인 명제를 말한다. 

흄은 공리를 배척하지 않는 대신 공리나 연역에 의해 얻어진 정리를 과소평가하고, 진리의 존재성을 부정하여 인간이 어떻게 진리를 얻을수 있는가에 대한 근본적인 문제에 답을 했다. 이러한 흄의 철학은 칸트의 도전을 받았고, 수학의 경험적 기초와 테스트는 밀에 의해 주장되었다. 밀은 수학은 물리학보다 더 일반적임을 인정했다. 수학의 정리는 확실한 것으로 간주된 반면에, 물리적 이론은 매우 그럴듯하거나 단지 경험에 의해 확증된 것으로 생각했다. 

자연과학과 철학

그리스 지성인들은 자연에 대해 새로운 자세를 취했고, 이것은 합리적이고 비판적이며 비종교적이다. 이들은 눈으로 보이는 자연현상(태양의 운동, 일식, 월식 등)들에 대한 의문을 제기하고 또 발견했다. 기원전 6세기의 이오니아 철학자들은 자연과 우주의 기능에 대해 합리적인 설명을 처음으로 시도했다. 이 시대의 유명한 철학자로 탈레스, 아낙사고라스, 아낙시메데스, 헤라클리투스 등이 있고, 이들 각자는 우주의 구성을 설명하는데 한 물질을 택했다. 

탈레스(Thales)는 많은 현상을 물을 이용해 설명하려고 했다. 이것을 비합리적이라고 볼 수 없는 이유는 물은 액체, 기체, 고체 상태 중 하나로 존재하고 구름, 안개, 이슬비, 우박은 물의 여러 가지 형태이고, 물은 인체의 90% 이상을 차지하며 생명에 필수적이기 때문이다. 

이오니아의 자연철학은 과학적 탐구의 소산이라기보다 일련의 대담한 사색, 날카로운 추측, 훌륭한 직관이었다. 이들은 전체 상황을 보기 위해 폭넓은 결론으로 비약했으나 신화적 요소를 백겨하고 우주의 설계와 작용을 물질적 객관적으로 설명하려고 했다. 이러한 정신은 아낙사고라스의 "이성은 세계를 지배한다"는 말로 나타낼 수 있다. 

신비주의와 자연의 움직임에서 무질서한 것처럼 보이는 것을 배재하고 대신 이해가능한 패턴으로 바꾸는 결정적인 단계가 수학의 응용이다.

피타고라스(Pythagoras)는 우주는 수학적으로 설계되었고, 사람들은 수학을 통해 그 설계를 꿰뚫어 볼 수 있다고 주장했다. 피타고라스 학파는 여러 가지 현상이 양적인 관점에서 동일한 수학적 성질을 가짐을 알고, 수와 수적인 관계에서 이러한 본질을 발견했다. 그러므로 피타고라스 학파의 교리는 "모든 것은 수이다"는 것이었고, 수(number)는 모든 사물의 본질이므로 자연현상의 설명은 수를 사용해서만 가능하다고 보았다. 이러한 피타고라스 학파의 주장은 이해하기가 어려운데 수가 추상적인 반면 사물은 물리적 대상 또는 물질이기 때문이다. 

과학과 수학은 발전하면서 서로 상호작용한다. 과학에서는 수학적 처리를 필요하고, 그래서 수학적 발견을 촉진시키는 새로운 문제(예: 물리학->미적분학 발견)가 자주 발생한다. 비슷하게 수학적 발명은 과학에서의 새 이론을 유발시키고 새로운 조사 분야의 전조가 된다. 

수학의 역사-철학적 진술은 "수학이 그 내용과 방법론적 역사 안에서 성장하면서 과학으로서의 본질이 바뀌었는가?"라는 문제점을 드러낸다. 만약 이러한 본질적 변화가 가능하다면 진정한 수학의 과학이나 수리철학은 존재하지도 않고 가능하지도 않다. 

수학의 과학적 방법은 변동하는 것이 아닌 그 본질에 있어 끊임없이 변동할 것이다. 수학이나 과학의 엄격한 진화적 관점은 모순이다. 반면 수학의 본질적인 성격은 변하지 않더라도 수학자의 추상화 과정은 더욱 자세하고 상상적인 직감이나 구조에는 덜 의존할 수 있다고 주장하는 것은 가능하다. 

