[금융통계학] 2. 확률과 확률변수

[금융통계학] 2. 확률과 확률변수

확률

확률을 정의하기 위해서는 표본공간(sample space)과 사건(event)을 정의해야 한다. 표본공간은 어떤 임의의 실험(random experiment)(또는 시행(trial))에서 가능한 결과들의 집합이고, 사건은 표본공간의 부분집합으로써 특정한 실험이 일어나는 결과들의 집합이다.

동전던지기를 한 번 시행했을 때, 결과는 앞면(H) 또는 뒷면(T) 뿐이므로 이 실험의 표본공간은 $S=\{H,\,T\}$이고, 동전던지기를 두 번 시행했을 때, 결과는 HH, HT, TH, TT이므로, 이 실험의 표본공간은 $S=\{HH,\,HT,\,TH,\,TT\}$이다. 두 경우 모두 이산형 표본공간이다.

주가는 전일 대비 상하 15% 범위 이내로 움직이도록 제한되어있다. 그러면 어느 기업의 주가의 단순수익률의 표본공간은 $S=\{r\,|\,-15\text{%}\leq r\leq15\text{%}\}$이고, 연속형 표본공간이다.

표본공간 $S$의 두 사건 $A,\,B$에 대하여 합사건을 $A\cup B$, 곱사건을 $A\cap B$, 여사건을 $A^{c}$, 배반사건(상호 배반)을 $A\cup B,\,A\cap B=\emptyset$으로 정의한다.

표본공간 $S$의 원소가 $n$개이고, 사건 $A$의 원소의 개수가 $k$개 이면, 사건 $A$가 일어날 확률(probability)은 $$P(A)=\frac{k}{n}$$ 이다. 이것은 확률의 고전적 정의이다.

고전적 확률의 정의를 이용하여 동전을 두 번 던졌을 때, 앞면이 두 번 나올 확률을 계산하자. 이 사건을 $A$라고 하면, $A=\{HH\}$, $S=\{HH,\,HT,\,TH,\,TT\}$이므로 $\displaystyle P(A)=\frac{1}{4}$이다.

표본공간 $S$ 의 부분집합인 사건 $A$에 대한 확률 $P(A)$는 다음의 세 공리들을 만족시킨다.

(1) $0\leq P(A)\leq1$

(2) $P(S)=1$

(3) 배반사건 $A_{1},\,A_{2},\,\cdots,\,A_{i},\,\cdots$에 대하여 $$P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}{A_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{\infty}{P(A_{i})}$$ 이 성질들을 공리적 확률이라고 한다.

표본공간 $S$와 사건 $A,\,B$에 대하여 다음 성질들이 성립한다.

(1) $P(A^{c})=1-P(A)$

(2) $P(A-B)=P(A\cap B^{c})=P(A)-P(A\cap B)$

(3) $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

공리적 확률의 성질을 이용하여 위의 성질들을 증명할 수 있다.

(1): $S=A\cup A^{c}$이고, $A$와 $A^{c}$는 배반사건이므로 $$1=P(S)=P(A\cup A^{c})=P(A)+P(A^{c})$$ 이고 따라서 $P(A^{c})=1-P(A)$이다.

(2): $A=(A\cap B)\cup(A\cap B^{c})$이고 $A\cap B$와 $A\cap B^{c}$는 배반사건이므로 $$P(A)=P((A\cap B)\cup(A\cap B^{c}))=P(A\cap B)+P(A\cap B^{c})$$ 이고 따라서 $P(A-B)=P(A\cap B^{c})=P(A)-P(A\cap B)$이다.

(3): $A\cup B=(A\cap B^{c})\cup B$이고 $A\cap B^{c}$와 $B$는 배반사건이므로 $$P(A\cup B)=P(A\cap B^{c})+P(B)$$ 이고, (2)에 의해 $P(A\cap B^{c})=P(A)-P(A\cap B)$이므로 따라서 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$이다.

(3)을 다음과 같이 확장할 수 있다. $$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(A\cap C)+P(A\cap B\cap C)$$

어느 은행의 예금자 중에서 예금 비율이 5%이상 증가한 예금자의 비율은 20%이고, 예금자 중에서 대출이 5%이상 증가한 예금자의 비율은 30%, 예금 비율이 5%이상 증가하고 대출이 5%이상 증가한 예금자의 비율은 10%이다.

은행 예금자 중에서 예금 비율이 5%이상 증가하는 사건을 $A$, 예금자 중에서 대출이 5%이상 증가하는 사건을 $B$라고 하자. 그러면 $$P(A)=0.2,\,P(B)=0.3,\,P(A\cap B)=0.1$$ 이므로 $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.4$$ 이다.

표본공간 $S$와 사건 $A,\,B$에 대하여 사건 $B$가 일어났다는 조건 하에서 사건 $A$가 발생할 확률을 사건 $B$에서의 사건 $A$의 조건부 확률(conditional probability)이라 하고, $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$ 로 정의된다. 이때 $$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$$ 가 성립하고 이것을 다음과 같이 확장할 수 있다. $$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B|A)P(C|A\cap B)$$

경제활동이 위축될 통계적 확률이 18%, 이 상황에서 장기채권의 수익률이 하락할 확률이 76%라고 한다.

