36. 쌍향성소자, 상호정리, 이중형태의 상호정리

36. 쌍향성소자, 상호정리, 이중형태의 상호정리

(※\(\Delta_{ij}\)는 \(i\)행 \(j\)열을 제거한 행렬의 행렬식)

\(\displaystyle\mathbf{Z}_{\text{in}}|_{\mathbf{V}_{2}=0}=\frac{\Delta_{\mathbf{Z}}}{\Delta_{11}}\), \(\displaystyle\mathbf{Z}_{\text{in}}|_{\mathbf{V}_{1}=0}=\frac{\Delta_{\mathbf{Z}}}{\Delta_{22}}\) \(\Rightarrow\) \(\displaystyle\mathbf{y}_{11}=\frac{\Delta_{11}}{\Delta_{\mathbf{Z}}}\), \(\displaystyle\mathbf{y}_{22}=\frac{\Delta_{22}}{\Delta_{\mathbf{Z}}}\)

\(\Delta_{\mathbf{Z}}=\det\begin{pmatrix}\mathbf{Z}_{11}&\mathbf{Z}_{12}&\cdots&\mathbf{Z}_{1N}\\ \mathbf{Z}_{21}&\mathbf{Z}_{22}&\cdots&\mathbf{Z}_{2N}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \mathbf{Z}_{N1}&\mathbf{Z}_{N2}&\cdots&\mathbf{Z}_{NN}\end{pmatrix}\), \(\Delta_{11}=\det\begin{pmatrix}\mathbf{Z}_{22}&\cdots&\mathbf{Z}_{2N}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \mathbf{Z}_{N2}&\cdots&\mathbf{Z}_{NN}\end{pmatrix}\), \(\Delta_{22}=\det\begin{pmatrix}\mathbf{Z}_{11}&\mathbf{Z}_{13}&\cdots&\mathbf{Z}_{1N}\\ \mathbf{Z}_{31}&\mathbf{Z}_{33}&\cdots&\mathbf{Z}_{3N}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \mathbf{Z}_{N1}&\mathbf{Z}_{N3}&\cdots&\mathbf{Z}_{NN}\end{pmatrix}\)

\(\mathbf{V}_{1}=0\)이라 하고 \(\mathbf{I}_{1}\)을 \(\mathbf{V}_{2}\)의 함수로 구하면

\(\mathbf{I}_{1}=\left|\begin{matrix}0&\mathbf{Z}_{12}&\cdots&\mathbf{Z}_{1N}\\-\mathbf{V}_{2}&\mathbf{Z}_{22}&\cdots&\mathbf{Z}_{2N}\\0&\mathbf{Z}_{32}&\ddots&\mathbf{Z}_{3N}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&\mathbf{Z}_{N2}&\cdots&\mathbf{Z}_{NN}\end{matrix}\right|/\left|\begin{matrix}\mathbf{Z}_{11}&\mathbf{Z}_{13}&\cdots&\mathbf{Z}_{1N}\\ \mathbf{Z}_{31}&\mathbf{Z}_{33}&\cdots&\mathbf{Z}_{3N}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \mathbf{Z}_{N1}&\mathbf{Z}_{N3}&\cdots&\mathbf{Z}_{NN}\end{matrix}\right|\), \(\displaystyle\mathbf{I}_{1}=-\frac{(-\mathbf{V}_{2})\Delta_{21}}{\Delta_{\mathbf{Z}}}\), \(\displaystyle\mathbf{y}_{12}=\frac{\Delta_{21}}{\Delta_{\mathbf{Z}}}\)

\(\mathbf{V}_{2}=0\)이라 하고 \(\mathbf{I}_{2}\)를 \(\mathbf{V}_{1}\)의 함수로 구하면 \(\displaystyle\mathbf{I}_{2}=-\frac{(-\mathbf{V}_{1})\Delta_{12}}{\Delta_{\mathbf{Z}}}\), \(\displaystyle\mathbf{y}_{21}=\frac{\Delta_{12}}{\Delta_{\mathbf{Z}}}\).

