[사관학교] 2005학년도 공통 15번, 2007학년도 공통 14번

[사관학교] 2005학년도 공통 15번, 2007학년도 공통 14번 

수열 \(\{a_{n}\},\,\{b_{n}\},\,\{c_{n}\}\)이 모든 자연수 \(n\)에 대해서 \(a_{n}\leq b_{n}\leq c_{n}\)이고$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{c_{n}}=\alpha$$이면 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{b_{n}}=\alpha\)이다. 

2005학년도 공통 15번

다음은 \(\displaystyle a_{0}=\frac{\pi}{2}\), \(a_{1}=1\), \(\displaystyle a_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}a_{n}\,(n=0,\,1,\,2,\,...)\)으로 정의된 수열 \(\{a_{n}\}\)에 대하여 \(\displaystyle a_{2n+1}\leq\frac{I}{\sqrt{n}}\leq a_{2n-2}\,(n=1,\,2,\,3,\,...)\)가 성립할 때, \(I\)의 값을 구하는 과정이다.

I) 자연수 \(n\)에 대하여 \(\displaystyle na_{n}a_{n-1}=\frac{\pi}{2}\)임을 수학적 귀납법으로 증명하면 i) \(n=1\)일 때, \(\displaystyle a_{1}\cdot a_{0}=1\times\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\)이므로 성립한다. ii) \(n=k\)일 때 성립한다고 가정하면 \(n=k+1\)일 때,$$(k+1)a_{k+1}a_{k}=(k+1)[(가)]a_{k}=\frac{\pi}{2}$$이므로 성립한다. II) 수열 \(\{a_{n}\}\)이 감소하는 수열임을 수학적 귀납법으로 증명하면 ...중략... 따라서 \(a_{n}\geq a_{n+1}\,(n=0,\,1,\,2,\,3,\,...)\)이다.   조건에서 \(\displaystyle a_{2n+1}\leq\frac{I}{\sqrt{n}}\leq a_{2n-2}\)이고 수열 \(\{a_{n}\}\)이 감소하는 수열이므로$$na_{2n+2}a_{2n+1}\leq[(나)]\leq na_{2n-2}a_{2n-3}$$임을 유추할 수 있다.  그러므로 I)에 의해서 2이상의 모든 자연수 \(n\)에 대하여$$\frac{n\pi}{2(2n+2)}\leq[(나)]\leq\frac{n\pi}{2(2n-2)}$$따라서 \(I=[(다)]\) 이다.

    

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]  

풀이: \(n=0,\,1,\,2,\,...\)에 대해 \(\displaystyle a_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}a_{n}\)이므로 \(\displaystyle a_{k+1}=\frac{k}{k+1}a_{k-1}\)이고, \(\displaystyle ka_{k}a_{k-1}=\frac{\pi}{2}\)이므로$$(k+1)a_{k+1}a_{k}=(k+1)\left\{\frac{k}{k+1}a_{k-1}\right\}a_{k}=ka_{k}a_{k-1}=\frac{\pi}{2}$$이고 (가)에 알맞은 것은 \(\displaystyle\frac{k}{k+1}a_{k-1}\)이다. 

부등식 \(\displaystyle a_{2n+1}\leq\frac{I}{\sqrt{n}}\leq a_{2n-2}\)의 양변을 제곱한 다음 각 변에 \(n\)을 곱하자. 그러면$$na_{2n+1}^{2}\leq I^{2}\leq na_{2n-2}^{2}$$이고 \(\{a_{n}\}\)은 감소하는 수열이므로 \(a_{2n+2}\leq a_{2n+1}\)이고 \(a_{2n-2}\leq a_{2n-3}\)이다. 그러면$$na_{2n+2}a_{2n+1}\leq na_{2n+1}^{2}\leq I^{2}\leq na_{2n-2}^{2}\leq na_{2n-2}a_{2n-3}$$이고$$(2n+2)a_{2n+2}a_{2n+1}=\frac{\pi}{2},\,(2n-2)a_{2n-2}a_{2n-3}=\frac{\pi}{2}$$이므로 I)에 의해 2이상의 모든 자연수 \(n\)에 대하여$$\frac{n\pi}{2(2n+2)}\leq I^{2}\leq\frac{n\pi}{2(2n-2)}$$이고 (나)에 알맞은 것은 \(I^{2}\)이다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{n\pi}{2(2n+2)}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{n\pi}{2(2n-2)}}=\frac{\pi}{4}$$이므로 \(\displaystyle I^{2}=\frac{\pi}{4}\)이고 따라서 \(\displaystyle I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)이므로 (다)에 알맞은 것은 \(\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{2}\)이다.      

2007학년도 공통 14번 

수열 \(\{S_{n}\}\)에 대하여 \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{\left(\sqrt{1+\frac{k}{n^{2}}}-1\right)}\)일 때, 다음은 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}\)의 값을 구하는 과정이다. 

모든 양의 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle\frac{x}{2+x}<\sqrt{1+x}-1<\frac{x}{2}\)가 성립한다. 자연수 \(k,\,n\,(k\leq n)\)에 대하여 \(\displaystyle x=\frac{k}{n^{2}}\)를 위 부등식에 대입하여 정리하면$$\frac{k}{2n^{2}+k}<\sqrt{1+\frac{k}{n^{2}}}-1<\frac{k}{2n^{2}}$$이므로$$\sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{2n^{2}+k}}<S_{n}<\frac{1}{2n^{2}}\sum_{k=1}^{n}{k}$$이다. 이 때,$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{2n^{2}}\sum_{k=1}^{n}{k}}=[(가)]$$이고$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left\{\frac{1}{2n^{2}}\sum_{k=1}^{n}{k}-\sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{2n^{2}+k}}\right\}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\frac{k^{2}}{2n^{2}(2n^{2}+k)}}}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\frac{k^{2}}{2n^{4}}}}=[(나)]$$이므로 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}=[(다)]\)이다.

 

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] 

풀이: $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{2n^{2}}\sum_{k=1}^{n}{k}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{2n^{2}}\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{n+1}{4n}}=\frac{1}{4}$$이므로 (가)에 알맞은 것은 \(\displaystyle\frac{1}{4}\)이다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left\{\frac{1}{2n^{2}}\sum_{k=1}^{n}{k}-\sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{2n^{2}+k}}\right\}}\leq\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\frac{k^{2}}{4n^{4}}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{4n^{4}}\left\{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right\}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{(n+1)(2n+1)}{24n^{4}}}=0$$이므로 (나)에 알맞은 것은 0이다.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left\{\frac{1}{2n^{2}}\sum_{k=1}^{n}{k}-\sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{2n^{2}+k}}\right\}}=0$$이므로$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{2n^{2}+k}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{2n^{2}}\sum_{k=1}^{n}{k}}=\frac{1}{4}$$이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}=\frac{1}{4}\)이므로 (다)에 알맞은 것은 \(\displaystyle\frac{1}{4}\)이다.