유클리드(Euclid)는 자신의 저서 '원론(elements)'에서 그리스 기하학과 수론에 대한 명확한 논법을 이룩했다. 유클리드는 먼저 점, 선, 평면 등을 정의했다. 모든 것을 더 친숙한 개념의 용어로 정의하려 했으나, 때때로 그가 제거한 모호함보다 더 큰 모호함을 초래했다. 

(예: 점(point)은 어떤 부분도 갖지 않고, 선(line)은 폭이 없는 직선이고 그 위에 점이 고르게 있는 것이다. 평면각은 만나는 두 직선의 서로에 대한 기울기이다. 한 직선 위에 걸친 직선이 서로 같은 인접한 각을 만들 때 이 동일한 각을 각각 직각이라고 한다.)

유클리드에 사용된 공리적 방법은 순수수학(pure mathematics)의 원형이고, 순수한 사고라는 의미에서 순수하다. 순수한 사고는 한 명제가 참이라는 것을 증명하는 데 어떤 실제적인 실험 없이 오직 논증에 의한 추론만으로 검토하는 것을 말한다. 그러나 순수수학이 응용수학을 갖게 됨을 알 수 있다. 

유클리드는 지식과 응용은 별개의 입장이어야 하며 학문은 학문 그 자체에 가치가 있는 것으로서 응용, 실용을 고려하여 본래의 이론을 경시하는 것은 진리에 대한 모독이며 학문에 대한 모독이라고 했다.

예: 유클리드의 수업을 듣는 학생이 어디에 써먹는가라고 질문하자 이 학생이 학문을 돈을 버는 것이라고 생각한다고 판단해 돈을 주어 내보냈다.

예: 톨레미 3세가 기하학을 어려워해서 쉽게 공부할 수 있는 방법이 있냐고 물어보자 "기하학에는 왕도가 없다"라고 답을 했다. 

유클리드 이후의 발견은 자연적 성장이고 그리스인들이 얻어 낸 본질적인 추상에서 파생된 확장일 뿐이다. 화학, 물리학, 생물학(생명과학), 경제학의 문제에 대한 수학적 응용은 응용수학자의 범주에 있는 사람들이 하고 있다. 이러한 과학적 추상개념의 사물에 대한 수학 원리의 응용은 초기 피타고라스 학파가 보여 주었다. 

수학의 역사는 사색가들이 자연의 양적 학문의 타당성을 단계적으로 성립시키면서 직면한 투쟁을 보여준다. 그 예로 운동과 변화의 연구과정을 위한 시도는 미적분학(calculus)의 탄생과 수학적 추상개념을 극한(limit)을 이용해 설명할 수 있게 했다.

수학은 생물학과 그에 관련된 과학, 심리학에 적용된다. 통계와 관련된 수학은 생물과 무생물의 세계와 관련된 변동, 움직임, 변화를 측정하려고 시도한다(이러한 종류의 응용수학에 의한 철학적 공리의 예는 셀 수 없다).

물리학자는 수학이나 물리의 추상개념을 통해 자연을 보는 것에 지나치게 익숙해 있어서 이 사람들은 현실에 대해 축소의 태도를 도입했다.

슈뢰딩거: 인간이 자연의 법칙을 발견한 기적은 인간의 이해의 범위를 벗어난 것인지도 모른다.

다이슨(물리학자): 물리적 세계와 수학적 세계 사이의 관계를 이해하기까지는 우리는 아직도 먼 것 같다.

아인슈타인: 세계에 대해 가장 이해할 수 없는 점은 그것이 이해될 수 있다는 것이다.

형이상학으로부터 구분되는 자연철학 평가에 결핍되고 있는 것은 수리과학, 물리학에 크게 성공한 것을 통해 부분적으로 설명할 수 있고, 생물학, 화학, 물리학과 그 외의 비슷한 분야의 과학자들로부터 유래하는 많은 철학적 반성들을 설명하는 데 중요한 요인이 된다. 

17세기 유럽의 자연과학이 자연에 대한 지(knowledge)를 사랑한다는 것이라고 하는 데에는 깊은 뜻이 담겨 있었다. 

