[수리통계학] 3. 확률변수와 분포(1)

3. 확률변수와 분포(1)

표본공간 $S$의 각 원소들을 실수값으로 대응시키는 함수 $X\,:\,S\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 확률변수(random variable)라고 한다. 여기서 확률변수 $X$가 $x$의 값을 가질 확률을 $P(X=x)$로 나타낸다.

예를들어 주사위를 두번 던지는 시행에서 확률변수를 주사위를 던져서 나온 눈의 합이라고 하면, 표본공간은 $S=\{(i,\,j)\,|\,1\leq i,\,j\leq6\}$, 확률변수는 $X(i,\,j)=i+j$, 확률변수에 따른 확률은 다음과 같다.

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$P(X=x)$	$\displaystyle\frac{1}{36}$	$\displaystyle\frac{2}{36}$	$\displaystyle\frac{3}{36}$	$\displaystyle\frac{4}{36}$	$\displaystyle\frac{5}{36}$	$\displaystyle\frac{6}{36}$	$\displaystyle\frac{5}{36}$	$\displaystyle\frac{4}{36}$	$\displaystyle\frac{3}{36}$	$\displaystyle\frac{2}{36}$	$\displaystyle\frac{1}{36}$

확률변수 $X$가 가산개의 원소를 가지면, 이산확률변수(discrete random variable), $X$가 구간의 형태로 나타나면, 연속확률변수(continuous random variable)라고 한다.

$X$가 이산확률변수일 때, $X$가 취하는 모든 값 $x$에 대하여 $f(x)=P(X=x)$이면, 이 함수 $f$를 $X$의 확률질량함수(probability mass function, 간단하게 p.m.f)라고 한다. 이 함수 $f$가 확률질량함수가 되기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.

(a) $X$가 취하는 모든 값 $x$에 대하여 $f(x)\geq0$

(b) $\displaystyle\sum_{x}{f(x)}=1$ ($x$는 $X$가 취하는 모든 값)

앞의 예에 대한 확률질량함수는 $\displaystyle f(x)=\frac{6-|x-7|}{36}\,(x=2,\,3,\,\cdots,\,12)$이다. 

$X$가 연속확률변수일 때, 실수 전체에서 정의된 함수 $f(x)$가 $a\leq b$인 임의의 $a,\,b$에 대하여 $$P(a\leq X\leq b)=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$ 이면, 이 함수 $f$를 $X$의 확률밀도함수(probability density function, 간단하게 p.d.f.)라고 한다. $f$가 다음 조건을 만족하면, $f$는 $X$의 확률밀도함수이다.

(a) 임의의 $x\in\mathbb{R}$에 대하여 $f(x)\geq0$

(b) $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}=1$

$X$의 확률밀도함수가 다음과 같을 때 $$1=\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}=\int_{0}^{\infty}{ke^{-2x}dx}=\frac{1}{2}k$$ 이어야 하므로 $k=2$이다. 

 

확률변수 $X$의 누적분포함수(cumulative distribution function)는 $$F_{X}(x)=P_{X}((-\infty,\,x])=P(X\leq x)$$ 로 정의된다.

 

이산확률변수의 누적분포함수는 $\displaystyle F_{X}(x)=\sum_{t\leq x}{f(t)}\,(-\infty<x<\infty)$이고,

연속확률변수의 누적분포함수는 $\displaystyle F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{x}{f(t)dt}\,(-\infty<x<\infty)$이다.

여기서부터는 확률변수가 두개인 경우를 다루겠다.

두 확률변수 $X,\,Y$가

(1) 이산확률변수일 때

결합확률질량함수(joint probability mass function)은 $X,\,Y$가 취하는 모든 값 $x,\,y$에 대한 각 순서쌍 $(x,\,y)$에 대해 $f(x,\,y)=P(X=x,\,Y=y)$이고, 이 $f(x,\,y)$가 결합확률질량함수가 될 필요충분조건은 다음과 같다.

