[수리통계학] 4. 확률변수와 분포(2)

[수리통계학] 4. 확률변수와 분포(2)

두 확률변수 $X,\,Y$의 결합누적분포함수(joint cumulative distribution function)는 $$F(x,\,y)=P(X\leq x,\,Y\leq y)$$ 로 정의된다.

(a) $X,\,Y$가 이산확률변수이면, $X,\,Y$의 결합누적분포함수는 $\displaystyle F(x,\,y)=\sum_{s\leq x}{\sum_{t\leq y}{f(s,\,t)}}$이고,

(b) $X,\,Y$가 연속확률변수이면, $X,\,Y$의 의 결합누적분포함수는 $\displaystyle F(x,\,y)=\int_{-\infty}^{x}{\int_{-\infty}^{y}{f(s,\,t)dt}ds}$이다.    

 

$X,\,Y$가 이산확률변수이고, $f(x,\,y)$가 결합확률질량함수일 때, $X$가 취하는 값인 $x$와 $Y$가 취하는 값인 $y$에 대해 함수 $$g(x)=\sum_{y}{f(x,\,y)},\,h(y)=\sum_{x}{f(x,\,y)}$$ 를 각각 $X$와 $Y$의 주변확률질량함수(marginal probability mass function)라고 한다. 

3개의 아스피린과, 4개의 완화제, 2개의 진정제 중에서 2개를 고를 때, $X$를 아스피린의 개수, $Y$를 진정제의 개수라고 하면, 결합확률질량함수는 $$f(x,\,y)=\frac{\displaystyle\binom{3}{x}\binom{2}{y}\binom{4}{2-x-y}}{\displaystyle\binom{9}{2}}\,(x=0,\,1,\,2,\,y=0,\,1,\,2,\,0\leq x+y\leq2)$$ 이고, 각 경우에 따른 확률은 다음 표와 같다.

	$x=0$	$x=1$	$x=2$	계
$y=0$	$\displaystyle\frac{1}{6}$	$\displaystyle\frac{1}{3}$	$\displaystyle\frac{1}{12}$	$\displaystyle\frac{7}{12}$
$y=1$	$\displaystyle\frac{2}{9}$	$\displaystyle\frac{1}{6}$	$0$	$\displaystyle\frac{7}{18}$
$y=2$	$\displaystyle\frac{1}{36}$	$0$	$0$	$\displaystyle\frac{1}{36}$
계	$\displaystyle\frac{5}{12}$	$\displaystyle\frac{1}{2}$	$\displaystyle\frac{1}{12}$	$1$

열의 합계는 $X=0,\,1,\,2$일 확률이고 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$g(x)=\sum_{y=0}^{2}{f(x,\,y)}\,(x=0,\,1,\,2)$$  

같은 방법으로 행의 합계는 $Y=0,\,1,\,2$일 확률이고 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$h(y)=\sum_{x=0}^{2}{f(x,\,y)}\,(y=0,\,1,\,2)$$

$X$와 $Y$가 연속확률변수이고 $f(x,\,y)$가 결합확률밀도함수일 때, 함수 $$g(x)=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x,\,y)dy},\,h(y)=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x,\,y)dx}\,(-\infty<x,\,y<\infty)$$ 를 각각 $X$와 $Y$의 주변확률밀도함수(marginal probability density function)라고 한다.

다음의 결합확률밀도함수 $$f(x,\,y)=\begin{cases}\displaystyle\frac{2}{3}(x+2y),&\,(0<x<1,\,0<y<1)\\0,&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$ 에 대해 $X$와 $Y$의 주변확률밀도함수를 구하면 $$\begin{align*}g(x)&=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x,\,y)dy}=\int_{0}^{1}{\frac{2}{3}(x+2y)dy}=\frac{2}{3}(x+1)\\h(y)&=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x,\,y)dy}=\int_{0}^{1}{\frac{2}{3}(x+2y)dx}=\frac{1}{3}(1+4y)\end{align*}$$ 이다. 위의 함수는 모두 $0<x<1,\,0<y<1$인 경우이고, 그 이외의 경우는 $0$이다.

두 이산확률변수 $X,\,Y$의 결합확률질량함수를 $f(x,\,y)$라 하자.

$X$가 취하는 값인 $x$와 $Y$가 취하는 값인 $y$에 대한 $X,\,Y$의 조건부확률질량함수(conditional probability mass function)는 $$f(x|y)=\frac{f(x,\,y)}{f_{Y}(y)},\,f(y|x)=\frac{f(x,\,y)}{f_{X}(x)}$$ 이고, 여기서 $f_{X}(x)(>0)$와 $f_{Y}(y)(>0)$는 각각 $X$와 $Y$에 대한 주변확률질량함수이다.

앞의 예(아스피린, 진정제, 완화제 문제)에서 $$f(X=0|Y=1)=\frac{\frac{2}{9}}{\frac{7}{18}}=\frac{4}{7},\,f(X=1|Y=1)=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{18}}=\frac{3}{7},\,f(X=2|Y=1)=\frac{0}{\frac{7}{18}}=0$$ 이다.

두 연속확률변수 $X,\,Y$의 결합확률밀도함수를 $f(x,\,y)$라 하자.

$X$가 취하는 값인 $x$와 $Y$가 취하는 값인 $y$에 대해서 $Y=y$가 주어졌을 때의 $X$의 조건부확률밀도함수(conditional probability density function) $f(x|y)$와 $X=x$가 주어졌을 때의 $Y$의 조건부확률밀도함수 $f(y|x)$는 다음과 같다. $$f(x|y)=\frac{f(x,\,y)}{h(y)},\,f(y|x)=\frac{f(x,\,y)}{g(x)}\,(g(x)\neq0,\,h(y)\neq0)$$ 여기서 $g(x)(>0)$와 $h(y)(>0)$는 각각 $X$와 $Y$에 대한 주변확률밀도함수이다.

앞의 예(주변확를밀도함수를 구하는 문제)에서 $Y=y$로 주어진 $X$의 조건부확률밀도함수는 $$\begin{align*}f(x|y)&=\frac{f(x,\,y)}{h(y)}=\frac{\frac{2}{3}(x+2y)}{\frac{1}{3}(1+4y)}\\&=\frac{2x+4y}{1+4y}\,(0<x<1)\end{align*}$$ 이고, 그 이외의 경우는 $f(x|y)=0$이다. $$f\left(x|\frac{1}{2}\right)=\frac{2x+4\cdot\frac{1}{2}}{1+4\cdot\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}(x+1)$$ 이므로 $$P\left(X\leq\frac{1}{2}|Y=\frac{1}{2}\right)=\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}(x+1)dx}=\frac{5}{12}$$ 이다.

확률변수 $X,\,Y$가 독립일 필요충분조건은

(a) 이산확률변수의 경우, 결합확률질량함수 $f(x,\,y)$가 주변확률질량함수 $f_{X}(x),\,f_{Y}(y)$의 곱으로 나타내어지는 것이다. 즉 $$f(x,\,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)$$

(b) 연속확률변수의 경우, 결합확률밀도함수 $f(x,\,y)$가 주변확률밀도함수 $g(x),\,h(y)$의 곱으로 나타내어지는 것이다. 즉 $$f(x,\,y)=g(x)h(y)$$

참고자료:

Johh E Freund's Mathematical Statistics with Applications 8th edition, Irwon Miller, Marylees Miller, Pearson

Introduction to Mathematical Statistics 7th edition, Hogg, McKean, Craig, Pearson

수리통계학, 허문열, 송문섭, 박영사