경제활동이 위축되는 사건을 $A$, 장기채권의 수익률이 하락하는 사건을 $B$라고 하면, $$P(A)=0.18,\,P(B|A)=0.76$$ 이므로 $$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=0.137$$ 이다.

두 사건 $A,\,B$에 대하여 $P(A|B)=P(A)$ 또는 $P(B|A)=P(B)$이면, 두 사건 $A,\,B$를 독립(independent)이라고 한다. 즉, 사건 $A$($B$)가 일어날 확률이 사건 $B$($A$)에 관계없이 일정하면, $A$와 $B$는 독립이라고 하고 이때 다음 등식이 성립한다. $$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

사건 $A$에서의 사건 $B$의 조건부 확률은 $P(B|A)$이고, 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|B^{c})P(B^{c})}$$

이 식을 다음과 같이 확장할 수 있다. $B_{1},\,\cdots,\,B_{n}$을 표본공간의 분할이라 하자. 그러면 사건 $A$에서의 사건 $B_{k}$의 조건부 확률은 $$P(B_{k}|A)=\frac{P(A\cap B_{k})}{P(A)}=\frac{P(A|B_{k})P(B_{k})}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{P(A|B_{i})P(B_{i})}}$$ 이고, 이것을 베이즈 정리(Bayes' theorem)라고 한다.

어느 산업단지에 입주한 기업등 중의 5%가 도산한다고 한다. 모 은행에서 이 산업단지에 입주한 기업들의 도산 가능성을 조사하기 위해 신용평가기관을 통해 조사한 결과, 최근 1년간 도산한 기업 중 불량으로 판정된 기업은 95%, 최근 1년간 도산하지 않은 기업 중 우량으로 판정된 기업은 90%이다.

기업이 도산하는 사건을 $B$, 도산하지 않는 사건을 $B^{c}$, 신용평가기관의 조사 결과 불량으로 판정되는 사건을 $N$, 우량으로 판정되는 사건을 $G$라고 하면, $$P(B)=0.05,\,P(B^{c})=0.95,\,P(N|B)=0.95,\,P(G|B)=0.05,\,P(N|B^{c})=0.1,\,P(G|B^{c})=0.9$$ 이다.

그러면 이 산업단지에 입주한 기업의 신용평가 조사결과가 불량으로 판정되었을 때, 도산할 확률은 $$\begin{align*}P(B|N)&=\frac{P(B\cap N)}{P(N)}=\frac{P(N|B)P(B)}{P(N|B)P(B)+P(N|B^{c})P(B^{c})}\\&=\frac{0.95\cdot0.05}{0.95\cdot0.05+0.10\cdot0.95}=\frac{1}{3}\end{align*}$$ 이고, 신용평가 조사결과가 우량으로 판정되었을 때, 도산하지 않을 확률을 $$\begin{align*}P(B^{c}|G)&=\frac{P(B^{c}\cap G)}{P(G)}=\frac{P(G|B^{c})P(B^{c})}{P(G|B)P(G)+P(G|B^{c})P(B^{c})}\\&=\frac{0.90\cdot0.95}{0.05\cdot0.05+0.90\cdot0.95}=\frac{342}{343}\end{align*}$$ 이다.

확률변수

확률변수(random variable)는 표본공간에 있는 실험(또는 실행)의 결과를 숫자로 나타내는 함수이다. 즉 확률변수는 표본공간의 각 원소들을 실수로 대응하는 함수이다. 확률변수는 특정한 값으로 나타낼 수 있는 이산(discrete)확률변수와 일정한 범위 안에서 연속적인 값을 취하는 연속(continuous)확률변수로 구분된다. 동전 앞면의 수는 이산확률변수이고, 키, 몸무게, 시간은 연속확률변수이다. 참고로 연속확률변수가 하나의 가질 확률은 0이다.

이산확률변수 $X$의 확률분포가 다음과 같다고 하자.

$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\cdots$	$x_{n}$	계
$P(X=x_{i})$	$p_{1}$	$p_{2}$	$\cdots$	$p_{n}$	$1$

$P(X=x_{i})=p_{i}$를 확률질량함수(probability mass function)라고 하고, 이때 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{P(X=x_{i})}=1$이다.

연속확률변수 $X$의 경우는 $P(x\leq X\leq x+dx)=f(x)dx$인 함수 $f(x)(\geq0)$를 연속확률변수 $X$의 확률밀도함수(probability density function)라고 하고, 이때 $$\int_{-\infty}^{\infty}{f(x)dx}=1,\,P(a\leq X\leq b)=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$ 이다.

확률변수 $X$의 누적분포함수(cumulative distribution function)을 다음과 같이 정의한다. $$F(x)=P(X\leq x)$$ $X$가 이산확률변수이면, $$F(x)=P(X\leq x)=\sum_{t\leq x}{P(X=t)}$$ 연속확률변수이면, $$F(x)=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}{f(t)dt}$$ 이다.

참고자료:

기초 금융통계, 박유성, 김기환, 자유아카데미

금융인을 위한 통계분석, 이긍희, 한국금융연수원

재무위험관리사(1: 금융통계학), 금융투자교육원, 한국금융투자협회