[확률적분] 7. 이토적분으로 정의된 확률과정

[확률적분] 7. 이토적분으로 정의된 확률과정

브라운 운동 \(B(t)\)와 여과 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{a\leq t\leq b}\)가 다음의 조건들을 만족한다고 하자. 

(a) \(t\)에 대하여 \(B(t)\)는 \(\mathcal{F}_{t}-\)가측이다.  

(b) 임의의 \(s\leq t\)에 대하여 확률변수 \(B(t)-B(s)\)는 \(\sigma-\)체 \(\mathcal{F}_{s}\)와 독립이다.  

확률과정 \(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)를 선택하면 임의의 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 다음의 부등식이 성립하고$$\int_{a}^{t}{E(|f(s)|^{2})ds}\leq\int_{a}^{b}{E(|f(s)|^{2}ds)}<\infty$$따라서 \(f\in L^{2}_{ad}([a,\,t]\times\Omega)\)이다. 이것은 모든 \(t\in[a,\,b]\)에 대해 확률적분 \(\displaystyle\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)}\)가 정의됨을 뜻하고, 다음의 확률과정을 고려하자.$$X_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$그러면 다음이 성립하고$$E(|X_{t}|)=\int_{a}^{t}{E(|f(s)|^{2})ds}<\infty$$\(E(|X_{t}|)\leq\sqrt{E(|X_{t}|^{2})}<\infty\)이므로 따라서 모든 \(t\)에 대해 확률변수 \(X_{t}\)는 적분가능하고 \(\sigma-\)체에 대한 \(X_{t}\)의 조건부기댓값을 정의할 수 있게된다. 

\(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)라 하자. 그러면 다음과 같이 정의된 확률과정 \(X_{t}\)는 여과 \(\{\mathcal{F}_{t}\}_{a\leq t\leq b}\)에 대해 마팅게일이다.$$X_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$증명:

(1) \(f\)를 계단 확률과정이라고 하자. 그러면 임의의 \(a\leq s<t\leq b\)에 대해 다음의 등식이 성립함을 보여야 한다.$$E(X_{t}|\mathcal{F}_{s})=X_{s}\,a.s.$$\(\displaystyle X_{t}=X_{s}+\int_{s}^{t}{f(u)dB(u)}\)이므로 다음의 등식이 성립함을 보이면 된다.$$E\left(\int_{a}^{t}{f(u)dB(u)}|\mathcal{F}_{s}\right)=0\,a.s.$$\(f\)가 다음과 같다고 하자.$$f(u,\,\omega)=\sum_{i=1}^{n}{\xi_{i-1}(\omega)\mathbb{1}_{(t_{i-1},\,t_{i}]}}(u)$$여기서 \(s=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=t\)이고 \(\xi_{i-1}\)는 \(\mathcal{F}_{t_{i-1}}-\)가측이고 \(L^{2}(\Omega)\)에 속한다. 그러면$$\int_{s}^{t}{f(u)dB(u)}=\sum_{i=1}^{n}{\xi_{i-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}$$이고 모든 \(i=1,\,2,\,...,\,n\)에 대해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}&E(\xi_{i-1}\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}|\mathcal{F}_{s})\\&=E(E(\xi_{i-1}\{B(t_{i-1}-B(t_{i}))\}|\mathcal{F}_{t_{i-1}})|\mathcal{F}_{s})\\&=E(\xi_{i-1}E(B(t_{i})-B(t_{i-1})|\mathcal{F}_{t_{i-1}})|\mathcal{F}_{s})\\&=0\,(\because\,E(\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}|\mathcal{F}_{t_{i-1}}))=0\end{align*}$$따라서 \(\displaystyle E\left(\int_{s}^{t}{f(u)dB(u)}|\mathcal{F}_{s}\right)=0\,a.s.\)이다. 

(2) 일반적인 경우를 고려하자. \(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)라 하고 \(L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)상의 계단 확률과정열 \(\{f_{n}\}\)을 선택해 다음이 성립한다고 하자.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{E(|f(u)-f_{n}(u)|^{2})du}}=0$$모든 \(n\in\mathbb{N}\)에 대해 확률과정 \(X^{(n)}(t)\)를 다음과 같이 정의하면$$X_{t}^{(n)}=\int_{a}^{t}{f_{n}(u)dB(u)}$$(1)에 의해 \(X_{t}^{(n)}\)은 마팅게일이다. \(s<t\)에 대하여 다음과 같이 나타내고$$X_{t}-X_{s}=(X_{t}-X_{t}^{(n)})+(X_{t}^{(n)}-X_{s}^{(n)})+(X_{s}^{(n)}-X_{s})$$다음과 같이 조건부기댓값을 취하자.$$E(X_{t}-X_{s}|\mathcal{F}_{s})=E(X_{t}-X_{t}^{(n)}|\mathcal{F}_{s})+E(X_{s}^{(n)}-X_{s}|\mathcal{F}_{s})$$다음이 성립함에 주목하면$$\begin{align*}E(|E(X_{t}-X_{t}^{(n)}|\mathcal{F}_{s})|^{2})&\leq E(E(|X_{t}-X_{t}^{(n)}|^{2}|\mathcal{F}_{s}))\\&=E(|X_{t}-X_{t}^{(n)}|^{2})\end{align*}$$다음이 성립하고$$\begin{align*}E(|E(X_{t}-X_{t}^{(n)}|\mathcal{F}_{s})|^{2})&\leq\int_{a}^{t}{E(|f(u)-f_{n}(u)|^{2})du}\\&\int_{a}^{b}{E(|f(u)-f_{n}(u)|^{2})du}\\&\,\rightarrow\,0\,(n\,\rightarrow\,\infty)\end{align*}$$따라서(필요할 때 부분수열을 취하면) \(E(X_{t}-X_{t}^{(n)}|\mathcal{F}_{s})\,\rightarrow\,0\,a.s.\)이고 비슷하게 \(E(X_{s}-X_{s}^{(n)}|\mathcal{F}_{s})\,\rightarrow\,0\,a.s.\)이다. 따라서 \(E(X_{t}-X_{s}|\mathcal{F}_{s})=0\)이고 \(E(X_{t}|\mathcal{F}_{s})=X_{s}\,a.s.\)이므로 \(X_{t}\)는 마팅게일이다.    

\(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)라 하자. 그러면 다음의 확률과정은$$X_{t}=\int_{a}^{t}{f(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$연속이다. 말 그대로 거의 모든 표본경로들이 구간 \([a,\,b]\)에서 연속함수이다. 

증명: 

(1): \(f\)가 다음과 같은 계단 확률과정이라고 하자.$$f(s,\,\omega)=\sum_{i=1}^{n}{\xi_{i-1}\mathbb{1}_{(t_{i-1},\,t_{i}]}(s)}$$여기서 \(\xi_{i-1}\)은 \(\mathcal{F}_{t_{i-1}}-\)가측이고 이 경우 고정된 \(\omega\in\Omega\)에 대해 \(X_{t}\)의 표본경로는 \(t_{k-1}\leq t<t_{k}\)에 대해 다음과 같이 주어진다.$$X_{t}(\omega)=\sum_{i=1}^{k-1}{\xi_{i-1}(\omega)}\{B(t_{i},\,\omega)-B(t_{i-1},\,\omega)\}+\xi_{k-1}\{B(t,\,\omega)-B(t_{k-1},\,\omega)\}$$거의 모든 \(\omega\)에 대해 브라운 운동의 경로 \(B(\cdot,\,\omega)\)는 연속함수이고 따라서 거의 모든 \(\omega\)에 대해, 표본경로 \(X_{(\cdot)}(\omega)\)는 \([a,\,b]\)에서 연속함수이다.    