(a) 정의역 상의 모든 순서쌍 $(x,\,y)$에 대해 $f(x,\,y)\geq0$

(b) $\displaystyle\sum_{x}{\sum_{y}{f(x,\,y)}}=1$ $f(x,\,y)$는 정의역 상에 있다)

 

(2) 연속확률변수일 때

결합확률밀도함수(joint probability density function)는 다음 식을 만족하는 $X,\,Y$가 취하는 모든 값 $x,\,y$에 대한 이변수 함수이고, $A$가 $X,\,Y$의 정의역의 카테시안 곱에 포함될 때 $$P((X,Y)\in A)=\iint_{A}{f(x,\,y)dydx}$$

이변수함수 $f$가 다음 조건을 만족하면, $f$는 $X,\,Y$의 결합확률밀도함수이다.

(a) 임의의 $(x,\,y)\in\mathbb{R}^{2}$에 대하여 $f(x,\,y)\geq0$

(b) $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{f(x,\,y)dy}dx}=1$

3개의 아스피린, 4개의 완화제, 2개의 진정제가 담긴 병에서 무작위로 2개의 알약을 선택한다. $X$와 $Y$가 각각 이 병에서 선택한 두 알약에 포함된 아스피린과 진정제의 개수라고 하면, 가능한 순서쌍은 $$(2,\,0),\,(0,\,2),\,(1,\,1),\,(1,\,0),\,(0,\,1),\,(0,\,0)$$ 이고,

전체 경우의 수는 $\displaystyle\binom{9}{2}=\frac{9!}{2!7!}=36$,

$(2,\,0)$(아스피린2, 진정제0)의 경우의 수는 $\displaystyle\binom{3}{2}\binom{4}{0}\binom{2}{0}=3$

$(0,\,2)$(아스피린0, 진정제2)의 경우의 수는 $\displaystyle\binom{3}{0}\binom{4}{0}\binom{2}{2}=1$

$(1,\,1)$(아스피린1, 진정제1)의 경우의 수는 $\displaystyle\binom{3}{1}\binom{4}{0}\binom{2}{1}=6$

$(1,\,0)$(아스피린1, 진정제0)의 경우의 수는 $\displaystyle\binom{3}{1}\binom{4}{1}\binom{2}{0}=12$

$(0,\,1)$(아스피린0, 진정제1)의 경우의 수는 $\displaystyle\binom{3}{0}\binom{4}{1}\binom{2}{1}=8$

$(0,\,0)$(아스피린0, 진정제0)의 경우의 수는 $\displaystyle\binom{3}{0}\binom{4}{2}\binom{2}{0}=6$

이므로 각 경우에 대한 확률은 다음의 표와 같고

	$x=0$	$x=1$	$x=2$
$y=0$	$\displaystyle\frac{1}{6}$	$\displaystyle\frac{1}{3}$	$\displaystyle\frac{1}{12}$
$y=1$	$\displaystyle\frac{2}{9}$	$\displaystyle\frac{1}{6}$	$0$
$y=2$	$\displaystyle\frac{1}{36}$	$0$	$0$

확률질량함수는 다음과 같다. $$f(x,\,y)=\frac{\displaystyle\binom{3}{x}\binom{2}{y}\binom{4}{2-x-y}}{\displaystyle\binom{9}{x}}\,(x=0,\,1,\,2,\,y=0,\,1,\,2,\,0\leq x,\,y\leq2)$$

$X$와 $Y$의 결합확률밀도함수가 다음과 같고 $$f(x,\,y)=\begin{cases}\displaystyle\frac{3}{5}x(x+y),&\,(0<x<1,\,0<y<2)\\0,&\,(\text{otherwise})\end{cases}$$ $\displaystyle A=\left\{(x,\,y)\,|\,0<x<\frac{1}{2},\,1<y<2\right\}$일 때, $P((X,\,Y)\in A)$(영역 $A$에 있을 확률)을 구하면 $$\begin{align*}P((X,\,Y)\in A)&=P\left(0<x<\frac{1}{2},\,1<y<2\right)=\int_{1}^{2}{\int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{3}{5}x(y+x)dx}dy}\\&=\int_{1}^{2}{\left[\frac{3}{10}x^{2}y+\frac{1}{5}x^{3}\right]_{0}^{\frac{1}{2}}dy}=\int_{1}^{2}{\frac{3y+1}{40}dy}\\&=\frac{11}{80}\end{align*}$$ 이다.

참고자료:

John E Freund's Mathematical Statistics with Applications 8th edition, Irwin Miller, Marylees Miller, Pearson

Introduction to Mathematical Statistics 7th edition, Hogg, McKean, Craig, Pearson

수리통계학, 허문열, 송문섭, 박영사