5. 테브난, 노턴 등가회로

5. 테브난, 노턴 등가회로

부하저항 $R_{L}$에 대한      (1) 테브난 등가회로         (2) 노턴 등가회로

테브난의 정리

1. 주어진 임의의 선형회로에서 두개의 회로 A(간단하게 정리할 회로)와 B(그대로 두어야 할 회로)가 두개의 도선으로 연결되는 형태로 재정돈한다. 2. 회로 B를 분리시키고 회로 A의 단자 양단에 나타나는 전압을 $v_{oc}(v_{TH})$로 정의한다. 3. 회로 A 내부의 모든 독립전원을 제거 또는 0으로 만들어 비활성 회로를 구성한다. 이때 종속전원은 남긴다. 4. 이 비활성 회로에 $v_{oc}$값을 갖는 독립전원을 직렬로 연결한다. (회로를 완성하지 말고 두 단자를 개방된 상태로 남겨둔다) 5. 새로운 회로 A의 단자에 회로 B를 연결한다 (회로 B의 모든 전압, 전류는 그대로 유지된다)

 

* A, B 두 회로 중 어느 회로에라도 종속전원이 있다면 이 종속전원의 제어변수는 반드시 동일한 회로 내부에 있어야 한다.

테브난 정리에서 유의할 점: ◆ 회로 A 또는 B에 대한 유일한 제한사항은 회로 A에 속한 모든 종속전원은 그 제어변수가 회로 A에 포함되어 있어야 한다는 것이다. 회로 B에 대해서도 동일한 제한이 적용된다. ◆ 회로 A 또는 B의 복잡한 정도에는 제한이 없다. ◆ 죽은 회로 A는 단 한개의 저항 $R_{TH}$로 나타낼 수 있으며, 이 등가저항을 테브난 등가저항이라고 부른다. 이때 죽은회로 A에 종속전원이 있든 없든 상관없다. ◆ 테브난의 등가회로는 두개의 소자로 구성된다. 하나는 전압원이고 또 하나는 전압원과 직렬로 접속된 저항이다. 이 둘중 하나가 0일 수도 있다.

$2\Omega$저항에 흐르는 전류 $I_{2\Omega}$를 테브난의 정리를 이용하여 구하자.

$\displaystyle V_{TH}=\frac{4}{4+4+6}\times(9\text{V})=2.571\text{V}$, $\displaystyle R_{TH}=5+\frac{4\times(4+6)}{4+(4+6)}=7.857\Omega$이므로 따라서 $\displaystyle I_{2\Omega}=\frac{2.571}{7.857+2}=260.8\text{mA}$

직접 구해도 결과는 같다. $4\Omega||(5+2)\Omega=2.545\Omega$이므로 $\displaystyle I_{2\Omega}=\left(9\times\frac{2.545}{4+2.545+6}\right)\times\frac{1}{5+2}=260.8\text{mA}$이다. 

노턴의 정리

1. 주어진 임의의 선형회로에서 두개의 회로 A(간단하게 정리할 회로)와 B(그대로 두어야 할 회로)가 두개의 도선으로 연결되는 형태로 재정돈한다. 2. 회로 B를 분리시키고 회로 A의 단자를 단락시킨다. 단락된 단자에 흐르는 전류를 $i_{sc}(i_{N})$으로 정의한다. 3. 회로 A 내부의 모든 독립전원을 제거 또는 0으로 만들어 비활성 회로를 구성한다. 이때 종속전원은 남긴다. 4. 이 비활성 회로에 $i_{sc}$의 값을 갖는 독립전류원을 병렬로 연결한다. (회로를 연결하지 말고 두 단자를 개방된 상태로 남겨둔다) 5. 새로운 회로 A의 단자에 회로 B를 연결한다. (회로 B의 모든 전압과 전류는 그대로 유지된다)

* A, B 두 회로중 어느 회로에라도 종속전원이 있다면 이 종속전원의 제어변수는 반드시 동일한 회로 내부에 있어야 한다.

테브난 등가회로와 노턴 등가회로 사이의 관계:

테브난 등가회로와 노턴 등가회로는 서로 전원변환의 관계에 있다. 즉, $v_{oc}$와 $i_{sc}$, $R_{TH}$사이의 직접적인 관계는 $v_{oc}=R_{TH}i_{sc}$이다.

위 회로의 테브난 등가회로와 노턴 등가회로를 구하자.

(1) 테브난 등가회로:

$V_{5\Omega}=(35+3)\frac{5}{2+5}=27.1428\text{V}$,

$\displaystyle R_{TH}=1+\frac{2\times5}{2+5}=2.429\text{k}\Omega$

$V_{TH}=V_{5\Omega}-35=-7.857\text{V}$

따라서 $V_{TH}=-7.857\text{V}$, $R_{TH}=2.429\text{k}\Omega$

(2) 노턴 등가회로:

$\displaystyle-I_{sc}=(7-1.5)\times\frac{\frac{1}{1}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{1}}=3.235\text{mA}$

$R_{TH}=2.429\text{k}\Omega$

따라서 $I_{sc}=-3.235\text{mA}$, $R_{TH}=2.429\text{k}\Omega$

■회로에 종속전원이 있는 경우

1. 회로 B(그대로 두어야 할 회로)에 제어변수가 있을 때: 식 $\displaystyle R_{TH}=\frac{V_{TH}}{I_{N}}$을 이용하여 $R_{TH}$를 구한다.

회로 B부분에 제어변수가 있다.

KVL을 이용하면

$V_{1}=100+20\times10^{3}\times(0.01V_{1})=100+200V_{1}$

$V_{1}=V_{TH}=-502.5\text{mV}$

$I_{N}$을 단락된 부분에 흐르는 전류라고 하자. 그러면

$\displaystyle I_{N}=\frac{100}{20\times10^{3}}=5\text{mA}$

$\displaystyle R_{TH}=\frac{V_{TH}}{I_{N}}=\frac{-502.5\text{V}}{5\text{mA}}=-100.5\Omega$

따라서 $V_{TH}=-502.5\text{mV}$, $R_{TH}=-100.5\Omega$

*테브난 등가회로의 저항값이 음의 값이 나오는 경우가 있다. 이런 경우는 물리적으로 가능한 현상이다.

2. 회로 A(간단하게 정리할 회로)에 종속전원만 있을 때: 회로 B에 시험전원 ($1\text{V}$ 또는 $1\text{A}$의 값을 갖는 전원)을 연결하고

$\displaystyle R_{TH}=\frac{v_{\text{test}}}{1\text{A}}$ 또는 $\displaystyle R_{TH}=\frac{1\text{V}}{i_{\text{test}}}$를 이용한다.

이 회로에서 회로 B부분에 $1\text{A}$의 값을 갖는 시험전류원을 연결하면

$v_{\text{test}}=V_{TH}$, $i=-1\text{A}$, $\displaystyle R_{TH}=\frac{v_{\text{test}}}{1}$, $\displaystyle\frac{v_{\text{test}}-1.5(-1)}{3}+\frac{v_{\text{test}}}{2}=1$, $v_{\text{test}}=0.6\text{V}$.

따라서 $\displaystyle R_{TH}=\frac{0.6\text{V}}{1\text{A}}=0.6\Omega$

참고자료:

Engineering Circuit Analysis 8th edition, Hayt, Kemmerly, Durbin, McGraw-Hill