(2): 일반적인 경우를 고려하자. \(\{f_{n}\}\)을 \(L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)에서의 계단 확률과정열로 다음이 성립한다고 하자.$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{E(|f(s)-f_{n}(s)|^{2})ds}}=0$$필요할 때 부분수열을 취함으로써 다음이 성립한다고 가정할 수 있다.$$\int_{a}^{b}{E(|f(s)-f_{n}(s)|^{2})ds}\leq\frac{1}{n^{6}},\,n\in\mathbb{N}$$확률과정 \(X_{t}^{(n)}\)을 다음과 같이 정의하자.$$X_{t}^{(n)}=\int_{a}^{t}{f_{n}(s)dB(s)},\,a\leq t\leq b$$그러면 앞에서 증명했듯이 \(X_{t}^{(n)}\)의 거의 모든 표본경로들이 연속함수이다. \(X_{t}\)와 \(X_{t}^{(n)}\)은 마팅게일이고 따라서 \(X_{t}-X_{t}^{(n)}\)은 마팅게일이며, 둡의 열마팅게일 부등식에 의해 다음의 부등식이 성립한다.$$P\left(\sup_{a\leq t\leq b}{|X_{t}-X_{t}^{(n)}|\geq\frac{1}{n}}\right)\leq nE(|X_{b}-X_{b}^{(n)}|)$$슈바르츠부등식으로부터$$\begin{align*}E(|X_{b}-X_{b}^{(n)}|)&\leq\sqrt{E(|X_{b}-X_{b}^{(n)}|^{2})}\\&=\sqrt{\int_{a}^{b}{E(|f(s)-f_{n}(s)|^{2})ds}}\\&\leq\frac{1}{n^{3}}\end{align*}$$이므로 모든 \(n\geq 1\)에 대해 다음 부등식이 성립하고$$P\left(\sup_{a\leq t\leq b}{|X_{t}-X_{t}^{(n)}|}\geq\frac{1}{n}\right)\leq\frac{1}{n^{2}}$$\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{2}}}<\infty\)이므로 보렐-칸텔리 보조정리에 의해 다음이 성립하고$$P\left(\sup_{a\leq t\leq b}{|X_{t}-X_{t}^{(n)}|}\geq\frac{1}{n}\,\text{i.o.}\right)=0$$이고 여기서 \(\{A_{n}\,\text{i.o.}\}\)는 다음을 의미한다.$$\{A_{n}\,\text{i.o.}\}=\{A_{n}\,\text{infinitely often}\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}{\bigcup_{k=n}^{\infty}{A_{k}}}$$또한 \(P(\{A_{n}\,\text{i.o.})=0\)일 때 \(P(\{A_{n}\,\text{f.o.}\})=1\)이 성립한다. 그러면 다음이 성립하고$$P\left(\sup_{a\leq t\leq b}{|X_{t}-X_{t}^{(n)}|}\geq\frac{1}{n}\,\text{f.o.}\right)=1$$따라서 사건 \(\Omega_{0}\)가 존재해서 \(P(\Omega_{0})=1\)이고 모든 \(\omega\in\Omega_{0}\)에 대해 \(N(\omega)\in\mathbb{N}\)가 존재해서 \(n\geq N(\omega)\)일 때 다음이 성립한다.$$\sup_{a\leq t\leq b}{|X_{t}(\omega)-X_{t}^{(n)}(\omega)|}<\frac{1}{n}$$따라서 모든 \(\omega\)에 대해 \(X_{(\cdot)}^{(n)}(\omega)\,(n\in\mathbb{N})\)은 \(X_{(\cdot)}(\omega)\)로 균등수렴한다. 그러나 모든 \(n\)에 대하여 확률과정 \(X_{t}^{(n)}\)은 연속이므로 사건 \(\Omega_{n}\)이 존재해서 \(P(\Omega_{n})=1\)이고 모든 \(\omega\in\Omega_{n}\)에 대해 \(X_{(\cdot)}^{(n)}\)은 연속이다. 

(3) 마지막으로 \(\displaystyle\tilde{\Omega}=\bigcap_{n=0}^{\infty}{\Omega_{n}}\)이라 하자. 그러면 \(P(\tilde{\Omega}_{n})=1\)이고, 모든 \(\omega\in\tilde{\Omega}_{n}\)에 대해 수열 \(X_{(\cdot)}^{(n)}\)은 \([a,\,b]\)에서 \(X_{(\cdot)}^{(n)}\)으로 균등수렴하는 연속함수열이다. 따라서 거의 모든 확률과정 \(X_{t}\)의 표본경로들은 \([a,\,b]\)에서 연속함수이고 \(X_{t}\)는 연속 확률과정이다. 

\(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)라 하자. 구간 \([a,\,b]\)의 분할 \(\Delta_{n}=\{t_{0},\,t_{1},\,...,\,t_{n-1},\,t_{n}\}\)에 대해 \(f\)의 \(B(t)\)에 대한 리만합을 다음과 같이 정의하자.$$\sum_{k=1}^{n}{f(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}$$이 리만합의 수열은 이토적분 \(\displaystyle\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}\)로 수렴한다. \(E(f(t)f(s))\)를 \(t\)와 \(s\)의 연속함수라 하고 확률과정 \(f_{n}\)을 다음과 같이 정의하자.$$f_{n}(t,\,\omega)=f(t_{i-1},\,\omega),\,t_{i-1}<t\leq t_{i}$$그러면 다음이 성립하고$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\int_{a}^{b}{E(|f(t)-f_{n}(t)|^{2})ds}}=0$$따라서 \(L^{2}(\Omega)\)에서 리만합의 수열이 다음과 같이 수렴한다.$$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{I(f_{n})}$$여기서 \(I(f_{n})\)은 다음과 같이 정의된다.$$\begin{align*}I(f_{n})&=\sum_{i=1}^{n}{f_{n}(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}\\&=\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}\end{align*}$$따라서 이 결과를 다음과 같이 정리할 수 있다.

\(f\in L^{2}_{ad}([a,\,b]\times\Omega)\)이고 \(E(f(t)f(s))\)를 \(s\)와 \(t\)의 연속함수라 하자. 그러면 \(L^{2}(\Omega)\)에서 다음이 성립한다.$$\int_{a}^{b}{f(t)dB(t)}=\lim_{\|\Delta_{n}\|\,\rightarrow\,0}{\sum_{i=1}^{n}{f(t_{i-1})\{B(t_{i})-B(t_{i-1})\}}}$$여기서 \(\Delta_{n}=\{a=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=b\}\)이고 \(\displaystyle\|\Delta_{n}\|=\max_{1\leq i\leq n}{(t_{i}-t_{i-1})}\)이다. 

참고자료:

Introduction to Stochastic Integration, Hui-Hsiung Kuo, Springer