과학의 철학(philosophy of science)이라는 모호한 명칭이 심리학적, 도덕적, 정치적, 형이상학적 의견과 관점을 다루는 데 쓰이나 엄격히 말해서 형이상학의 기능이다. 

논리적 추상

논리적 관심사의 대상은 논리적 대상을 실제 세계에 존재하는 사물과 비교하지 않고도 변증법적 과정에 부여하는 능력을 가진 반사적 정신세계에 의해 공급된다. 

다음은 러셀(Russell)의 수학에 대한 정의이다.

:순수수학은 p와 q가 두 명제에서 똑같이 하나 이상의 여러 가지 변수를 포함하는 명제일 때, p나 q가 논리적 구성요소를 제외하고는 어떤 요소도 포함하지 않을 때, p는 q를 포함한다의 모든 명제의 집합이다. 그리고 논리적 명제는 다음과 같은 용어로 정의할 수 있는 모든 개념이다.

집합에 속하는 것에 대한 용어의 관계인 "그러한(such that)"과 같은 개념, 관계(relation)의 개념, 그리고 위 형태의 명제들의 일반적인 개념과 관련되는 그 이사으이 개념들이 그 용어이다. 이러한 수학적 용도에 더하여, 어떤 명제의 구성요소가 아닌 개념, 다시 말해 진실의 개념도 이러한 용어이다. 

퍼스: 수학은 필요한 결론을 이끌어 내는 과학이다.

보어(Bocher): 특정한 사물의 집합과 특정한 관계의 집합을 가지고 있고, 조사하려는 의문은 이러한 배열된 집합들의 관계를 충족시키는가 아닌가 하는 것이라면, 이러한 조사의 결과를 수학(mathematics)이라고 ㅎ나다.

수학자들에게 논리적 추상과 수학적 추상은 분명히 구분되지 않는다. 

수학적 추상

교육자나 전문가로서의 수학자(수리수학자)가 이 그룹에 속한다. 

한 학생이 미적분을 알고 있다고 하자. 실험을 이해하거나 문제를 풀기 위해 미적분학의 정확한 역사나 그 역사를 알아야 할 필요는 없다. 이 학생이 수학적 추상을 할 수 있다면 미적분학의 질과 양의 특징을 이해하게 된다. 문제의 존재성을 의심하면 과학을 더 이상 공부할 수 없을 것이고, 실험의 방법을 의심한다면 과정의 논리를 보여줄 필요가 있다. 

이 학생이 수학적 추상이 가능하다고 가정할 때, 상상력의 도움과 많은 정신적 추상의 행위로 미적분학의 기질을 습득하게 된다. 

전문가로서의 수학자의 경우, 풀어야 할 문제와 해결의 방법에 관심이 있다. 이러한 수학자는 구조와 관계, 상징과 조화의 법칙을 고려하거나 수학적 결과로 구체화될 수도 있는 추상적 관계를 단순히 반영한다. 그러나 수학자가 수학의 의미에 대해 의심하거나 수학의 응용성이나 논리에 대한 관계를 의심할 때 이미 수학 자체를 형이상학의 관점에 의해 고려하기 시작한 것이다. 

수학적 추상의 한계와 유일성의 한 예로 수학과 상상의 관계를 보자. 한 수학자가 수학에서의 발명의 심리학을 검토하고 싶어하거나, 상상과 수학적 추상의 관계를 설명하고 싶어한다고 가정하자. 심리학에 맞는 의문인 상상의 존재와 본질은 수학적 실체의 본질과 존재가 형이상학에서 확정된 것과 같은 식으로 여겨지고 따라서 이러한 조사는 심리학적 태도, 수학적 태도도 갖지 못한다. 그 이유는 이 두 과학의 증명 범위의 밖에 있기 때문이고 이것은 심리학적 과제와 수학의 관계를 정립시키기 때문에 형이상학적이다.  

따라서 형이상학과 심리학 모두의 타당성을 인정하고 수학과 대조해 이렇나 두 과학에 타당한 추상개념의 관계를 이해하기 전에는 그 관계를 설명해낼 수 없다. 

형식주의(formalism)에 따르면 수학은 미리 정해진 규칙/규약에 따라 조작되거나 결합되는 형식적인 기호/표현으로 이루어진다고 하고, 이러한 형식주의 이론은 표현의 의미에 관한 문제를 제기하지 않는다. 