\(\Delta_{21}=\det\begin{pmatrix}\mathbf{Z}_{12}&\mathbf{Z}_{13}&\cdots&\mathbf{Z}_{1N}\\ \mathbf{Z}_{32}&\mathbf{Z}_{33}&\cdots&\mathbf{Z}_{3N}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \mathbf{Z}_{N1}&\mathbf{Z}_{N3}&\cdots&\mathbf{Z}_{NN}\end{pmatrix}\), \(\Delta_{12}=\det\begin{pmatrix}\mathbf{Z}_{21}&\mathbf{Z}_{23}&\cdots&\mathbf{Z}_{2N}\\ \mathbf{Z}_{31}&\mathbf{Z}_{33}&\cdots&\mathbf{Z}_{3N}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \mathbf{Z}_{N1}&\mathbf{Z}_{N3}&\cdots&\mathbf{Z}_{NN}\end{pmatrix}\)

어느 한 소행렬식(\(\Delta_{ij}\))의 행과 열을 서로 바꾸어도 등식은 성립한다. 그리고 각 상호 임피던스 \(\mathbf{Z}_{ij}\)를 \(\mathbf{Z}_{ji}\)로 대치한다. (\(\mathbf{Z}_{12}=\mathbf{Z}_{21},\,\mathbf{Z}_{23}=\mathbf{Z}_{32}\))

저항, 커패시터, 인덕터에서 \(\mathbf{Z}_{ij}=\mathbf{Z}_{ji}\)가 성립한다. 그렇지 않은 소자들의 공통점은 비선형 소자인 것이다. \(\mathbf{Z}_{ij}=\mathbf{Z}_{ji}\)가 성립하는 소자를 쌍향성 소자라고 하고 쌍향성 소자만을 포함하는 회로를 쌍향성 회로라고 한다.

상호정리  어떤 수동 선형 쌍향성 회로망에서 가지 \(x\)에 있는 단일전압원 \(\mathbf{V}_{x}\)에 의해서 가지 \(y\)에 전류 \(\mathbf{I}_{y}\)가 흐르면 가지 \(x\)로부터 전압원을 떼어내 가지 \(y\)에 연결했을 때 가지 \(y\)에 전류 \(\mathbf{I}_{y}\)가 흐른다.

회로의 어드미턴스 행렬식 \(\Delta_{\mathbf{Y}}\)의 소행렬식 \(\Delta_{12}\)와 \(\Delta_{21}\)이 서로 같다면 이중형태의 상호정리를 얻는다.

이중 형태의 상호정리  어떤 수동 선형 쌍향성 회로망에서 마디 \(x\)와 \(x'\)사이에 있는 단일전류원 \(\mathbf{I}_{x}\)에 의해서 마디 \(y\)와 \(y'\)사이에 전압 \(\mathbf{V}_{y}\)가 걸리면, 마디 \(x\)와 \(x'\)으로부터 전류원을 떼어내어 마디 \(y\)와 \(y'\)사이에 연결했을 때 마디 \(x\)와 \(x'\)사이에 전압 \(\mathbf{V}_{y}\)가 걸린다.

\((\mathbf{I}_{1}-0.2\mathbf{V}_{2})+(\mathbf{I}_{2}-0.5\mathbf{I}_{1})=0.1\mathbf{V}_{1}\)

\(\mathbf{V}_{2}-5\mathbf{I}_{2}=\mathbf{V}_{1}\)

\(\Rightarrow\mathbf{I}_{1}=0.6\mathbf{V}_{1}\), \(\mathbf{I}_{2}=-0.2\mathbf{V}_{1}+0.2\mathbf{V}_{2}\)

\(\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{1}\\ \mathbf{I}_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.6&0\\-0.2&0.2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{V}_{1}\\ \mathbf{V}_{2}\end{pmatrix},\,\mathbf{y}=\begin{pmatrix}0.6&0\\-0.2&0.2\end{pmatrix}\).

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill