6. 공명, 관과 막대에서의 정상파, 맥놀이, 비사인형 파동의 모양

6. 공명, 관과 막대에서의 정상파, 맥놀이, 비사인형 파동의 모양

주기적인 힘이 팽팽한 줄과 같은 계에서 작용하면, 그 결과로 생기는 운동의 진폭은 작용한 힘의 진동수가 계의 자연진동수(natural frequency)중 하나와 일치할 때 가장 커진다. 이러한 현상을 공명(resonance)이라고 한다. 진동계는 자연진동수들 중 어느 한 개의 진동수로 구동될 때 큰 진폭을 나타낸다. 이러한 진동수를 공명진동수(resonance frequency)라고 한다.

*블록-용수철 계 또는 단진자의 경우 1개의 자연진동수를 갖고, 정상파계는 자연진동수들의 전체집합이다. 

정상파는 서로 반대방향으로 진행하는 종파간의 간섭으로 발생한다. 한쪽 끝이 닫혀있는 관에서 닫힌 끝은 변위마디에 해당하고, 닫힌 관의 끝은 압력파의 배에 해당한다. 공기관의 열린 끝은 변위의 배이고 압력파의 마디이다(근사적으로). 

공기관의 양쪽 끝에서 마디와 배에 대한 경계조건을 알면 진동의 고유모드를 구할 수 있다(공기관은 양자화된 진동수를 갖는다). 다음은 양쪽 끝이 열린 관에서의 처음 3개의 진동 고유모드이다.

왼쪽은 첫 번째 조화모드, 가운데는 두 번째 조화모드, 오른쪽은 세 번째 조화모드이다. 양쪽 끝이 열린 관에서 자연진동수는 기본진동수의 정수배를 모두 포함하는 조화모드를 이룬다. 따라서 진동의 기본진동수는 \(\displaystyle f_{n}=n\frac{v}{2L}\)이고 \(v\)는 공기에서의 음속이다. 

다음은 관의 한쪽 끝은 닫혀있고 다른쪽 끝은 열려있는 관에서의 처음 3개의 진동 고유모드이다. 관의 한쪽 끝은 닫혀있고 다른쪽 끝은 열려있다면 닫힌 끝은 변위의 마디이다.

왼쪽은 첫 번째 조화모드, 가운데는 두 번째 조화모드, 오른쪽은 세 번째 조화모드이다. 한쪽 끝이 닫힌 관에서 진동의 자연진동수는 기본진동수의 홀수 정수배만을 포함하는 조화모드를 이룬다. 따라서 진동의 기본진동수는 \(\displaystyle f_{n}=n\frac{v}{4L}\)이고 \(n\)은 홀수, \(v\)는 공기에서의 음속이다.

*공기관에 기초한 악기들은 공명에 의해 연주된다. 

다음은 막대와 막에서의 정상파이다.

위 그림의 장치의 진동은 양쪽 끝이 열린 관에서의 진동과 유사하고 왼쪽은 첫 번째 고유모드, 오른쪽은 두 번째 고유모드이다. 

막대에서 횡방향의 정상파를 만드는 것이 가능하다(이를 활용한 예로 실로폰, 트라이앵글이 있다).

막의 한 지점을 치면 고정된 테두리에 도달하는 파동은 여러번 반사된다(예: 북). 

*합성음은 정상파의 진동수가 정수배의 관계를 갖지 않기 때문에 조화모드가 아니다.

다음은 2차원 원형 막에서 몇 가지 가능한 고유모드이다.

파란색은 특정 순간 지면 위로 움직이는 매질의 요소, 갈색은 특정 순간 지면 아래로 움직이는 매질의 요소이다. 원 위의 숫자는 지름마디와 환상마디의 숫자이고, 원 아래의 숫자는 이 모드의 진동수에 대한 각 모드 진동수의 비율이다. 

매질요소의 진동진폭은 요소의 공간적 위치에 따라 달라지는데 이것을 공간적 간섭이라고 하고, 두 파동을 공간의 한 점에서 관측하면, 보강간섭과 소멸간섭이 시간적으로 교대되는데 이것을 시간적 간섭이라고 한다. 진동수가 약간 다른 두 파동의 중첩에 의해 한 점에서 진폭이 주기적으로 변화하는 현상을 맥놀이(beating)라고 한다.

동일한 진폭을 갖고, 서로 약간 다른 진동수 \(f_{1}\)과 \(f_{2}\)를 갖는 두 음파에 대해

\(\displaystyle kx=\frac{\pi}{2}\), \(\displaystyle y_{1}=A\sin\left(\frac{\pi}{2}-\omega_{1}t\right)=A\cos(2\pi f_{1}t)\), \(\displaystyle y_{2}=A\sin\left(\frac{\pi}{2}-\omega_{2}t\right)=A\cos(2\pi f_{2}t)\)(\(\omega_{1}=2\pi f_{1}\), \(\omega_{2}=2\pi f_{2}\))이고 

이 위치에서의 합성파동은 삼각함수의 덧셈공식 \(\displaystyle\cos a+\cos b=2\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\)으로부터 다음과 같다.$$y=\left\{2A\cos2\pi\left(\frac{f_{1}-f_{2}}{2}\right)t\right\}$$이 합성파동의 파형은 다음과 같은 포락선(envelope)이다.

합성파동은 평균진동수 \(\displaystyle\frac{f_{1}+f_{2}}{2}\)와 같은 유효진동수를 갖고, 이 파동은 대괄호 안의 포락선 파동 \(\displaystyle y_{\text{envelope}}=2A\cos2\pi\left(\frac{f_{1}+f_{2}}{2}\right)t\)과 곱해진다. 따라서 합성파동의 진폭의 세기는 시간에 따라 변하고 진폭은 \(\displaystyle\frac{f_{1}+f_{2}}{2}\)의 진동수로 변하기 때문에 맥놀이진동수는 \(f_{\text{beat}}=|f_{1}-f_{2}|\)이다. 

대부분의 악기에 의해 만들어지는 음파의 모양은 사인형이 아니고, 각각의 모양은 주기적이다.

(*Tuning fork: 소리굽쇠) 파동의 모양이 주기적이면, 조화모드를 이루는 충분히 많은 수의 사인형 파동을 조합함으로써 원하는 만큼 최대한 근접하게 표현할 수 있다. 

\(y(t)\)가 주기 \(T\)를 갖는 주기함수이면 \(y(t+T)=y(t)\)이고, 다음은 푸리에 급수(Fourier series)이다.$$y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}{(a_{n}\cos2\pi f_{n}t+b_{n}\sin2\pi f_{n}t)}+a_{0}$$여기서 \(a_{n}\), \(b_{n}\)은 파동들의 진폭을 나타내고,$$a_{0}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{y(t)dt},\,a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{y(t)\cos2\pi f_{n}tdt},\,b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{y(t)\sin2\pi f_{n}tdt},\,f_{n}=nf_{1},\,f_{1}=\frac{1}{T}$$이다. 다음은 소리굽쇠와 플루트, 클라리넷의 조화모드에 따른 상대적인 세기를 나타낸 것이다.

다양한 조화모드들을 다음과 같이 푸리에 합성(Fourier synthesis)을 통해 합성파동모양을 만든다.

사각형 파동의 대칭성 때문에 기본 진동수의 홀수배들의 조합만 이 합성에 사용된다. 최대한 사각형 파동에 가깝게 만들려면 모든 홀수배 진동수의 조화모드를 무한대까지 합해야 한다. 

참고자료:

Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics 9th edition, Serway, Jewett, Cengage Learning