수학적인 이론은 수학에 관한 이론에서 무엇이 구분되어야 하는가의 문제가 발생한다. 수학은 구조(structure), 분류(categoricalness), 일관성(consistency)과 같은 문제를 다룬다. 이러한 형식주의 관점(이 관점은 수학의 과학을 거의 과학으로 여기지 않는다)이 맞고 틀림을 떠나 수학자의 활동과 더 추상화된 수학의 관점 사이에 구분이 있다는 것은 자명하다. 

형이상학적 분리

추론적인 과학에서 궁극적인 과학적 기질로서 형이상학은 존재에 대한 지식과 비판적인 기질인 판단을 정신 속에 부여한다. 

과학적 기질로서의 형이상학의 능력은 칸트(Kant)의 시대부터 부정되었다. 

수학이 현재의 수학적 고찰을 제시한다는 정당한 관점의 요점을 살펴보기 전에 수학주의(mathematicism)의 허위 형이상학적 관점을 명확히 해야 한다. 수학주의는 수학적 추상만이 우주에 대해 타당한 관점을 제공하고 결국 수학이 유일한 과학이라고 주장한다. 이러한 관점에서 수학은 모든 과학과 동등하고 철학, 생물학, 화학, 그 외의 일반과학 모두 수학적이거나 수학적이 되는 것을 목표로 삼아야 한다. 

수학주의의 다양하고 분간할 수 있는 종류의 일반적인 특징은 다음과 같다. 

1. 철학적 합리주의, 이상주의, 실증주의, 회의주의라고 주장하는 극단적, 궁극적이고 최종적 태도이다.

2. 존재의 다양한 종류나 수준을 구분하지 않기 때문에 보편 구체적이고 단일 주장적이다. 이러한 관점에서 형이상학과 철학과 비교했을 때, 질과 양 사이에, 동질성과 이질성 사이에, 유한과 무한 사이의 구분이 없다. 

3. 수학적 추상이 현실을 고려하는 엄연한 결정의 관점에서, 양에 관한 것과 더불어 우주의 특성을 분류하는 복잡하고 상세화된 상태에 관해 분류적 진술을 주장하고 독단화하려는 성향을 보인다. 

수학적 과정에 종속될 수 없는 개념이나 명제는 추측/미신/비과학적이고, 측정도구로 잴 수 없는 질량이나 물질은 터무니없거나 신비적/초자연적이다. 

"인간은 모든 것의 측도이다"라는 프로타고라스의 격언은 "측도는 모든 것의 측도이다"로 풍자되었다. 

4. 수학주의는 실증주의나 논리적 실증주의를 사실로 가정한다. 이러한 관점에서 논리는 경험주의적 조사의 결과를 계층화하거나 확실시하는 상징적 언어 그 이상이다.

5. 이 글 전체를 통해 수리철학이라고 이름지어진 수학적 추상개념의 본질과 관련된 철학적 의문의 합리적인 분야가 있다. 

일반적으로 철학은 단순히 비판적 기능으로만 여겨지거나, 단순히 판단하는 능력으로 여겨지거나, 수학적 지시그이 분석에서 제재를 가하거나 경고를 하는 측도 정도로만 일컬어지나 우리가 다루는 수학의 추상개념이 기본이 되고 중심이 되는 철학은 더 정확하고 범위가 넓은 용어의 사용과 관련이 있다. 

형이상학은 비판적이고 변호하는 기능만을 가지는 것은 아니고, 최고의 과학인 한, 우리의 정신 속에 질적인, 그러나 구분가능하고 고유한 기질을 심어 준다는 점에서 다른 과학과 비슷한 과학이다. 

그렇다면 과학으로서의 형이상학의 능력에서 두 가지 기능을 한다는 것은 맞는 과정이다. 

1. 실제적으로 사물에 대한 과학적인 지식을 부여한다.

2. 형이상학은 과학적이고 비과학적인 인간 지식의 진실, 가치, 타당성을 비판하고 옹호하며 관계를 중재한다. 

형이상학은 일반적 본질, 과학의 통합성과 복수성, 특정한 과학의 본질과 기능에 관한 문제에 대한 답을 제시한다.

참고자료:

수리철학, 이건창, 경문사