35. 2포트 회로망 기본

35. 2포트 회로망 기본

신호가 회로망으로 들어가기도 하고 나오기도 하는 단자 쌍을 포트라고 한다.

위의 회로망은 1포트 회로망이다.(\(i_{a}=i_{b}\))

이 회로망은 2포트 회로망이다.(\(i_{a}=i_{b},\,i_{c}=i_{d}\))

전원과 부하는 어느 한 포트의 두 단자의 양단에 연결되어야 한다(2포트에서 a, c, b, d에 연결될 수 없다)

어느 수동 회로망의 루프방정식은 다음과 같다.

$$\mathbf{Z}_{11}\mathbf{I}_{1}+\mathbf{Z}_{2}\mathbf{I}_{2}+\cdots+\mathbf{Z}_{1N}\mathbf{I}_{N}=\mathbf{V}_{1}\\ \mathbf{Z}_{21}\mathbf{I}_{1}+\mathbf{Z}_{22}\mathbf{I}_{2}+\cdots+\mathbf{Z}_{2N}\mathbf{I}_{N}=\mathbf{V}_{2}\\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\ \mathbf{Z}_{N1}\mathbf{I}_{1}+\mathbf{Z}_{N2}\mathbf{I}_{2}+\cdots+\mathbf{Z}_{NN}\mathbf{I}_{N}=\mathbf{V}_{N}$$

\(\displaystyle\mathbf{I}_{1}=\frac{\mathbf{V}_{11}\Delta_{11}}{\Delta_{\mathbf{Z}}}\), \(\displaystyle\mathbf{Z}_{\text{in}}=\frac{\mathbf{V}_{1}}{\mathbf{I}_{1}}=\frac{\Delta_{\mathbf{Z}}}{\Delta_{11}}\), \(\displaystyle\Delta_{\mathbf{Z}}=\det\begin{pmatrix}\mathbf{Z}_{11}&\mathbf{Z}_{12}&\cdots&\mathbf{Z}_{1N}\\ \mathbf{Z}_{21}&\mathbf{Z}_{22}&\cdots&\mathbf{Z}_{2N}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \mathbf{Z}_{N1}&\mathbf{Z}_{N2}&\cdots&\mathbf{Z}_{NN}\end{pmatrix}\), \(\displaystyle\Delta_{11}=\det\begin{pmatrix}\mathbf{Z}_{22}&\cdots&\mathbf{Z}_{2N}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \mathbf{Z}_{N2}&\cdots&\mathbf{Z}_{NN}\end{pmatrix}\)

(※\(\Delta_{ij}\)는 \(i\)행 \(j\)열을 제거한 행렬의 행렬식)

이 회로의 메쉬방정식은

\(\mathbf{V}_{1}=10(\mathbf{I}_{1}-\mathbf{I}_{2})\)

\(0=10(\mathbf{I}_{2}-\mathbf{I}_{1})+5\mathbf{I}_{2}+2(\mathbf{I}_{2}-\mathbf{I}_{3})-5\mathbf{I}_{4}\)

\(0=2(\mathbf{I}_{3}-\mathbf{I}_{2})+1(\mathbf{I}_{3}-\mathbf{I}_{4})+4\mathbf{I}_{3}\)

\(0=5(\mathbf{I}_{4}-\mathbf{I}_{2})+20\mathbf{I}_{4}+1(\mathbf{I}_{4}-\mathbf{I}_{3})\)

이고 \(\Delta_{\mathbf{Z}}=9680\Omega^{4}\), \(\Delta_{11}=2778\Omega^{3}\), \(\displaystyle\mathbf{Z}_{\text{in}}=\frac{\mathbf{V}_{1}}{\mathbf{I}_{1}}=\frac{\Delta_{Z}}{\Delta_{11}}=3.485\Omega\)(입력 임피던스).

이 회로의 마디방정식은

\(\mathbf{I}_{1}=0.1\mathbf{V}_{1}+0.2(\mathbf{V}_{1}-\mathbf{V}_{2})+0.05(\mathbf{V}_{1}-\mathbf{V}_{3})\)

\(0=0.2(\mathbf{V}_{2}-\mathbf{V}_{1})+(\mathbf{V}_{2}-\mathbf{V}_{3})+0.5\mathbf{V}_{2}\)

\(0=(\mathbf{V}_{3}-\mathbf{V}_{2})+0.25\mathbf{V}_{3}+0.05(\mathbf{V}_{3}-\mathbf{V}_{1})\)이고

\(\Delta_{\mathbf{Y}}=0.3473s^{3}\), \(\Delta_{11}=1.21s^{2}\), \(\displaystyle\mathbf{Y}_{\text{in}}=\frac{\Delta_{\mathbf{Y}}}{\Delta_{11}}=0.2870s\)(입력 어드미턴스).

\(\mathbf{I}_{1}=\mathbf{y}_{11}\mathbf{V}_{1}+\mathbf{y}_{12}\mathbf{V}_{2}\), \(\mathbf{I}_{2}=\mathbf{y}_{21}\mathbf{V}_{1}+\mathbf{y}_{22}\mathbf{V}_{2}\)

여기서 \(\mathbf{y}\)를 어드미턴스 정수라고 하고 단위는 S(지멘스) 또는 A/V이다.

\(\mathbf{I}=\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{1}\\ \mathbf{I}_{2}\end{pmatrix}\), \(\mathbf{y}=\begin{pmatrix}\mathbf{y}_{11}&\mathbf{y}_{12}\\ \mathbf{y}_{21}&\mathbf{y}_{22}\end{pmatrix}\), \(\mathbf{V}=\begin{pmatrix}\mathbf{V}_{1}\\ \mathbf{V}_{2}\end{pmatrix}\)라고 하면 \(\mathbf{I}=\mathbf{yV}\)이고 \(\begin{pmatrix}\mathbf{I}_{1}\\ \mathbf{I}_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathbf{y}_{11}\mathbf{V}_{1}+\mathbf{y}_{12}\mathbf{V}_{2}\\ \mathbf{y}_{21}\mathbf{V}_{1}+\mathbf{y}_{22}\mathbf{V}_{2}\end{pmatrix}\).

\(\displaystyle\mathbf{y}_{11}=\frac{\mathbf{I}_{1}}{\mathbf{V}_{1}}_{\mathbf{V}_{2}=0}\)(출력단자의 단락): 단락회로 입력 어드미턴스.

\(\displaystyle\mathbf{y}_{21}=\frac{\mathbf{I}_{2}}{\mathbf{V}_{1}}_{\mathbf{V}_{2}=0}\)(출력단자의 단락): 단락회로 전달 어드미턴스.

\(\displaystyle\mathbf{y}_{22}=\frac{\mathbf{I}_{2}}{\mathbf{V}_{2}}_{\mathbf{V}_{1}=0}\)(입력단자의 단락): 단락회로 출력 어드미턴스.

\(\displaystyle\mathbf{y}_{12}=\frac{\mathbf{I}_{1}}{\mathbf{V}_{2}}_{\mathbf{V}_{1}=0}\)(입력단자의 단락): 단락회로 전달 어드미턴스.

(1) \(\mathbf{V}_{1}=1\text{V},\,\mathbf{V}_{2}=0\text{V}\)(\(\mathbf{V}_{2}\)단락)이면 \(\mathbf{y}_{11}=\mathbf{I}_{1},\,\mathbf{y}_{21}=\mathbf{I}_{2}\)이고 \(\displaystyle\mathbf{I}_{1}=\frac{1\text{V}}{5\Omega}+\frac{1\text{V}}{10\Omega}=0.3\text{A}\), \(\displaystyle\mathbf{I}_{2}=-\frac{1\text{V}}{10\Omega}=-0.1\text{A}\), \(\mathbf{y}_{11}=0.3\text{s},\,\mathbf{y}_{21}=-0.1\text{s}\)

(2) \(\mathbf{V}_{2}=1\text{V},\,\mathbf{V}_{1}=0\text{V}\)(\(\mathbf{V}_{1}\)단락)이면 \(\mathbf{y}_{22}=\mathbf{I}_{2}\), \(\mathbf{y}_{12}=\mathbf{I}_{1}\)이고 \(\displaystyle\mathbf{I}_{2}=\frac{1\text{V}}{10\Omega}+\frac{1\text{V}}{20\Omega}=0.15\text{A}\), \(\displaystyle\mathbf{I}_{1}=-\frac{1\text{V}}{10\Omega}=-0.1\text{A}\), \(\mathbf{y}_{11}=0.15\text{s},\,y_{21}=-0.1\text{s}\)

그러면 \(\mathbf{I}_{1}=0.3\text{V}_{1}-0.1\text{V}_{2}\), \(\mathbf{I}_{2}=-0.1\text{V}_{1}+0.15\text{V}_{2}\)이고 \(\mathbf{y}=\begin{pmatrix}0.3&-0.1\\-0.1&0.15\end{pmatrix}\).

  

\(15=\mathbf{I}_{1}+0.1\mathbf{V}_{1}\), \(\mathbf{I}_{2}=-0.25\mathbf{V}_{2}\),

\(15-0.1\mathbf{V}_{1}=0.3\mathbf{V}_{1}-0.1\mathbf{V}_{2}\), \(-0.25\mathbf{V}_{2}=-0.1\mathbf{V}_{1}+0.25\mathbf{V}_{2}\), \(15=0.4\mathbf{V}_{1}-0.1\mathbf{V}_{2}\), \(0=-0.1\mathbf{V}_{1}+0.4\mathbf{V}_{2}\)

\(\mathbf{V}_{1}=40\text{V}\), \(\mathbf{V}_{2}=10\text{V}\), \(\mathbf{I}_{1}=11\text{A}\), \(\mathbf{I}_{2}=-2.5\text{A}\).

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill